习题九 几何光学

习题九 几何光学（习题参考解答）
[9-1] 将一物置于长柱形玻璃的凸球面前25cm 处，设这个凸球面曲率半径为5cm ，玻璃前的折射率n=1.5，玻璃前的媒质是空气，求：
（1） 像的位置，是实像还是虚像？
（2） 该折射面的焦距。

已知：5.11
525====n n cm r cm u o 求：①?=v ②??
21==f f 解：∵ r
n n v n u n 1221-=+ ∴ 5
15151251-=+.v . )(25cm v = 成实像
当：时∞=u 2f v =
5
15.112-=f cm f 152=
当：1f u v =∞=时
5
5.15.111=∞+f cm f 101=
答：像的位置在球面后25cm 外 为实像
焦距cm f 101= cm f 152=
[9-2] 有一厚度为3cm ，折射率为1.5的共轴球面系统，其第一折射面是半径为2cm 的球面，第二折射面是平面，若在该共轴球面系统前面对第一折射面8cm 处放一物，像在何处？ 已知：cm d 3= 1=o n 5.1=n cm r 21= ∞=2r
cm u 81=
求：?=v
解：∵ r
n n v n u n 1221-=+ ∴ 2
15151811-=+.v . cm v 121=
又 ∵ ∞
-=+--5.111)312(5.1v ∴ cm v 6=
答：像最后成在第二折射面后6cm 处。

[9-3] 一个双凸透镜，放在空气中，两面的曲率半径分别为15cm 和30cm ，如玻璃折射率为1.5，物距为100cm ，求像的位置和大小，并作图验证之。

已知：cm r 151= cm r 302-= 5.1=n cm u 100=
求：像的位置?=v 像的大小
解：∵ 透镜的焦距f 为：
()1
21111-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=r r n f ∴ 1)301151)(15.1(-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=f )(20cm =
又 ∵ f
v u 111=+ ∴
20111001=+v )(25cm v =
又 ∵ 放大率 u
v m = 100
25= 41=
答：像的位置在透镜后20cm 外，实像且放大率为4
1
[9-4] 一对称的双凸透镜折射率为1.5它在空气中的焦距为12cm ，其曲率半径为多大？另一双凸薄透镜置下列介质中，其左边为折射率为n 1=4/3的水，右边为空气，且右侧球面的半径与上一透镜的相同。

如果要保持焦距为12cm ，求和水接触的球面曲率半径应该为多大？ 已知：r r r =-=21 5.1=n cm f 12= 1=o n
341=n 3
4=n 10=n cm f 12= 求：?=r ?1=r
解： ∵ ()121011-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=r r n n f ()11115.112-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=r r ∴ )(12cm r =
又 ∵ 1
1111r n n v n u n -=+ ① r
n n v n v n --=+-0
01 ② ①+②式：1
10011r n n r n n v n u n -+--=+ 1
1345.1125.11134r v u -+--=+ 当： ∞=1u 12==f v
1
61241121r += ∴ cm r 41=
答：曲率半径cm r 12= cm r 41=
[9-5] 一折射率为1.5的月牙形薄透镜，凸面的曲率半径为15cm ，凹面的曲率半径为30cm 如果平行光束沿光轴对着凹面入射，试求：
（1） 折射光线的相交点；
（2） 如果将此透镜放在水中，折射光线的交点在何处？
已知：∞=u cm r 301-= cm r 152-= 5.1=n
求：①透镜在空气中时的像距()1?==o n v ②透镜外在水中时的像距⎪⎭
⎫ ⎝⎛
==34?0n v 解：① ∵ f
v u 111=+ 1210011-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r r n n n f ∴ ⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=+∞151301115.111v ()cm v 60=
② ⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=+∞1513013
4345.111v 24011=v ∴ cm v 240=
答：两种情况相交点分别在透镜后60cm ，240cm 。

[9-6] 把焦距为20cm 的凸透镜和焦距为40cm 的凹透镜密切结合后的焦度是多少屈光度？ 已知：m cm f m
cm f 4.0402.02021-=-=== 求：?=Φ
解：2
111f f +=Φ 4
.012.01-+= 屈光度5.2=
[9-7] 2个焦距为10cm 的凸透镜，放在相距15cm 的同一轴线上，求在镜前15cm 处的小物体所成像的位置，并绘出成像光路图。

