第讲集合与函数

f ( x) 的定义域为
D f (, 0) (0, ) ,
g ( x) 的定义域为
Dg (0, ) ,
D f Dg
f ( x) 与 g ( x) 不相同。
例7 解
函数 f ( x) | x | 与 g ( x) x 2 是否相同？
f ( x) 与 g ( x) 的定义域均为实数域 R ,
。 2 。 1 。 3 2 1 。 x O 1 2 3 4 。 1 。 2 。 3
想想取整函数的图形是什么样子？
y [ x]
例5
已知 f ( x 1)
x 2， 0 x 1 ， 求 f ( x) 的表达式。 2 x， 1 x 2，
解
令 t x 1，得 f (t )
确定的法则 f 有唯一确定的 y B 与之对应，则称 f
为从 A 到 B 的一个引映射，记为 f ：A B，或记为 f ：x y，x A，习惯上也记为 y f ( x)，x A。
其中， y 称为 x 在映射 f 下的像， x 称为 y 在映射 f 下
的一个原像 , A 称为映射 f 的定义域 , 记为 D( f ); A中
在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函 数在区间 I 上单调增加, 记为 f ( x) I 。
设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义， x1，x2 I ,
若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区 间 I 上是单调减少的。 若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区 间 I 上是严格单调减少的。
实质上，函数 y f ( x) 就是映射 f : A R
习惯上，称 f ( x) 为函数，或称 y 是 x 的函数；称 曲线 y f ( x) 为 函数的图形。
x0 A 所对应的 y0 R 称为函数 f 在点 x0处的 函数值，记为y0 f ( x0 ) y0 y f 在点 x0 处有定义。

画画图就一目了然.
我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。
2. 有界性
有 界
有界性
有上界
有下界
函数有界性的定义 设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B
则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。 否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数 在区间 I 上单调减少, 记为 f ( x) I 。
函数的单调性是一个局部性的
性质, 它与所讨论的区间I 有关.
例9
y sin x 在其定义域内不是单调 函数，但
在 [

2 , 2
] 上， sin x ;
3 在[ , ] 上， sin x ; 2 2
综上所述,该函数的定义域为 D = ( 1, 2 ) 。
例2 解
x2 , 2 x 0 求函数 y 的定义域。 2 x , 0 x 2
该函数为分段函数,它的定义域为
D [2, 0 ) ( 0, 2 ]
分段函数是一个在自变量的不同取值范 围内具有不同的对应关系的函数, 即在定义 域的一些不相重叠的真子集上, 用不同的表 达式表示的函数.
x0 x x0
o
x0
(
x0
) x0 +
x
x U( x0 , )
| x x0 | <
ˆ ( x0 , ) ： 点 x0 的去心 邻域 U
U( x0 , ) = { x | 0 < | x x0 | < , x R , > 0 }
又
x 2 | x | , 即 f ( x) 与 g ( x) 的对应关系相同,
函数 f ( x) 与 g ( x) 相同。
5.函数的图形
在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集
{ ( x, y ) | y f ( x) , x D f }
称为函数 f ( x ) 的图形。
O y=f(x)
x
设函数 y = f ( x )在区间 I 上有定义。 若存在实数 m (可正，
y
y=f(x)
O
m
x
可负), 对一切 x I 恒有 f ( x ) ≥m
成立，则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上是下方有界的, 简称有下界。
O
x
在区间 I 上: 函数 x0 = 3 的去心 = 0.1 邻域为
Û ( 3, 0.1 ) = ( 2.9, 3 ) ( 3, 3.1 )
二、函数的基本概念
1. 函数的定义
设A 为非空实数集。若存在 一个规则 f，使得 x A, 存在唯一的 y R，按照规则 f 与 x 对应， 则称 f 为定义在 A 上的函 数，记为 y f ( x)，x A。 其中，A 称为函数 f 的定义域。
y B
y f ( x)

