08第八章 材料力学习题解答(应力状态分析和强度理论)
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=
σ x +σ y
2 +
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
80 + σ y
80 − σ y
2 2 ∴σ y = 40 MPa
(3) 主应力
cos(120o ) − 0
σ 1 = σ x = 80 MPa
8.6. 图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为 M=10 kN.m， Q=120 kN。 试绘出截面上 1、 2、3、4 各点的应力状态单元体，并求其主应力。
y 50 1 2 100 z 3 4 50
M
25
x
Q 解：(1) 截面上 1 点的应力：
σ (1) = −
M 1 2 bh 6
=−
10 × 103 1 × 0.05 × 0.12 6
27MPa 60MPa
4
2 σ max ⎫ 60 ⎧70.4 MPa ⎛ 60 ⎞ ± ⎜ ⎟ + 27 2 = ⎨ ⎬= σ min ⎭ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎩ −10.4 MPa σ 1 = 70.4 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −10.4 MPa
(4) 截面上 4 点的应力：
σ (4) = −σ (1) = 120 MPa
δ
T P 解：(1) A 点的应力状态 T
30 A
o
d
P
τxy σx
属二向应力状态，应力分量是
P 20000 = = 63.7 × 106 Pa = 63.7 MPa A π × 50 × 2 × 10−6 σy =0
σx =
τ xy = −
T 600 =− = −70.6 × 106 Pa = −70.6 MPa 2 2π r t 2π × 262 × 2 × 10−9
上海理工大学 力学教研室
6
σx =
M×
h 0.36 140 × 103 × 4= 4 = 79.75 MPa −8 Iz 15800 × 10
σy =0 τ xy
2 Q ⎧ b ⎡ ( h − 2t ) h2 ⎤ ⎫ 2 ⎪B ⎡ 2 ⎪ ⎤ = − ⎥⎬ ⎨ ⎣ h − ( h − 2t ) ⎦ + ⎢ Izb ⎪ 8 2⎣ 4 16 ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎩ ⎭ 3 70 × 10 0.136 ⎡ 2 = { 0.362 − ( 0.36 − 2 × 0.0158) ⎤ −8 ⎣ ⎦ 15800 × 10 × 0.01 8 2 0.01 ⎡ ( 0.36 − 2 × 0.0158) 0.362 ⎤ + − ⎢ ⎥} 2 ⎢ 4 16 ⎥ ⎣ ⎦ = 20.56 MPa
（6）主方向
σ x −σ y
α 0 = −13.6o
（7）主应力
α 0 + 90o = 76.4o
σ −σ y 2 2 ⎧σ max σ x + σ y ) + τ xy = ± ( x ⎨ 2 2 ⎩σ min
⎧84.7 MPa 79.75 79.75 2 ) + (20.56) 2 = ⎨ ± ( 2 2 ⎩ −5.0 MPa ∴σ 1 = 84.7 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −5.0 MPa =
τ xy = 20 MPa
tg 2α 0 = −
σ x −σ y
= −0.5
∴α 0 = −13.3o
α 0 + 90o = 76.7o
σ −σ y 2 2 ⎧σ max σ x + σ y ) + τ xy = ± ( x ⎨ 2 2 ⎩σ min ⎧ 4.7 MPa 80 −80 = ± ( ) 2 + 202 = ⎨ 2 2 ⎩ −84.7 MPa ∴σ 1 = 4.7 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −84.7 MPa
8.12. 图示二向应力状态的应力单位为 MPa。试作应力圆，并求主应力。
上海理工大学 力学教研室
7
50 80 60
o
τ
80
τ
50
解：(1) 用水平面截得
50 80 60
o
τ
σy
其中
σ x = 80 MPa
(2) 求应力分量
τ xy = 0
σ α = 50 MPa
α = 60o
σ α = 50 =
= −120 MPa
τ (1) = 0
应力状态单元：
120MPa
主应力：
σ 1 = σ 2 = 0 σ 3 = −120 MPa
(2) 截面上 2 点的应力：
σ (2) = 0
应力状态单元：
τ (2) = −
3Q 3 120 × 103 =− × = 36 MPa 2 bh 2 0.05 × 0.1
σ1 =
pD 3 × 106 × 1 = = 150 MPa 2t 2 × 0.01 pD σ 1 = = 75 MPa σ2 = 4t 2 σ3 = 0
最大切应力
τ max =
σ x =σ2
σ1 − σ 3
2
=
150 − 0 = 75 MPa 2
(2) 斜截面 ab 上的正应力及切应力：
σ y = σ1
(3) 应力圆：为一点圆
σ x +σ y
σ x −σ y
τ
(70,0)
σ
(f) (1) 应力分量
上海理工大学 力学教研室
2
σ x = 100 MPa
(2) 用解析法求斜截面上的应力
σ y = 50 MPa
τ xy = 0