已知：cm u cm d cm f f 15151021====
求： ?=v
解： ∵ f
v u 111=+ 对第一透镜 ∴ 10
111511=+v ()cm v 301=
对第二透镜：()10
1115301=+--v ()处像在第二透镜后cm cm v 66=
[9-8] 一个半径为R 的薄壁玻璃球盛满水。

若把一物体放置于离其表面3R 的距离处，求最后的像的位置，玻璃壁的影响可忽略不计。

已知：R u n n n R r 35.134
1020=====
求：?=v
解：光线经过四次折射成像
∵ r
n n v n u n --=+1221 光线由空气进入玻璃：R
v R 15.15.1311-=+ ① 光线由玻璃射入水：R
v v 5.134345.121-=+- ② ∴ ∞=2v 光线由水射入玻璃：R
v --=+∞345.15.1343 ③ 光线由玻璃射入空气：
R v v --=+-5.1115.13 ④ ∴R v 3=
故最后像距球心4R 处
[9-9] 一段40cm 长的透明玻璃棒，一端切平，另一端做成半径为12cm 的半球面，把一物放置于棒轴上离半球端点10cm 处。

（1） 最后的像的位置在何处？
（2） 其放大率多少？设玻璃折射率为1.5。

已知：cm d n cm u cm
r 405.11012==== 求： ??
==m v 解： ∵ r
n n v n u n 1221-=+ 对于球面 ∴ 12
15.15.11011-=+v cm v 7.251-=
对于平面： ()∞
-=+-5.1115.11v v d ()cm v 8.435.17.65=-=
故最后的像成在棒轴上，离半球端点3.8cm 处。

放大率38.410
5.18.435.1'21=⨯⨯===u n v n h h m
[9-10] 一根折射率为1.50的玻璃棒，在其两端磨圆并抛光成半径为5cm 的凸半球面。

当一物放置于棒轴上离一端20cm 处时，最后的像成在离另一端40cm 处。

此棒的长度为多少？ 已知：cm v cm u cm r n 402055.1====
求：?=l 棒长
解： ∵ r
n n v n u n 1221-=+ 对第一半球折射面：5
15.15.12011-=+v ()cm v 301=
对第二半球折射面：()5
5.11401305.1--=+-l ()cm l 50=
[9-11] 一折射率为1.50，半径为R 的实心玻璃半球，其半球平面侧镀以银，一小物体位于球轴上离半球的顶点2R 处。

求经过所有的折射和反射后，所成的像的位置。

已知：5.12===n R r R u
求：?=v
解：整个成像过程分两个过程：
光线对球面折射R
v R 15.15.1211-=+ 解得∞=1v 平行光线入射到平面镜反射到球面折射
R
v --=+∞5.1115.1 R v 2= 最后像成在物处 即物像重合
[9-12] 一块折射率为1.50、厚为2cm 的玻璃板，其两面是平行平面。

今使其两面成水平，并使其两面成水平，并使其底面固定在印有字的书页上方8cm 处。

求与此玻璃板的法线成很小角度的光线所成的书页的像的位置。

已知：cm d r n n cm
u 25.11821=∞==== 求：?=v
解： ∵ r
n n v n u n 1221-=+ 对第一折射平面：∞
-=+15.15.1811v cm v 1281
5.11-=⨯-= 对第二折射平面：()∞
-=+-5.1115.11v v d cm v 3.9-=
∴ 像在底面下方7.3cm 处。

[9-13] 将折射率为1.50，直径为10cm 的玻璃棒的两端磨成凸的半球面，左端的半径为5cm 而右端的半径为10cm 。

两顶点间的棒长为60cm 。

在第一个顶点左方20cm 处有一长为1mm 且与轴垂直的箭头，作为第一个面的物。

问：
（1） 作为第二个面的物是什么？
（2） 第二个面的物距为多少？
（3） 此物是实的还是虚的？
（4） 第二个面所成的像的位置在何处？
（5） 最后的像的高度为多少？
已知：cm h cm u cm l cm r cm r n 1.020601055.121======
求：①第二个面的物是什么？
②?2=u
③此物的虚实？
④?=v
⑤?1=h
解：①第一个面的像作为第二个面的物
② ∵ r
n n v n u n 1221-=+ 对第一折射面 ∴5
15.15.12011-=+v cm v 301=
第二个面的物距cm v l u 30306012=-=-=
③物距为正值，故为实物
④对第二折射面：
10
5.111305.1--=+v ∞=v
⑤ ∵ ∞=∞-==20'h h u v m ∴ 最后像的高度为无穷大
[9-14] 一小热带鱼在直径为30cm 的球形鱼缸中心，求鱼缸外面的观察者所看到的鱼的表观位置及放大率，鱼缸薄壁的影响可忽略不计。

