江西省宜春市奉新一中高三数学上学期第二次月考试卷理(含解析)

2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高三（上）第二次月考数学试
卷（理科）
一、选择题：（5*12=60分）
1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是( )
A．A∩B=B B．A∪B=A C．A⊊B D．∁R A=B
2．已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x+1）的定义域为( )
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．
3．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．已知函数f（x）=cos，则函数f（x）满足( )
A．f（x）的最小正周期是2π
B．当x∈时，f（x）的值域为
C．f（x）的图象关于直线x=对称
D．若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）
5．要得到函数y=2cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x的图象( ) A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
6．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜）在区间[，]上是单调减函数，且函数值从1减小到﹣1，则f（）=( )
A．1 B．C．D．0
7．有以下四个命题，其中真命题的个数为( )
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＜1；
③函数y=3sin（2x﹣）+2的单调递减区间是[+2kπ，π+2kπ]（k∈z）；
④若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则=．A．1个B．2个C．3个D．4个
8．设函数f（x）=，给出以下三个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）
为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1，其中正确结论的个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则f+f=( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．若关于x的方程x3﹣3x+m=0在上有根，则实数m的取值范围是( )
A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．
11．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为( )
A． B．C．D．
12．若函数f（x）的定义域为D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=在I上也是增函数，则称y=f（x）是I上的“完美函数”，已知g（x）=e x+x﹣lnx+1，若函数g（x）是区间[，+∞）上的“完美函数”，则正整数m的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（5*4=20分）
13．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=__________．
14．已知cos（）=，则sin（）=__________．
15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为__________．
16．已知函数，在下列四个命题中：
①f（x）是奇函数；
②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；
③当时，f（x）取极小值；
④f（2）＞f（3），
正确的是：__________．
三、解答题：（12+12+12+12+12+10=70分）
17．已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，
（1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁R B）；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
18．已知函数，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若在x=处取得最大值，求y=g（x）的单调递增区间；
（3）求（2）中y=g（x）在上的值域．
19．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cosC+（cosB﹣sinB）cosA=0，（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
20．已知函数f（x）=ax2﹣2x，g（x）=﹣（a，b∈R）
（1）当b=0时，若f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值．
21．已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）
（Ⅰ）求g（x）=的单调区间与极大值；
（Ⅱ）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=
成立，求证：x1＜x0＜x2
（Ⅲ）己知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1+）a n+（n∈N+），求证：a n＜（e为自然对数的底数）．
三.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号
22．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为
（t∈R为参数），求a，b的值．
23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）
一、选择题：（5*12=60分）
1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是( )
A．A∩B=B B．A∪B=A C．A⊊B D．∁R A=B
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】由x2﹣5x+6≥0，解得x≥3，x≤2，
【解答】解：由x2﹣5x+6≥0，化为（x﹣2）（x﹣3）≥0，解得x≥3，x≤2，∴B={x|x≥3，x≤2}，∴A⊊B，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x+1）的定义域为( )
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接由2x+1在函数f（x）的定义域内求解x的取值集合得答案．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（0，1），
由0＜2x+1＜1，得．
∴函数f（2x+1）的定义域为．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的定义域，是高考常见题型，属基础题，也是易错题．
3．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．
【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法．
【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R
①a=0，则1＞0恒成立
②a≠0，则，故0＜a＜1