α = 60o
σα =
cos 2α − τ xy sin 2α 2 2 100 + 50 100 − 50 = + cos120° = 62.5 MPa 2 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ xy cos 2α 2 100 − 50 = sin120° = 21.7 MPa 2 +
α = 120o σ +σ y σ x −σ y σα = x + cos 2α − τ xy sin 2α
5
(3) 主方向
tg 2α 0 = −
2τ xy
σ x −σ y
=−
2 × ( −70.6) = 2.22 63.7
α 0 = 32.9o
(4) 主应力
α 0 + 90o = 122.9o
σ −σ y 2 ⎧σ max σ x + σ y = ± ( x ) +τ 2 ⎨ xy σ 2 2 ⎩ min ⎧109.3MPa 63.7 63.7 2 ± ( ) + (−70.6) 2 = ⎨ 2 2 ⎩− 45.6 MPa ∴σ 1 = 109.3 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −45.6 MPa =
主平面位置和主应力大小
σ y = 30 MPa
2τ xy
τ xy = 20 MPa
tg 2α 0 = −
σ x −σ y
= 0.8
∴α 0 = 19.3o
α 0 + 90o = 109.3o
σ −σ y 2 2 ⎧σ max σ x + σ y ) + τ xy = ± ( x ⎨ 2 2 ⎩σ min
（5）斜截面上的应力
α = 60o σ +σ y σ x −σ y σα = x + cos 2α − τ xy sin 2α
2 2 79.75 79.75 = + × cos120o − 20.56 × sin120o 2 2 = 2.13MPa σ −σ y sin 2α + τ xy cos 2α τα = x 2 79.75 = × sin120o + 20.56 × cos120o 2 = 24.25 MPa tg 2α 0 = − 2τ xy =− 2 × 20.56 = −0.516 79.75
36MPa
主应力：
σ 1 = 36 MPa
(3) 截面上 3 点的应力：
σ 2 = 0 σ 3 = −36 MPa
σ (3) = − τ (3) =
应力状态单元： 主应力：
上海理工大学 力学教研室
σ (1)
2
= 60 MPa
3 QS z* 120 × 10 × ( 0.025 × 0.05 × 0.0375) = = 27 MPa 0.05 × 0.13 bI z 0.05 × 12
(2) 斜截面的应力：
2 2 63.7 63.7 = + cos 240° + 70.6sin 240° = −45.2 MPa 2 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ xy cos 2α 2 63.7 sin 240° − 70.6 cos 240° = 7.7 MPa = 2
上海理工大学 力学教研室
应力状态单元：
τ (4) = 0
120MPa
主应力：
σ 1 = 120 MPa
σ2 = σ3 = 0
8.8. 图为薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图。若 P=20 kN，T=600 NN·m，且 d=50 mm，δ=2 mm。 试求：(1)A 点在指定斜截面上的应力。(2)A 点主应力的大小及方向，并用单元体表示。
τ xy = 0
α = 60o
σα = τα =
σx +σ y σx −σ y
2 2
+
σ x −σ y
2
cos 2α =
75 + 150 75 − 150 + cos120o = 131.3 MPa 2 2
sin 2α =
75 − 150 sin120o = −32.5 MPa 2
3
上海理工大学 力学教研室
(5) 主单元体：σx>σy，α0面对应σmax。
σ1
32.9
o
σ3
8.9. 图示简支梁为 36a工字梁， P=140 kN， l=4 m。 A点所在截面在P的左侧， 且无限接近于P。 o 试求：(1)通过A点在与水平线成 30 的斜面上的应力；(2)A点的主应力及主平面位置。 P
30
o
h
A
h/4
解：(1) A 截面上的剪力和弯矩
1
解：(d) (1) 应力分量
σ x = 70 MPa
σ y = −70 MPa
τ xy = 0
α = 30o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
σα =
cos 2α − τ xy sin 2α 2 2 70 − 70 70 + 70 = + cos 60° = 35 MPa 2 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ xy cos 2α 2 70 + 70 = sin 60° = 60.6 MPa 2 +
8.2. 已知应力状态如图所示，应力单位为 MPa。试用解析法和应力圆分别求：(1)主应力大 小，主平面位置；(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；(3)最大切应力。
80 30
20 20 20
(e)
Байду номын сангаас(f)
解：(e) (1) 应力分量
σx =0
主平面位置和主应力大小
σ y = −80 MPa
2τ xy
τ
