材料力学第二章

材料的塑性也可用试样断裂后的横截面面积塑性收缩率 来
衡量，即
A A1 100%
A
（2-9）
式中，A1 为试样被拉断后，在缩颈处测得的最小直径所对应的横截
面面积；A 为原横截面面积； 为断面收缩率。低碳钢的 值为 60%
左右。
如果将试样从 e 点卸载后再加载，直到试样断裂，所得的 加载曲线就如图 2-14 中 O1edf 所示。将该曲线与图 2-12 中的 Oabcdf 相比较，则可看出，图 2-14 所示的试样比例极限提高了， 拉断后的塑性变形减小了，这种现象称为冷作硬化。
过了屈服阶段，曲线又继续上升，即材料又恢复了抵抗变形 的能力。这说明当材料晶格滑移到一定程度后，又产生了抵抗滑 移的能力，这种现象称为材料的强化。这个阶段相当于图 2-12 中 的 cd 段。
载荷达到最高值时，名义应力 也达到最高值，相当于图 2-12 中曲线的最高点 d。这个名义应力的最高值 b 称为材料的强 度极限。低碳钢的 b 约为 400 MPa。
将式（2-2）和式（2-4）代入式（2-5），得
E
（2-6）
式（2-6）为胡克定律的另一表达形式。由此，胡克定律可表述为：若应力不超
过某一极限值，则杆的纵向应变 与正应力 成正比。
上述应力的极限值，称为比例极限，常用 p 表示。各种材料的比例极
限值，可由实验得到。
比例常数 E，称为弹性模量，它表示在拉伸（压缩）时，材料抵抗弹性变
力学知，该平行力系的合力 FN 等于上述无限多个微内力 dFN 之和，即
由此可得
FN
dA
A
dA A
A
FN
A
（2-2）
我们将拉伸中的应力称为拉应力，压缩中的应力称为压应力。计算应力时，只要将 轴力 FN 的代数值，代入式（2-2），所得 的正负，就表示它是拉应力或是压应力。
例 2-1 一钢制阶梯状杆如图 2-8（a）所示。各段杆的横截面面积为：左段 A1 1 600 mm2 ，中段 A2 625 mm2 ，右段 A3 900 mm2 ，试画出轴力图，并计算各段 杆横截面上的应力。
左段：
1
FN1 A1
120 103 1 600 106
Pa
75 MPa
中段：
2

FN2 A2
100 103 625 106
Pa
160 MPa
右段：
3
FN3 A3
160 103 900 106
Pa
178 MPa
可见，杆的最大正应力在右段内，其值为
max 178 MPa
第三节 轴向拉伸与压缩时杆件的变形计算
图2-14
二、其他材料受拉伸时的力学性能
图 2-15 所示为锰钢、硬铝、退火球墨铸铁和青铜受拉伸时 的应力-应变曲线。对于没有明显屈服阶段的材料，按照国家标 准规定，取对应于试样产生 0.2% 塑性应变时的应力值，作为材
料的屈服极限，称为名义屈服极限，以0.2 表示（见图 2-16）。
图2-15
图2-16
同理，由截开的各段，如图 2-8（c）、（d）所示，可求得中段任
一横截面 2 2和右段任一横截面 3 3 上的轴力分别为
FN2 100 kN ， FN3 F4 160 kN （2）作轴力图。由各横截面上轴力的数值，在 FN x 坐标系中，作 轴力图，如图 2-8（e）所示。
（3）计算正应力。由式（2-2），即可计算各横截面上的正应力为
的量，且拉伸时为正值，压缩时为负值。
图2-9
二、胡克定律
研究表明，在轴向拉伸或压缩中，若杆件横截面上的正应力 不超过
某一极限值，则杆长的改变量 l 与轴力 FN 及杆长 l 成正比，与横截面面积 A 成反比。即
l FNl A
引入比例常数 E，则得
l FNl EA
（2-5）
式（2-5）称为胡克定律。
（a）
图2-4
（b）
第二节 轴向拉伸与压缩时杆件的内力与应力
如图 2-5（a）所示，应用截面法，求 m m 截面的内力。由于直杆原处 于平衡状态，故截开后各部分仍应保持平衡。根据保留部分的平衡条件，得
FN F 内力 FN 沿杆的轴线作用，称为该杆右横截面 m m 上的轴力。
由作用与反作用原理可知，右部分杆在横截面 m m 上的轴力 FN ，其 大小和 FN 相等，方向与 FN 相反，如图 2-5（b）所示。
