八年级数学第三章 分式 第3、4节北师大版知识精讲

初二数学第三章分式第3、4节北师大版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第三章：分式

第三节：分式的加减法

第四节：分式方程

二. 教学要求：

1、会探求分式加减运算法则，会进行简单分式的加减运算，及加减、乘除混合运算，并理解其算理．

2、了解分式方程的概念、会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系与区别．

三. 重点及难点：

一次方程的联系与区别．

重点：

1、分式加减运算法则和通分．

2、分式方程的解法，列分式方程解决实际问题．

难点：

1、最简公分母的确定．

2、理解分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．

四. 课堂教学

［知识要点］

知识点1、分式加减法法则

（1）同分母分式加减法法则

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．这里相加减运算的结果一定要约分化成最简结果．

（2）异分母分式加减法法则

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后按同分母的法则进行计算．说明：

（1）异分母分式加减法关键是通分后化为同分母分式的加减法．

通分的概念：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

（2）通分的关键是找出最简公分母，再依据分式基本性质进行相关变形．

（3）最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，并连同单独的因式及指数．

（4）分式的运算与分数运算非常类似，因而学习分析运算务必与分式运算进行类比．

知识点2、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

知识点3、分式方程的解法，即解分式方程的一般步骤：

（1）去分母：即方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程．

（2）解这个整式方程

（3）验根

说明：

（1）分式方程的解法充分体现了“转化”思想．

（2）解分式方程必须验根，严格的讲，解任何方程都需要验根，但仅是检验解方程过程的正确性，在确保解方程正确的前提下可以省略验根，而解分式方程的验根有其不可省略的原因是在去分母过程中，两边都乘以最简公分母——整式，不能保证整式的值恒不为零，在这个变形过程中有可能扩大了未知数的取值范围，从而产生不满足原方程的数值——增根．

（3）验根的方法有两种，

①代入原方程检验．

②代入最简公分母中检验，若最简公分母的值为零，则为增根，反之，为原方程的解．

【典型例题】

例1、通分2

432127,92,25b a c b a a -- 分析：分母系数的最小公倍数是36，字母因式a ，b 的最高次幂是3

4,b a ，所以最简公分母是3436b a ．

解：最简公分母是3436b a ， 所以a

25-＝ 343333333690181825b a b a b a b a a -=∙- 342

223232368449292b

a a a a

b a b a =∙= 3

42424362133127127b a bc b b b a c b a c -=∙-=- 说明：求最简公分母可概括为以下几步：

1、取各分母系数的最小公倍数

2、凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取

3、相同字母（可含字母的式子）的幂的因式取指数最大的，最后按上述的条件将取出的因式写成积的形式，在找出最小公分母后，就要确定分子、分母所应乘以的因式．这个因式就是公分母除以原分母所得的商．

例2、计算：

（1）ab

b a a b b b a a 3)(22+÷-+- （2）3

1963293222-÷+----+x x x x x x x 分析：（1）先将括号内两式分母统一合并后再化简．

（2）先将分子、分母因式分解，约简后再进行计算．

解：（1）ab

b a a b b b a a 3)(22+÷-+- ab

b

a a

b b a b a b a b

a a

b b a b a b

a a

b b a b b a a 33))((33)(2222=+⨯-+-=+⨯--=+⨯---= （2）3

1963293222-÷+----+x x x x x x x 1

3

33

323)3()3(32)3)(3()3(2-=-+-=----=-⨯---+-+=

x x x x x x x x x x x x x

例3、已知1

,311242

2++=+-x x x x x x 求的值． 分析：根据已知条件，求出)1(x x +的值，进而可得)1(22x x +的值，再对所求分式运用分式性质，分子分母都除以2x ，就可求出其值．

解：因为3

112=+-x x x ， 所以x ≠0 所以41,312=+=+-x

x x x x 即 所以)1(22x

x +＝14 所以15111411

11

1

22242=+=++=++x x x x x

说明：把1242

++x x x 反复用221,1n

n n n ++的式子表示，才能顺利求解．

例4、解下列方程

（1）32121-=----x x x （2）2434252--=--x x x

x 解：（1）方程两边都乘以x －2，得：

1－（x －1）＝ －3（x －2）

1－x ＋1＝ －3x ＋6

－x ＋3x ＝6－1－1

2x ＝4

x ＝2

经检验，x ＝2是增根

所以原方程无解

（2）方程两边都乘以x （x －2），得

5－4（x x 22

-）＝x （3－4x ）

5－24x ＋8x ＝3x －24x

－24x ＋8x －3x ＋24x ＝ －5

5x ＝ －5

x ＝ －1

经检验x ＝－1是原方程的解．

例5、某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成：

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

（3）若甲、乙两队合作4天余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，在不耽误工期的前提下，你觉得那一种施工方案最节省工程款？

分析：以不耽误工期为前提，显然第二种方案是不可取的，而（1）、（3）谁最省钱就要看所花总工程款的多少了，先求出规定工程期限，再分别计算两种方案下的工程款．

解：设预定完成这项工程需x 天，依据题意，得： 15

4=++x x x 解这个方程，得x ＝20

经检验，x ＝20是所列方程的根．

则方案（1）：总工程款＝20×1.5＝30（万元）

方案（2）：总工程款＝4×1.5＋20×1.1＝28（万元）

所以方案（2）最省工程款．