(35,60.6) 60o -70 70
σx +σ y
σ x −σ y
(3) 应力圆
σ
(e) (1) 应力分量
σ x = 70 MPa
σ y = 70 MPa
τ
xy
=0
α = 30 o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
cos 2α − τ x sin 2α 2 2 70 + 70 = = 70 MPa 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ x cos 2α = 0 2 σα = +
τ
(62.5,21.7) 120o 50 100
σ x +σ y
σ x −σ y
(3) 应力圆
σ
8.5. 图示锅炉直径D=1 m，壁厚t=10 mm，锅炉蒸汽压力p=3 MPa。试求：(1)壁内主应力σ1、 σ2及最大切应力τmax；(2)斜截面ab上的正应力及切应力。
60
o
σ2
p
σ1
解：(1) 求主应力
(4) 应力圆
σ1 − σ 3
2
=
37 + 27 = 32 MPa 2
τ
(-20,20) 38.6o -27 37 (30,-20)
σ
8.3. 在图示应力状态应力单位为中 MPa，试用解析法计算和应力圆求出指定斜截面上的应 力。
70 30
o
70 30
o
50
70
70 30
o
100
(d)
(e)
(f)
上海理工大学 力学教研室
⎧37 MPa −20 + 30 −20 − 30 2 ) + 202 = ⎨ ± ( 2 2 ⎩ −27 MPa ∴σ 1 = 37 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −27 MPa =
(2) 画主平面位置及主应力方向：σx<σy，α0面对应σmin。
σ3
19.3o
σ1
(3) 最大剪应力
τ max =
l/2
l/2
Q=
P 140 = = 70 kN 2 2
M=
Pl 140 × 4 = = 140 kNm 4 4
(2) A 点的应力状态
σx τxy
(3) 截面几何性质
W = 875cm 3 h = 360mm
（4）应力分量
I z = 15800cm 4 b = 10mm t = 15.8mm
B = 136mm
(2) 画主平面位置及主应力方向： σx>σy，α0面对应σmax。
σ3
13.3o
σ1
(3) 最大剪应力
τ max =
(4) 应力圆
σ1 − σ 3
2
=
4.7 + 84.7 = 44.7 MPa 2
τ
(0,20) 26.6o
-84.7 (-80,-20)
4.7
σ
(f) (1) 应力分量
σ x = −20 MPa
σ x +σ y
2 +
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
80 + σ y
80 − σ y
2 2 ∴σ y = 40 MPa
(3) 主应力
cos(120o ) − 0
σ 1 = σ x = 80 MPa
8.6. 图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为 M=10 kN.m， Q=120 kN。 试绘出截面上 1、 2、3、4 各点的应力状态单元体，并求其主应力。
y 50 1 2 100 z 3 4 50
M
25
x
Q 解：(1) 截面上 1 点的应力：
σ (1) = −
M 1 2 bh 6
=−
10 × 103 1 × 0.05 × 0.12 6
27MPa 60MPa
4
2 σ max ⎫ 60 ⎧70.4 MPa ⎛ 60 ⎞ ± ⎜ ⎟ + 27 2 = ⎨ ⎬= σ min ⎭ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎩ −10.4 MPa σ 1 = 70.4 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −10.4 MPa
(4) 截面上 4 点的应力：
σ (4) = −σ (1) = 120 MPa
δ
T P 解：(1) A 点的应力状态 T
30 A
o
d
P
τxy σx
属二向应力状态，应力分量是
P 20000 = = 63.7 × 106 Pa = 63.7 MPa A π × 50 × 2 × 10−6 σy =0
σx =
τ xy = −
T 600 =− = −70.6 × 106 Pa = −70.6 MPa 2 2π r t 2π × 262 × 2 × 10−9
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6
σx =
M×
h 0.36 140 × 103 × 4= 4 = 79.75 MPa −8 Iz 15800 × 10
σy =0 τ xy
2 Q ⎧ b ⎡ ( h − 2t ) h2 ⎤ ⎫ 2 ⎪B ⎡ 2 ⎪ ⎤ = − ⎥⎬ ⎨ ⎣ h − ( h − 2t ) ⎦ + ⎢ Izb ⎪ 8 2⎣ 4 16 ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎩ ⎭ 3 70 × 10 0.136 ⎡ 2 = { 0.362 − ( 0.36 − 2 × 0.0158) ⎤ −8 ⎣ ⎦ 15800 × 10 × 0.01 8 2 0.01 ⎡ ( 0.36 − 2 × 0.0158) 0.362 ⎤ + − ⎢ ⎥} 2 ⎢ 4 16 ⎥ ⎣ ⎦ = 20.56 MPa
（6）主方向