（a）
（b）
（c）
（c）
（e） 图2-8
解 （1）求轴力。首先求左段横截面上的轴力。应用截面法，
将杆沿左段任一横截面11截开，以左段为研究对象，设轴力 FN1 为
拉力，受力图如图 2-8（b）所示。由此段的平衡方程 Fx 0 ，得
FN1 F1 0
故有
FN 1 F 1 1 2 0 k N
FN1 为正值，说明假设轴力 FN1 为拉力是正确的。
dd
d
实验指出，在比例极限内，横向应变 与纵向应变 成正比，即
（2-7）
式中， 称为泊松比或横向变形因数；负号表示 与 的符号恒相反。
例 2-2 已知材料的弹性模量 E 200 GPa ，求例 2-1 中杆件长度的改变量。
解 由式（2-5）可计算出各段长度的改变量为
左段：
l1
FN 1l EA1
图 2-19 所示为用途日益广泛的塑料（聚氯乙烯 PVC 硬 片与共混型工程塑料 ABS）在常温下受拉伸时的应力-应变 曲线。这些材料在屈服前的弹性都相当好，塑性也很好， 只是弹性模量 E 较低（其试样形式为板状，与金属板状试样 略有不同）。
图2-19
三、材料受压缩时的力学性能
当应力超过比例极限时，材 料产生显著的塑性变形。圆柱形 试样高度明显缩短，直径则增大 塑性材料在压缩时，不会发生断 裂，所以测不出强度极限。图220中，实线所示为低碳钢材料受 压缩时的应力-应变曲线，双点画 线表示受拉伸时的应力-应变曲线。
规定将材料做成标准尺寸的试样（见图 2-10）。试样中段为等截面，试验前 在中段标出长为 l 的一段称为标距。对圆截面标准试样，取 l 10 d（10 倍试样）， 或 l 5 d （5 倍试样），d 为试样的直径。对矩形截面的平板试样，则取 l 11.3 A 或 l 5.65 A ，式中 A 为试样横截面面积。
（a）
（b）
图2-5
如取截面 m m 左侧部分来研究，由平衡条件可得轴力 FN F1 F2 F3
n
或
FN Fi
i 1
（2-1）
式（2-1）说明，横截面上的轴力 FN ，在数值上等于截面一侧各轴向外力的代数和。
（a）
（b）
图2-6
二、横截面上的应力
取一等直杆，如图 2-7（a）所示，拉伸前在杆的侧面画上垂直于 杆轴线的直线 ab 和 cd，拉伸后发现，ab 和 cd 仍为直线，且垂直于杆 轴，只是分别平行地移动到 ab 和 cd 。
材料力学
第二章 拉伸与压缩
一 轴向拉伸与压缩的概念与实例
二 轴向拉伸与压缩时杆件的内力与应力
三
轴向拉伸与压缩时杆件的变形计算
四
材料受拉伸与压缩时的力学性能
五
许用应力、强度条件
六
简单拉伸与压缩的超静定问题
七
应力集中的概念
第一节 轴向拉伸与压缩的概念与实例
当两力向外作用时，产生拉伸变形；向内作用时，产生压缩变形。以 上两种情况，分别称为轴向拉伸与轴向压缩。
形的能力。若其他条件相同，E 值越大，杆长的改变量 l 或线应变 就越小。 公式（2-5）中，EA 越大，杆长的改变量 l 就越小，故 EA 称为杆件的拉伸刚
度或压缩刚度。
三、泊松比
如图 2-9 所示的杆件，当纵向改变量为 l 时，横向改变量为
因此，横向应变为
d d1 d
d d1 d d d1
图2-10
试验时，将试样装在试验机的夹具中，开动试验机，使试样受到缓 慢增加的拉力，直到拉断为止。
由试验数据可知，试样的拉力 F 与对应标距的伸长 l 之间存在一定 的关系，这种关系可以用一条曲线表示出来，该曲线称为拉伸图。
图2-11 低碳钢的拉伸图
对于同样的材料，这种以纵坐标表示拉力 F，以横坐标表示标距伸长 l 的图 线，会随着试样尺寸的改变而改变。为消除试样尺寸的影响，以应力 代替拉力 F，以纵向线应变 代替标距伸长 l ，绘制成应力-应变图。
一、线应变
设杆件的原长为 l，变形后的长度为 l1（见图 2-9），杆件长度的改变量为
l l1 l
（2-3）
显然，式（2-3）中的 l ，在拉伸时为正，压缩时为负。
可用 l 与 l 之比来表示纵向变形的程度，即
l
l
（2-4）
该比值称为杆的纵向线应变，简称线应变。由式（2-4）可知， 是量纲为 1
1
