能将矩形的周长和面积同时加倍吗

不存在
设计意图： 让学生从特例中得到猜想，并思考从特殊到一般证明的必要性。
探究活动1: 正方形的“倍增”问题
如何证明呢？
不存在一个正方形，它的周长和面积分别等于已 知正方形的周长和面积的2倍。
2a
4a2
2a
2a2
a2
a
结论： 不存在这样的正方形.
设计意图： 经历用字母表示边长并证明的过程，体会从特殊到一般的方法。
想一想：类比对正方形的方法，我们该怎 样开始研究矩形的问题呢？
我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2 和1,怎么样?
设计意图： 让学生类比正方形思考矩形的研究方法，体会研究问题的一般步骤。
探究活动2: 矩形的“倍增”问题
• 解:如果矩形的长和宽分别为2和1
1
？
2 所求矩形是否存在呢？ ？
设计意图： 让学生在质疑与反思中提升对问题的认识，同时养成思维习惯.
活动4：课堂小结、归纳提升
1、知识
1.正方形不能倍增 2.任意矩形存在倍增矩形
2、思想方法
1.从特殊到一般 2.数形结合 3.转化
延伸思考，提出问题
1、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形， 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍？
原矩形
所求矩形
周长为6
周长为12
面积为2.
面积为4.
设计意图： 为学生用方程的方法进行研究进行铺垫
探究活动2: 矩形的“倍增”问题
• 解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积 分别为6和2.
已知矩形 所求矩形 所求矩形 所求矩形
长来自百度文库
2
宽
1
周长
6
面积
2
12
12
4
4
四人小组利用表格合作研究，并把成果在组内交流
x[2(m+n)-x].根据题意,得
•
x[2(m+n)-x]=2mn.
•即
x2-2(m+n)x+2mn=0.
• 因为0，则这个方程有解,所以说明这样的矩形存在.
• 解这个方程得:
x1 m n n2 m2 , x2 m n m2 n2 .
• 结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它 的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.
探究活动3：反思质疑、提升认识
• 结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它 的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍. 你还有什么疑问吗？ 1.开始我们研究过正方形不能倍增，而后面又得出结 论任意矩形都存在“倍增”矩形，这个矛盾吗？
2.刚才研究特殊矩形的时候，同学们说不需要解方程， 只需判断有解就可以，但如果解是负数怎么办？
结论:存在这样的矩形
探究活动2: 矩形的“倍增”问题
（3）已知矩形的长为2，宽为1，则周长为6，面积为 2，加倍后的矩形周长为12，面积为4.设加倍后的矩形 长为x，宽为y，则：
x y 6 xy 4
x(6 x) 4
x 3 5
y
3
5
结论:存在这样的矩形
探究活动2: 矩形的“倍增”问题
探究活动1: 正方形的“倍增”问题
如何证明呢？
不存在一个正方形，它的周长和面积分别等于已 知正方形的周长和面积的2倍。
2a
4a2
2a
2a2
a2
a
想一想：我们是怎样研究正方形的倍增问题的？
设计意图： 总结对正方形的探究方法和步骤，为矩形的探究提供范例。
探究活动1: 正方形的“倍增”问题
延伸思考：
想想我们学过的几何图形有哪些？ 它都像正方形一样周长和面积不能同时 倍增吗？
• 解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积 分别为6和2.
已知矩形 所求矩形 所求矩形 所求矩形
长
2
宽
1
周长
6
面积
2
12
12
4
4
反思交流：1.三种方法的共同之处---并总结一元二 次方程方程是解决存在性问题的常用方法。 2.方程需要解出具体的解吗?
探究活动2: 矩形的“倍增”问题
（4）而满足“加倍”要求的（x, y）就可以看做反比例函数y 4
结论:存在这样的矩形
探究活动2: 矩形的“倍增”问题
• (2)从面积是4出发,看周长是否是12.
• 解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为
x+4/x).根据题意,得
•
x+4/x=6.
•即
x2-6x+4=0.