σ x −σ y
α 0 = −13.6o
（7）主应力
α 0 + 90o = 76.4o
σ −σ y 2 2 ⎧σ max σ x + σ y ) + τ xy = ± ( x ⎨ 2 2 ⎩σ min
⎧84.7 MPa 79.75 79.75 2 ) + (20.56) 2 = ⎨ ± ( 2 2 ⎩ −5.0 MPa ∴σ 1 = 84.7 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −5.0 MPa =
τ xy = 20 MPa
tg 2α 0 = −
σ x −σ y
= −0.5
∴α 0 = −13.3o
α 0 + 90o = 76.7o
σ −σ y 2 2 ⎧σ max σ x + σ y ) + τ xy = ± ( x ⎨ 2 2 ⎩σ min ⎧ 4.7 MPa 80 −80 = ± ( ) 2 + 202 = ⎨ 2 2 ⎩ −84.7 MPa ∴σ 1 = 4.7 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −84.7 MPa
8.12. 图示二向应力状态的应力单位为 MPa。试作应力圆，并求主应力。
上海理工大学 力学教研室
7
50 80 60
o
τ
80
τ
50
解：(1) 用水平面截得
50 80 60
o
τ
σy
其中
σ x = 80 MPa
(2) 求应力分量
τ xy = 0
σ α = 50 MPa
α = 60o
σ α = 50 =
= −120 MPa
τ (1) = 0
应力状态单元：
120MPa
主应力：
σ 1 = σ 2 = 0 σ 3 = −120 MPa
(2) 截面上 2 点的应力：
σ (2) = 0
应力状态单元：
τ (2) = −
3Q 3 120 × 103 =− × = 36 MPa 2 bh 2 0.05 × 0.1
σ1 =
pD 3 × 106 × 1 = = 150 MPa 2t 2 × 0.01 pD σ 1 = = 75 MPa σ2 = 4t 2 σ3 = 0
最大切应力
τ max =
σ x =σ2
σ1 − σ 3
2
=
150 − 0 = 75 MPa 2
(2) 斜截面 ab 上的正应力及切应力：
σ y = σ1
(3) 应力圆：为一点圆
σ x +σ y
σ x −σ y
τ
(70,0)
σ
(f) (1) 应力分量
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2
σ x = 100 MPa
(2) 用解析法求斜截面上的应力
σ y = 50 MPa
τ xy = 0
α = 60o
σα =
cos 2α − τ xy sin 2α 2 2 100 + 50 100 − 50 = + cos120° = 62.5 MPa 2 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ xy cos 2α 2 100 − 50 = sin120° = 21.7 MPa 2 +
α = 120o σ +σ y σ x −σ y σα = x + cos 2α − τ xy sin 2α
5
(3) 主方向
tg 2α 0 = −
2τ xy
σ x −σ y
=−
2 × ( −70.6) = 2.22 63.7
α 0 = 32.9o
(4) 主应力
α 0 + 90o = 122.9o
σ −σ y 2 ⎧σ max σ x + σ y = ± ( x ) +τ 2 ⎨ xy σ 2 2 ⎩ min ⎧109.3MPa 63.7 63.7 2 ± ( ) + (−70.6) 2 = ⎨ 2 2 ⎩− 45.6 MPa ∴σ 1 = 109.3 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −45.6 MPa =
主平面位置和主应力大小
σ y = 30 MPa
2τ xy
τ xy = 20 MPa
tg 2α 0 = −
σ x −σ y
= 0.8
∴α 0 = 19.3o
α 0 + 90o = 109.3o
σ −σ y 2 2 ⎧σ max σ x + σ y ) + τ xy = ± ( x ⎨ 2 2 ⎩σ min
（5）斜截面上的应力
α = 60o σ +σ y σ x −σ y σα = x + cos 2α − τ xy sin 2α
2 2 79.75 79.75 = + × cos120o − 20.56 × sin120o 2 2 = 2.13MPa σ −σ y sin 2α + τ xy cos 2α τα = x 2 79.75 = × sin120o + 20.56 × cos120o 2 = 24.25 MPa tg 2α 0 = − 2τ xy =− 2 × 20.56 = −0.516 79.75
36MPa
主应力：
σ 1 = 36 MPa
(3) 截面上 3 点的应力：
σ 2 = 0 σ 3 = −36 MPa
σ (3) = − τ (3) =
应力状态单元： 主应力：
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σ (1)
2
= 60 MPa
3 QS z* 120 × 10 × ( 0.025 × 0.05 × 0.0375) = = 27 MPa 0.05 × 0.13 bI z 0.05 × 12
(2) 斜截面的应力：
