2018-2019学年吉林省长春市榆树一中等五校联考高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2018-2019学年吉林省长春市榆树一中等五校联考高二（上）期
末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知a∈R，p＝a2﹣4a+5，q＝（a﹣2）2，则p与q的大小关系为（）A．p≤q B．p≥q C．p＜q D．p＞q
2．（5分）对于函数，当△x＝2.018时，△y的值是（）
A．2018B．﹣2018C．0D．不能确定3．（5分）设命题甲为：﹣1＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜4，那么甲是乙的（）A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）数列{a n}满足，，那么a2018＝（）
A．﹣1B．C．1D．2
5．（5分）下列命题中，错误的是（）
A．设原命题：若a+b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题真，逆命题假B．设x、y、z∈R，则“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的充分不必要条件
C．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0
D．若命题“p∧q”为假，且“￢p”为真，则q为真
6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若c2+2ab＝a2+b2+6，，则△ABC的面积是（）
A．3B．C．D．
7．（5分）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，A、B、C三点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）．若，则x1+x2+x3＝（）A．9B．6C．4D．3
8．（5分）在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AB＝2AC，则（）A．AB＝2AD B．AB＝3AD
C．AB＝2AD或AB＝3AD D．AB＝5AD
9．（5分）函数f（x）＝ax3+bx2+2017x+c的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＜0，b＜0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＞0，b＜0，c＞0D．a＞0，b＞0，c＜0
10．（5分）已知数列{a n}是公比为3的等比数列，且a2+a4+a6＝9，则
的值是（）
A．B．C．5D．﹣5
11．（5分）已知x＞0，y＞0，4x•32y＝2，则的最小值是（）A．2B．8C．4D．6
12．（5分）设椭圆的右焦点为F，右顶点为A．已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率．则e＝（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为．
14．（5分）我舰在岛A南偏西50°方向相距12nmile的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向航行，若我舰以28nmile/h的速度用1小时追上敌舰，则敌舰的速度为nmile/h．
15．（5分）函数f（x）＝ax4﹣4ax3+b（a＞0），x∈[1，4]，f（x）的最大值为3，最小值为﹣6，则ab＝．
16．（5分）以下四个命题中，正确的有．
①函数的最值一定是极值；
②设p：实数x，y满足（x﹣1）2﹣（y﹣1）2≤2；q：实数x，y满足则p是q
的充分不必要条件；
③已知椭圆与双曲线的焦点重合，e1、
e2分别为C1、C2的离心率，则m＞n，且e1e2＞1；
④菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，如果，且B＝45°，求∠A的度数．18．（12分）已知命题在区间（0，+∞）上是减函数：命题q：不等式x2﹣4x＞m﹣4的解集为R．若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，，数列{b n}满足．求数列{a n}的前n项和S n．
20．（12分）已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1．求证：．21．（12分）设函数f（x）＝x3+4x2+4x+c．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（2）若函数f（x）有三个不同的零点，求c的取值范围．
22．（12分）已知双曲线的离心率为．
（1）求双曲线C的方程．
（2）直线y＝kx+m（km≠0）与该双曲线C交于不同的两点M、N，且M、N两点都在以点A（0，﹣1）为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
2018-2019学年吉林省长春市榆树一中等五校联考高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：p﹣q＝a2﹣4a+5﹣（a﹣2）2＝1＞0，
所以p＞q，
故选：D．
2．【解答】解：∵函数y＝，
∴△y＝﹣═
∵△x＝2.018，
∴△y＝，
不确定，
故选：D．
3．【解答】解：解不等式|x﹣2|＜4，得：﹣2＜x＜6，
又“﹣1＜x＜5“是”﹣2＜x＜6“的充分不必要条件，
即命题甲为命题乙的充分不必要条件，
故选：C．
4．【解答】解：∵，，
∴a2＝1﹣2＝﹣1，a3＝1+1＝2，a4＝1﹣＝，
故数列{a n}是周期数列，周期是3，
则a2018＝a3×672+2＝a2＝﹣1，
故选：A．
5．【解答】解：原命题：若a+b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题真，逆命题为：a、b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，不正确，比如a＝3，b＝﹣3，a+b ＝0＜2，故A对；
x、y、z∈R，“lgy为lgx，lgz的等差中项”可得2lgy＝lgx+lgz，即y2＝xz，
即有“y是x，z的等比中项”；反之，不成立，比如x＝y＝z＝0，故B对；
p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0，故C对；
命题“p∧q”为假，且“￢p”为真，则p假q可为真或假，故D错．
故选：D．
6．【解答】解：由c2+2ab＝a2+b2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，
由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2+ab，
所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2+ab，
所以ab＝2；
则S△ABC＝ab sin C＝＝；
故选：C．