由①②得0≤a＜1．即命题甲⇔0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．
故选B．
【点评】本题考查命题的充分必要性，考查不等式恒成立的等价关系．值域数形结合的思想和等价转化的思想的运用．
4．已知函数f（x）=cos，则函数f（x）满足( )
A．f（x）的最小正周期是2π
B．当x∈时，f（x）的值域为
C．f（x）的图象关于直线x=对称
D．若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；解题思想；方程思想；三角函数的图像与性质．
【分析】化简函数的解析式，然后求解函数的周期，判断对称轴，推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）=cos=sin2x．
函数的周期为：π，A不正确；x=时，函数的最大值为：，B不正确；
x=时，函数取得最小值：﹣，所以f（x）的图象关于直线x=对称，C正确；所以D
不正确；
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的简单性质的应用，考查计算能力．
5．要得到函数y=2cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x的图象( ) A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由两角差的余弦把y=sin2x+cos2x化积，然后看x发生如何变化得y=2cos（2x+）．【解答】解：y=sin2x+cos2x=．
又数y=2cos（2x+）
=2=，
∴只需要将y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，即可得到y=2cos（2x+）的图象．
故选：A．
【点评】本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象，考查了两角和与差的三角函数，是中档题．
6．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜）在区间[，]上是单调减函数，且函数值从1减小到﹣1，则f（）=( )
A．1 B．C．D．0
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数的单调性和最值求出ω和φ的值即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜）在区间[，]上是单调减函数，且函数值从1减小到﹣1，
∴，即函数的周期T=π，
∵T=，∴ω=2，
则f（x）=sin（2x+φ），
∵f（）=sin（2×+φ）=1，
∴sin（+φ）=1，
即+φ=+2kπ，k∈Z，
即φ=+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，
∴当k=0时，φ=，
即f（x）=sin（2x+），
则f（）=sin（2×+）=sin（+）=cos=，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象的应用，根据条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．
7．有以下四个命题，其中真命题的个数为( )
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若命题p：∀x∈R，sin x≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＜1；
③函数y=3sin（2x﹣）+2的单调递减区间是[+2kπ，π+2kπ]（k∈z）；
④若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则=．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；导数的综合应用；三角函数的图像与性质；简易逻辑．
【分析】根据正弦定理，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；求出函数的单调区间，可判断③，求出a值，进而求出积分，可判断④
【解答】解：①△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”，故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，即①是真命题；
②若命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1，故②是假命题；
③由2x﹣∈[+2kπ，+2kπ]（k∈z）得：x∈[+kπ，π+kπ]（k∈z）；
即函数y=3sin（2x﹣）+2的单调递减区间是[+kπ，π+kπ]（k∈z），故③是假命题；
④若函数f（x）=x2+2x+2a的最小值为：2a﹣1，
函数g（x）=|x﹣1|+|x+a|的最小值为：|a+1|，
由2a﹣1=|a+1|得：a=2，
则==﹣
=，故④是真命题；
故真命题的个数为2个，
故选：B．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理，全称命题的否定，正弦函数的单调性，函数的最值，积分等知识点，难度中档．
8．设函数f（x）=，给出以下三个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）
为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1，其中正确结论的个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】规律型；函数思想；综合法；简易逻辑．
【分析】由题意可得f（x）==，检验f（﹣x）=f（x），即可判
断①，由于f（x）的函数值是1，0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，可判断②，由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，可判断③．
【解答】解：∵f（x）==，
∴f（﹣x）====f（x），故f（x）为偶函数，①
正确．
由于f（x）的函数值是1，0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，②正确．
由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，则f（x+1）+f（x）=1，③正确．
∴正确结论的个数为：3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义、周期性的定义的应用，解题的关键是对已知函数的化简，是基础题．
9．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则f+f=( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】由函数的对称性可得f（x）=f（2﹣x），再由奇偶性可得f（x）=﹣f（x﹣2），由此可推得函数的周期，根据周期性可把f，f转化为已知区间上求解
【解答】解：因为f（x）图象关于x=1对称，所以f（x）=f（2﹣x），
又f（x）为奇函数，所以f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），即f（x）=﹣f（x﹣2），
则f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），
故4为函数f（x）的一个周期，
从而f+f=f（﹣1）+f（0），
而f（0）=0，f（﹣1），
故f（﹣1）+f（0）=1，
即f+f=1，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．
10．若关于x的方程x3﹣3x+m=0在上有根，则实数m的取值范围是( )