2 2 63.7 63.7 = + cos 240° + 70.6sin 240° = −45.2 MPa 2 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ xy cos 2α 2 63.7 sin 240° − 70.6 cos 240° = 7.7 MPa = 2
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应力状态单元：
τ (4) = 0
120MPa
主应力：
σ 1 = 120 MPa
σ2 = σ3 = 0
8.8. 图为薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图。若 P=20 kN，T=600 NN·m，且 d=50 mm，δ=2 mm。 试求：(1)A 点在指定斜截面上的应力。(2)A 点主应力的大小及方向，并用单元体表示。
τ xy = 0
α = 60o
σα = τα =
σx +σ y σx −σ y
2 2
+
σ x −σ y
2
cos 2α =
75 + 150 75 − 150 + cos120o = 131.3 MPa 2 2
sin 2α =
75 − 150 sin120o = −32.5 MPa 2
3
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(5) 主单元体：σx>σy，α0面对应σmax。
σ1
32.9
o
σ3
8.9. 图示简支梁为 36a工字梁， P=140 kN， l=4 m。 A点所在截面在P的左侧， 且无限接近于P。 o 试求：(1)通过A点在与水平线成 30 的斜面上的应力；(2)A点的主应力及主平面位置。 P
30
o
h
A
h/4
解：(1) A 截面上的剪力和弯矩
1
解：(d) (1) 应力分量
σ x = 70 MPa
σ y = −70 MPa
τ xy = 0
α = 30o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
σα =
cos 2α − τ xy sin 2α 2 2 70 − 70 70 + 70 = + cos 60° = 35 MPa 2 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ xy cos 2α 2 70 + 70 = sin 60° = 60.6 MPa 2 +
8.2. 已知应力状态如图所示，应力单位为 MPa。试用解析法和应力圆分别求：(1)主应力大 小，主平面位置；(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；(3)最大切应力。
80 30
20 20 20
(e)
Байду номын сангаас(f)
解：(e) (1) 应力分量
σx =0
主平面位置和主应力大小
σ y = −80 MPa
2τ xy
τ
(35,60.6) 60o -70 70
σx +σ y
σ x −σ y
(3) 应力圆
σ
(e) (1) 应力分量
σ x = 70 MPa
σ y = 70 MPa
τ
xy
=0
α = 30 o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
cos 2α − τ x sin 2α 2 2 70 + 70 = = 70 MPa 2 σ −σ y τα = x sin 2α + τ x cos 2α = 0 2 σα = +
τ
(62.5,21.7) 120o 50 100
σ x +σ y
σ x −σ y
(3) 应力圆
σ
8.5. 图示锅炉直径D=1 m，壁厚t=10 mm，锅炉蒸汽压力p=3 MPa。试求：(1)壁内主应力σ1、 σ2及最大切应力τmax；(2)斜截面ab上的正应力及切应力。
60
o
σ2
p
σ1
解：(1) 求主应力
(4) 应力圆
σ1 − σ 3
2
=
37 + 27 = 32 MPa 2
τ
(-20,20) 38.6o -27 37 (30,-20)
σ
8.3. 在图示应力状态应力单位为中 MPa，试用解析法计算和应力圆求出指定斜截面上的应 力。
70 30
o
70 30
o
50
70
70 30
o
100
(d)
(e)
(f)
上海理工大学 力学教研室
⎧37 MPa −20 + 30 −20 − 30 2 ) + 202 = ⎨ ± ( 2 2 ⎩ −27 MPa ∴σ 1 = 37 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −27 MPa =
(2) 画主平面位置及主应力方向：σx<σy，α0面对应σmin。
σ3
19.3o
σ1
(3) 最大剪应力
τ max =
l/2
l/2
Q=
P 140 = = 70 kN 2 2
M=
Pl 140 × 4 = = 140 kNm 4 4
(2) A 点的应力状态
σx τxy
(3) 截面几何性质
W = 875cm 3 h = 360mm
（4）应力分量
I z = 15800cm 4 b = 10mm t = 15.8mm
B = 136mm
(2) 画主平面位置及主应力方向： σx>σy，α0面对应σmax。
σ3
13.3o
σ1
(3) 最大剪应力
τ max =
(4) 应力圆
σ1 − σ 3
2
=
4.7 + 84.7 = 44.7 MPa 2
τ
(0,20) 26.6o
-84.7 (-80,-20)
4.7
σ
(f) (1) 应力分量
σ x = −20 MPa