• 因为0，则这个方程有解,所以说明这样的矩形存
在.
• 解这个方程得:
x1 3 5, x2 3 5.
探究活动1: 正方形的“倍增”问题
探究实验： 请同学在方格纸中画出一个周长为4的 正方形A，再画出周长为8的正方形B。
设计意图： 出示本节
基本问题和研 究方向，同时 让学生在活动 中提升兴趣。 并为后面研究 矩形方法做铺 垫。
问题1：两个正方形的周长和面积有什么关系？
探究活动1: 正方形的“倍增”问题
问题2：你能再画用出正方形C使其面积是正方形A 面积的2倍吗？它的周长与A的周长有什么关系？
这三个 正方形 有什么 关系？
设计意图： 得到周长面积的关系，体会正方形的相似，为后续问题的拓
展提供基本经验。
探究活动1: 正方形的“倍增”问题
问题3：是否存在一个正方形，它的周长和面积分别 等于已知正方形的周长和面积的2倍？如何证明呢？
x 的图象与一次函数y x 6的图象在第一象限内交点的坐标。 从图1中看到，这样的交点存在，即满足要求的矩形是存在的。
y
6
y4 x
4
归纳： 最终都要转化成
2
一元二次方程求解
O2 4
6
x
y x 6
图1
探究活动3: 延伸拓展、提升规律
• 对于长和宽分别为2和1的矩形，我们已经得到 了结论，但是否对所有矩形都成立呢？
［设计意图］概括总结出此类问题的一般证明方法，弥补实验和归纳的缺陷与不足。把详细的证明过程用多媒体展示，增强学生思考
探究活动3: 延伸拓展、提升规律
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长 和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
如果矩形的长和宽分别为m和n
长 宽 周长 面积
已知矩形 m n 2(m+n) mn
你还能举出一个其他矩形的例子吗？
探究活动3: 延伸拓展、提升规律
四人小组合作探究 1.请小组长任意给定一个矩形的长、宽（数不要太大） 2.其他同学验证其周长和面积能否同时倍增 3.并轮流把方法和结果在小组内展示
已知矩形
所求矩形
长
宽 周长
由特殊到一般
面积
设计意图： 完整经历对一个特殊矩形的研究过程，固化知识与方法。
2、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形， 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
课后作业，小组为单位并提交研究报告。
设计意图： 让学生自己提出问题，课题学习延伸到课堂之外.
板书设计
能将矩形的周长和面积同时加倍吗
1.知识 2.思想与方法
正方形 推广 圆形 正多边形
减弱条件
矩形
菱形 平形四边形
正方形 推广
圆、正多边形
减弱
设计意图： 条件 经历。利同用矩时相初似形步对、感正菱知方获形形得从、新中平结得论出行的的四方结边法论，形进将行确推定广的，结获论得推发广现类知似识的的
问题中；对否定的结论，可以减弱限制条件探究。
探究活动2: 矩形的“倍增”问题
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它 的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
探究活动2: 矩形的“倍增”问题
• (1)从周长是12出发,看面积是否是4;
• 如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为x(6-
x).根据题意,得
•
x(6-x)=4.
•即
x2-6x+4=0.
• 因为0，则这个方程有解,所以说明这样的矩形存在.
• 解这个方程得:
x1 3 5, x2 3 5.
所求矩形
X 2(m+n)-x 4(m+n) 2mn
探究活动3: 延伸拓展、提升规律
由特殊到一般
• 分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别
为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn.
• 从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn;
• 解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为
从特殊到一般
教学反思：
本节课，我试图让在学生积极思考、动手实 践的同时，及时对研究过程进行反思与总结，培 养学生良好的学习方法与研究习惯。
教学设计从问题开始到问题结束，让思维方 法贯穿课堂。并且在学生经历探究的过程中，感 受得出新结论的方法。
同时让学生在反思质疑中，提升对问题的理 解。最后让学生尝试提出问题，体现课标中问题 解决的四个环节之一。