f ( x ) 既有上界又有下界.
O A
x
若函数 y f ( x) 在区间 I 上有上界，则必有 无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区 间 I 上的上确界，记为 sup f ( x) 。
明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。
1. 集合
康托尔将集合定义为： 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间
有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一
个整体来考虑的结果。
简言之，把考察的对象 放在一起就构成集合。 定义一个集合A，也就是规定哪些元素 属于集合A, 哪些元素不属于集合 A。 元素 x 属于集合A，记为x A；元素 x 不属于 集合A，记为 x A 或 x A 。
xyabo无穷多个下界所有下界中最大者称为函数在区在区间i上有下界则必有若函数间i上的下确界记为无穷多个上界所有上界中最小者称为函数在区在区间i上有上界则必有若函数间i上的上确界记为有上下界的函数是否必有上下确界
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第一讲 集合与函数
第一章 集合与函数
t 2 2 t 1 ， 1 t 2，
2 t 2， 2 t 3，
x
代替
t
f ( x)
故
x2 2x 1 ， 1 x 2，
2 x 2， 2 x 3，
4. 判断函数相同
如何判断两个函数是否相同?
定义域与对应规则均相同的两个函数相同。
例6 解
函数 f ( x) ln x 2 与 g ( x) 2 ln x 是否相同？
三、函数的基本性质
单调性 有界性 奇偶性
周期性
1.单调性
设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义， x1，x2 I ,
若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区 间 I 上是单调增加的。 若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区 间 I 上是严格单调增加的。
例3 解
1, y sgn x 0, 求 1,
x0 x0 x0
的定义域。
y 1 O 1
y = sgn x
x
该函数称为符号函数,其定义域为 ( , ) .
也称为克朗涅哥函数
例4
x R , 将 x 表示为:
x “整数” + “正的小数” 或 “零”
本章学习要求： 正确理解函数概念，了解反函数和复合函数的概念 。 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉 基本初等函数的性质及其图形。
一、集合的基本概念
集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人
康托尔（犹太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大
数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一 名数学家。他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬 而未决的问题，奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合 论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。这也说
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得
重复出现。
3. 有界集
A≠Ф，若存在M >0, x∈A，均有|x|≤M，则称A为 有界集； 若对A中的任何元素x，有x≤M,则称A为有上界； 若对A中的任何元素有x≥－M，则称A为有下界。
4. 映射
设 A，B 是两个非空集合，若 x A，按照某种
x A 时的全体函数值的集合 ，称为函数 f 的值 域，记为R( f ) 或 f ( A)，即 R( f ) { y | y f ( x)，x A }。
x x0
。此时，称函数
2. 函数的表示法
解 析 法 表 格 法 图 示 法
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3. 求函数定义域举例 数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的 定义域是一件十分重要的事情。 通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开 偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几
何意义等来确定函数的定义域。
例1 解
1 求函数 y 4 x 的定义域 . ln( x 1)
2
由负数不能开偶次方, 得
4 x2 0
x [2, 2 ]
由对数函数的定义域, 得
x 1 0 x (1, )
由分母不能为零, 得
ln ( x 1) 0 x 2
函数 y = [ x ] = “整数”
称为取整函数，它是一个分段函数。
2 1 0.4142
y
3
[ 2] 1
0.5 1 0.5 [0.5] 1
2.7 3 0.3 [2.7] 3 3 3 0
[3] 3
3 3 0 [3] 3
所有元素 x 的像 y 的全体所构成的集合称 为 f 的值域，
记为 R ( f ) 或 f ( A) ，即
D( f ) A; R ( f ) f ( A) { y | y f ( x), x A }。
单射：
对于映射f：A→B ，若 x1,x2∈A，x1≠x2推出 f(x1)≠f(x2)，则是单射； 典型的单射：单调函数，不是单射的函数：偶函数
函数有界示意图
y
y
B y=f(x) O A
x
O
B
x
y=f(x) A
函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界

M 0，使 | f ( x) | M。
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 M (可正，
y
OM
x
可负)，对一切 x I 恒有
f ( x )≤ M 成立，则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界。
关于集合的几点注意： 集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。 集合中的元素互不相同。
当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合
中的 元素一律平等。
2. 集合的表示法
表示集合的方法有两种:
(1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。
(2) 描述法： 将集合A中元素 x 所具有的特性 p ( x) 列出 来表示如下 A { x | x 具有特性 p ( x) }。
满射：
对于对于B中任意一个元素都有原像与之对应， 即是满射。 也就是说每一个元素都有原像。一旦规定了是 函数，他肯定是一个满射
双射
单射但非满射
满射但非单射
非满射但非单射
5.邻 域
点 x0 的 邻域 U ( x0 , ) ：
U( x0 , ) = { x | | x x0 | < , x R , > 0 }
是否所有的函数均可绘出几何图形？
例8
Dirichlet 1805—1859
狄利克雷函数就不能作 出几何图形.
1 , x 为有理数 y D( x ) 0 , x 为无理数
狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才
能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的 杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国 数学界的核心人物之一。
x0 x x0 且 x x0
o
x0 x U( x0 , )
(
x0
) x0 +
x
0 < | x x0 | <
点 x0 的某邻域， 记为 U(x0) .
点 x0 的某去心邻域， 记为 Û (x0) .
例9
点 x0 = 3 的 = 0.1 邻域为 U ( 3, 0.1 ) = ( 3 0.1, 3 + 0.1 )