已知：1513
41521===
-=u n n r 求：①?=v ②?=m 解：①∵r
n n v n u n 1221-=+ ∴15
34111534--=+v cm v 15-= ② 又 ∵ 33.115
153421=⨯==u n v n m [注：对薄透镜，如果两侧折射率相同，线性放大率h h u v m '==
对单球面，两侧折射率为21,n n 时，放大率u
n v n h h m 21='=]
[9-15] 有一半径为10cm 、折射率为1.50的实心玻璃半球，以其平面朝下放于桌上。

一束直径为1cm 的圆截面平行光，垂直向下照射并沿其直径向进入此半球，问在桌上形成光斑
的直径有多大？
已知：cm d u n n cm r 15.111021=∞====
求：光斑直径?='d
解：∵
r
n n v n u n 1221-=+ 10
15.15.11-=+∞v cm v 30=
r
v d v d tg -'
==22θ 即：r
v d v d -'= ()v
r v d d -=' ()3010301-⨯= ()cm 667.0=
光斑直径为0.667cm
[9-16] 一光学系统由一焦距为5cm 的凸透镜L 1和焦距为10cm 的凹透镜L 2组成L 1在L 2右方5cm 处。

在L 1左方10cm 处置一小物，求经此光学系统后成像的位置和放大倍数，并做光路图验证之。

已知：cm u cm d cm f cm
f 10510521==== 求：?=v
解： ∵ f
v u 111=+ 对L 1：5
111011=+v cm v 101=
对L 2：()2
1111f v d v =+--
()10115101-=+--v ()cm v 10=
成像在L 2右方10cm 处。

放大率110
10'====u v h h M
[9-17] 简单放大镜的焦距为10cm ，求：
（1） 欲在明视距离处观察到像，物体应放在放大镜前面多远处？
（2） 若此物体高1mm ，则放大后的像高为多少？
已知：cm h cm v cm
f 1.02510=-==
求：①?'?==h u 解：f
v u 111=+
10
12511=-+u cm u 1.7=
又 ∵ h
h u v '= ∴ u
hv h =' 1
.7251.0⨯= cm 35.0= （像高）
[9-18] 眼睛的构造可简化为一折射球面，其曲率半径为5.55mm ，内部平均折射率为4/3，试计算其两个焦距；若月球在眼睛节点所张的角度为1°，试问视网膜上的月球的像有多大？ 已知：36021341555.055.5021πβ======n n cm
mm r 求：?'??
11===h f f 解： ∵ r
n n n f n 12211-=∞+
555.01343411-=∞+f ()cm f 665
.11= 第一焦点 又 ∵ 55
.01343412-=+∞f ()cm f 22.22=
()cm d h 26.015360
2'=⨯=⋅=πβ
[9-19] 显微镜物镜的焦距为2cm 的薄凸透镜L 1，在它后面10cm 处有一焦距为5cm 的薄凹透镜（目镜）L 2，试确定一距物镜为3cm 处物体像的位置并计算显微镜线放大率和角放大率是多少？并画出光路图。

已知：cm u cm f cm d cm
f 35102====目物 求：??==αm
解： ∵ f
v u 111=+ 对L 1：物
f v 11311=+
211311=+v ()cm v 61=
对L 2：()5
111061=+--v ()cm v 20-=
又 ∵ 236===
u v m 又 ∵ 55
2525===目f α [9-20] 一台显微镜，已知其数值孔径为N ．A ．=1.32，物镜焦距为1.91mm ，目镜焦距为50mm 。

求：
（1） 最小分辨距离（取光波长为550nm ）；
（2） 有效放大率（把仪器可以分辨的最小距离放大为人眼可分辨的最小距离所需的放大
率）。

已知：nm mm f mm f A N e u 5505091.132.1====⋅λ
求：①?=z ②有效放大率
解： ∵ A
N z ⋅=
222.1λ 32.1255022.1⨯⨯=nm ()nm 1.254=
'y 为径显微镜放大的像 z 为显微镜的最少分辨距离 显微镜的有效放大率为m
z
y m '= 28610254102561259
2
=⨯⨯⨯=⋅=--ββtg z tg。