120 103 0.75 200 109 1 600 106
m
中段：
l2
FN 2l EA2
2
100 200 109
103 1 625 106
m
右段：
l3
FN 3l EA3
3
160 103 1.2 200 109 900 106
m
由此可算得杆件长度的改变量为
l l1 l2 l3
103
120 0.75 100 1 160 1.2
材料的塑性，可用试样被拉断后的塑性单位伸长
百分率 来衡量，即
l1 l 100%
l
（2-8）
式中， l1 为试样断裂后的标距长度；l 为原标距长度；
称为伸长率。
伸长率 是衡量材料塑性的一个重要指标，一般将 5% 的材 料称为塑性材料；将 5% 的材料称为脆性材料。低碳钢的 值约为
20%～30%，故可认为是典型的塑性材料。
根据实验中观察到的现象，可作出假设：直杆发生变形前原为平 面的横截面，变形后仍保持为平面。该假设称为平面假设。
（a）
（b）
图2-7
从静力学方面考虑，根据连续性假设，可假想把杆件的整个横截面面 积 A 分为彼此连续的无限多个微面积 dA ，作用于任一微面积上的微内力 为
dFN dA
可见，作用于各微面积上的微内力，组成一个空间平行力系。由静
200
109
106
1 600
625
900
m
5.47 104 m 0.547 mm
第四节 材料受拉伸与压缩时的力学性能
材料受外力作用时在变形和破坏等方面所表现出来的特性称为材料的 力学性能。
一、低碳钢拉伸时的力学性能
拉伸试验按国家标准《金属材料拉伸试验》（GB/T 288.1—2010）进 行
（4）缩颈阶段
载荷达到最高值后，可看到试样在某一小段内的横截面急剧收缩， 产生缩颈现象，如图2-13所示。
图2-13 由于局部的横截面急剧收缩，使试样继续变形所需的拉力变小，因 此，应力-应变曲线开始下降，最后当曲线达到f点时，试样断裂。
根据常温、静拉伸（压缩）试验中材料变形性质的差异，可将材料 分为塑性与脆性两类。如低碳钢及铜等材料在显著的塑性变形下才会破 坏，这类材料称为塑性材料；如铸铁、石料及混凝土等材料，在极小的 塑性变形下就会破坏，这类材料称为脆性材料。
图2-20
铸铁受压缩时的应力-应变曲线，如图2-21（a）所示。图中虚线表示受拉 伸时的应力-应变曲线。由图可见，铸铁受压缩时的强度极限，约为受拉伸时 的2～4倍。铸铁受压缩时的应力-应变曲线，没有明显的直线部分，也没有屈 服阶段，破坏发生在与轴线约成45°角的斜面上，如图2-21（b）所示。
tan E
（2）屈服阶段
过了 b 点，曲线逐渐变缓。在 c 点附近，试样的应力几乎不增加， 但应变却迅速增加，这种现象称为材料的屈服或流动。在屈服阶段， 曲线有微小波动，对应于最低点 c 的应力值，称为材料的屈服极限或 流动极限，用 s 表示。低碳钢的 s 约为 240 MPa。
（3）强化阶段
低碳钢拉伸时的应力-应变 曲线，如图2-12所示，从曲线上 可以看出材料的一些特性。低碳 钢拉伸试验的整个过程，可分为 以下四个阶段。
图2-12
（1）弹性阶段
曲线 Ob 段表示材料的弹性阶段，在此阶段内，可以认为变形全部是弹 性的。如果在试样上加载，使其应力不超过 b 点，然后卸载，则试样能恢复 原状。与这段图线的最高点 b 相对应的应力 e ，称为材料的弹性极限，是卸 载后试样不产生塑性变形的应力最高限。图中的 Oa 段为直线段，在 Oa 段 内，应力与应变成正比，即材料服从胡克定律。与这段直线的最高点 a 对应 的应力 p ，称为材料的比例极限。它是纵向应变 和正应力 成正比的应 力最高限。低碳钢拉伸时的比例极限约为 200 MPa。显然直线 Oa 的斜率， 就是材料的弹性模量 E。即
图2-17
图2-18
图 2-17 所示为具有我国特点的低合金钢体系中 16 锰钢受拉伸时的应 力-应变曲线。可以看出，16 锰钢在拉伸时的应力-应变关系与 Q235A 钢 相似，但它的 s 和 b 都比 Q235A 钢有明显的提高。
图2-18所示为灰铸铁和玻璃钢受拉伸时的应力-应变曲线。可以看出， 对于脆性材料，一般来说，拉伸时的强度极限较低。