7．【解答】解：抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x＝﹣1，
∵＝x1﹣（﹣1）＝x1+1，＝x2﹣（﹣1）＝x2+1，＝|x3﹣（﹣1）＝x3+1
∴||+||+||＝x1+1+x2+1+x3+1＝（x1+x2+x3）+3＝9，
∴x1+x2+x3＝6．
故选：B．
8．【解答】解：设AC＝x，则AB＝2x，在三角形ABC中由余弦定理得BC2＝x2+（2x）2﹣2•x•2x•cos120°＝7x2，
∴cos C＝＝，∴sin C＝＝，
∴sin∠ADC＝sin（60°+C）＝sin60°cos C+cos60°sin C＝×+×＝，在△ADC中由正弦定理得＝，即＝，∴AD＝x＝×＝，
∴AB＝3AD
故选：B．
9．【解答】解：f（0）＝c＞0，排除D，
当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，
函数的导数f′（x）＝3ax2+2bx+c，
则f′（x）＝0有两个不同的正实根，
则x1+x2＝﹣＞0且x1x2＝＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
方法2：f′（x）＝3ax2+2bx+c，
由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，
则a＞0，且x1+x2＝﹣＞0且x1x2＝＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
故选：C．
10．【解答】解：根据题意，数列{a n}是公比为3的等比数列，
则a5+a7+a9＝a2q3+a4q3+a6q3＝（a2+a4+a6）q3＝35，
则＝＝﹣5；
故选：D．
11．【解答】解：∵x＞0，y＞0，4x•32y＝22x+5y＝2，
∴2x+5y＝1，
∴则＝（）（2x+5y）＝2≥4
当且仅当且2x+5y＝1即x＝，y＝时取得最小值4，
故选：C．
12．【解答】解：设F（c，0），由，
即，可得a2﹣c2＝3c2，又a2﹣c2＝b2＝3，
∴c2＝1，因此a2＝4．
∴，则．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z＝x+y可得y＝﹣x+z，则z表示直线y＝﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，
由题意可得，当y＝﹣x+z经过点A时，z最小，
由可得A（1，0），此时z＝1．
故答案为：1．
14．【解答】解：依题意得：∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，在△ABC中，由余弦定理得：
BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC＝122+AC2﹣2×12×AC×cos120°＝784
∴AC＝20
∴敌舰航行速度为20nmile/h．
故答案为：20．
15．【解答】解：∵函数f（x）＝ax4﹣4ax3+b（a＞0），x∈[1，4]，
∴f′（x）＝4ax3﹣12ax2，令4ax3﹣12ax2＝0，解得x＝0或x＝3，
f（1）＝b﹣3a；f（3）＝b﹣27a，f（4）＝b，
∵f（x）的最大值为3，最小值为﹣6，
∵b＝3，b﹣27a＝﹣6，解得a＝，
ab＝1．
故答案为：1．
16．【解答】解：①，函数的最值不一定是极值，比如f（x）＝x3﹣12x，x∈[﹣5，5]，可得
f（x）的最大值为f（5）＝65，
最小值为f（﹣5）＝﹣65，f（x）的极小值为f（2）＝﹣16，极大值为f（﹣2）＝16，故①错误；
②，实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，为半径的圆内
部分（包括边界）；
实数x，y满足作出不等式组表示的可行域，如右图：
即有p推不到q，但q推得p，即p是q的必要不充分条件，故②错误；
③，已知椭圆与双曲线的焦点重合，
可得m2﹣1＝1+n2，
可得m＞n，且e1e2＝•＝
＝＞1，故③正确；
④，菱形的对角不一定互补，不一定是圆的内接四边形；
是圆的外切四边形，且圆心与菱形的中心重合，故④正确．
故答案为：③④．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：由，得：．
由正弦定理得：，即：，
即：．
所以cos C＝0，得：C＝90°．
又因为B＝45°，
所以A＝45°，
从而∠A的度数为45°．
18．【解答】解：当命题p为真时，即在区间（0，+∞）上是减函数，得1﹣3m ＞0，解得：；
当命题q为真时，不等式x2﹣4x＞m﹣4的解集为R，则△＝16﹣4（m﹣4）＜0，即m ＜0，
因为命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，
所以命题p和命题q一真一假．
①当命题p为真，命题q为假时，有，解得：；
②当命题p为假，命题q为真时，，此时m无解，
综合①②得：实数m的取值范围是[0，）．
故答案为：[0，）
19．【解答】解：由，得：，即，所以数列{b n}是等差数列，首项b1＝1，公差为．
所以，所以．
所以S n＝a1+a2+…+a n＝2×1+3×2+…+（n+1）×2n﹣1①
所以2S n＝2×2+3+22+…+（n+1）×2n②
①﹣②得：﹣S n＝2×1+2+22+…+22﹣1﹣（n+1）×2n＝2n﹣（n+1）×2n＝﹣2n n．
即．
20．【解答】证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以，，，
以上三个不等式相加，得：，即，因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立，
所以．
21．【解答】解：f′（x）＝3x2+8x+4．
（1）因为f（0）＝c，f′（0）＝4，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y＝4x+c．
（2）令f′（x）＝0，得：3x2+8x+4＝0，解得：x＝﹣2或，
f（x）与f′（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：
所以，当c＞0且时，存在x1∈（﹣4，﹣2），，，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0．
由f（x）的单调性知，当且仅当时，
函数f（x）＝x3+4x2+4x+c有三个不同的零点．
22．【解答】解：（1）依题意解得：a2＝3．
所以双曲线C的方程为：．
（2）由，消去y得：（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0，
由已知：1﹣3k2≠0，且△＝12（m2+1﹣3k2）＞0⇒m2+1＞3k2①
设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），
则，，因为AP⊥MN，
所以，
整理得：3k2＝4m+1②
联立①②得：m2﹣4m＞0，所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m+1＞0，所以，因此或m＞4．
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