人教版高一数学必修一知识点总结大全

一 集合与函数

1 集合的含义及表示*

⎧⎧⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪⎩⎪⎪

∈∉⎨⎪

⎧⎪⎨⎪⎩

⎪⎪⎩

确定性集合中元素的特征 互异性无序性 集合与元素的关系 : 列举法 集合的表示 描述法常见的数集 N N Z Q R

2,,A B B A A B A B A A A A B A B A B οο

φ≠

⊆⊆=⎧⊆⊆⊆⎪

⎪⎨⎪⎪⊆≠⊂⎩1定义:A=B

2若且则子集： , 集合相等: 集合间的基本关系真子集： 若且 则

空集φ的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 *结论 含有n 个元素的集合，其子集的个数为2n

，真子集的个数为21n

-

3集合的基本运算{}{}{}|||U A B x x A x B A B x x A x B C A x x U x A ⎧⋃=∈∈⎪

⋂=∈∈⎨⎪=∈∉⎩

并集：或 交集：且 补集：且

在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍）

*结论 （1）A A A ⋃= A A A ⋂=, A A φ⋃= A φφ⋂=

（2）A B B A B ⋃=⊆若则 A B A

A B ⋂=⊆若则 （3）()U A C A φ⋂= ()U A C A U ⋃=

（4）若A B φ⋂= 则A φ=或A φ≠

4函数及其表示⎧⎪

⎧⎪

⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎨⎪⎪⎧⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎩⎩

函数的定义 定义域函数的三要素对应法则值域区间的表示 解析式法函数的表示法列表法图像法

5 函数的单调性及应用

（1） 定义： 设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么:

1212,()()x x f x f x <<⇔[]1212()()()0x x f x f x -->⇔0)

()(2

121>--x x x f x f []b a x f ,)(在⇔上是增函数；

1212,()()x x f x f x <>⇔[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

0)

()(2

121<--x x x f x f []b a x f ,)(在⇔上是减函数.

（2） 判定方法：1ο定义法(证明题) 2ο图像法 3ο复合法 （3） 定义法：证明函数单调性用

利用定义来证明函数单调性的一般性步骤：

1ο

设值：任取12,x x 为该区间内的任意两个值，且12x x <

2ο

做差,变形，比较大小：做差12()()f x f x -，并利用通分，因式分解，配方，有理化等方

法变形比较12(),()f x f x 大小

3ο下结论（说函数单调性必须在其单调区间上）

（4）常见函数利用图像直接判断单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，幂函数，对勾函数

（5）复合法：针对复合函数采用同增异减原则

（6）单调性中结论：在同一个单调区间内：增+增=增： 增—减=增：减+减=减：减—增=增

若函数)(x f 在区间[]b a ,为增函数，则—)(x f ，

)(1

x

f 在[]b a ,为减函数 （7）单调性的应用：1ο

：利用函数单调性比较大小

2ο

利用函数单调性求函数最值（值域）

重点题型：求二次函数在闭区间上的最值问题

6 函数的奇偶性及应用

f x定义域关于原点对称

（1）定义：若()

1ο若对于任取x的，均有()()

-=则()

f x为偶函数

f x f x

2ο若对于任取x的，均有()()

f x为奇函数

-=-则()

f x f x

（2）奇偶函数的图像和性质

（3）判定方法：1ο定义法（证明题）2ο图像法3ο口诀法

（4）定义法: 证明函数奇偶性

步骤：1ο求出函数的定义域观察其是否关于原点对称（前提性必备条件）

2ο由出发()

-，寻找其与()

f x之间的关系

f x

3ο下结论（若()()

-=-则()

f x为奇

f x f x

-=则()

f x f x

f x为偶函数，若()()

函数函数）

（4）口诀法：奇函数+奇函数=奇函数：偶函数+偶函数=偶函数

奇函数⨯奇函数＝偶函数：奇函数⨯偶函数＝奇函数：偶函数⨯偶函数＝偶函数

二 指数函数与对数函数 1 指数运算公式

1οm n m n a a a +⋅= 2οm n m n a a a -÷= 3ο ()m

m m

ab a b = 4ο()m n

mn

a a

=

5ο

()m m m a a b b

= 6

ο

m

n a =7ο

m n

a

-

=

8

ο

,,a a ⎧=⎨⎩当n 为偶数时当n 为奇数时

2 对数运算公式 （1）对数恒等式

0,1a a >≠当时 ，log x

a N x N =⇔=a

log 10a = l o g 1a a =

log a N a N = （2）对数的运算法则(01,0,0)a a M N >≠>>且

1ο l o g ()l o g l o

g a a a M

N M N ⋅=+ 2ο l o g (

)l o g l o g a a a

M

M N N =- 3ο l o g ()l o g n a a M

n M =

（3）换底公式及推论 log log log c a c b

b a

=

(0

1,01,0a a c c b >≠>≠>且且 推论 1ο

l o g l o g m n

a a

n

b b m

= 2ο

1

l o g l o g a N N a

=

3ο

l o g l o g

l o g a b a b c c =