A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，0] D．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值域；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；构造法．
【分析】分离参数m=﹣x3+3x，记f（x）=﹣x3+3x，x∈[0，]，要使原方程有解，则m∈[f （x）min，f（x）max]．
【解答】解：分离参数m得，m=﹣x3+3x，x∈[0，]，
记f（x）=﹣x3+3x，x∈[0，]，
要使原方程有解，则m∈[f（x）min，f（x）max]，
令f'（x）=﹣3x2+3=0，解得x=±1，分析可知，
函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减，（﹣1，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，
所以，当x∈[0，]时，f（x）先增后减，在x=1取得最大值，即：
f（x）max=f（1）=2，f（x）min=min{f（0），f（）}=0，
因此，m∈[，2]，
故选：B．
【点评】本题主要考查了应用导数研究函数的单调性，单调区间和最值，以及函数零点与方程的判断，属于中档题．
11．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为( )
A． B．C．D．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】应用题；解三角形．
【分析】连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB 的值，即可求出sinθ的值．
【解答】解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°
根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，
∴BC=10海里，
根据正弦定理得，
即，
∴sin∠ACB=，
∴sinθ=．
故选：A．
【点评】解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．
12．若函数f（x）的定义域为D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=在I上也是
增函数，则称y=f（x）是I上的“完美函数”，已知g（x）=e x+x﹣lnx+1，若函数g（x）是区间[，+∞）上的“完美函数”，则正整数m的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】新定义；转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】运用导数判断g（x）=e x+x﹣lnx+1，与G（x）=在[，+∞）上都是单调递
增函数，再由新定义即可求整数m的最小值．
【解答】解：∵g（x）=e x+x﹣lnx+1，x＞0，
∴g′（x）=e x+1﹣在（0，+∞）单调递增，g′（）=﹣1＞0，
∴可以得出：g（x）在[，+∞）上是单调递增．
∵G（x）=，
∴G′（x）=，x＞0，
设m（x）=xe x﹣e x﹣2+lnx，
m′（x）=xe x+＞0，m（x）在（0，+∞）上单调递增，
m（）=﹣﹣2﹣ln2＜0，m（1）=e﹣e﹣2+0=﹣2＜0，
m（）=﹣2+ln（）＞0，
∴在[，+∞）上，有G′（x）＞0成立，
∴函数G（x）=在[，+∞）上是单调递增函数，
综合判断：g（x）=e x+x﹣lnx+1，与G（x）=在[，+∞）上都是单调递增函数，
g（x）=e x+x﹣lnx+1，与G（x）=在[1，+∞）上不是都为单调递增函数，
∵函数g（x）是区间[，+∞）上的“完美函数”，
∴m≥3，
即整数m最小值为3．
故选C．
【点评】本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力，多次构造函数，求解导数，判断单调递增，属于难题．
二、填空题：（5*4=20分）
13．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=﹣2．
【考点】对数的运算性质；函数的值．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值．
【解答】解：∵函数，
∴f（）=2+=4．
=f（4）==﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力．
14．已知cos（）=，则sin（）=﹣．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】观察得，（﹣α）+（α﹣）=﹣，结合题意，利用诱导公式即可求得sin（α﹣）．
【解答】解：∵cos（﹣α）=，且（﹣α）+（α﹣）=﹣，
∴sin（α﹣）=sin[﹣﹣（﹣α）]=﹣sin[+（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查诱导公式，观察得到（﹣α）+（α﹣）=﹣是关键，考查观察与转化的能力，属于中档题．
15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可
得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积
的值．
【解答】解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，
∴cosA===，∴A=．
再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为=×2×2×=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．
16．已知函数，在下列四个命题中：
①f（x）是奇函数；
②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；
③当时，f（x）取极小值；
④f（2）＞f（3），
正确的是：②④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；简易逻辑．
【分析】判断出函数的奇偶性，可判断①，求出函数的值域，可判断②；判断出函数的极值点，可判断③；利用函数的单调性，比较两个函数值，可判断④．
【解答】解：①∵函数，
∴===f（x），
故f（x）是偶函数，故①错误；
②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，
∴≤1，
∵x≠0，
∴＜1成立，故②正确；
③∵f′（x）=，
∵f′（）=≠0，
∴x=不是极值点，
∴③错误；
④∵＜2＜3＜π，
∴sin2＞sin3＞0，
∴＞，∴④正确，
故答案为：②④．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性，值域，极值，单调性是三角函数图象和性质的综合应用，难度较大．
三、解答题：（12+12+12+12+12+10=70分）
17．已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，
（1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁R B）；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）当a=3时，求出集合A，B，然后求出C R B，即可求A∩B，A∪（C R B）；
（2）若A∩B=Φ，只需2﹣a＞1，并且2+a＜4，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=3时，A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|x2﹣5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，
C R B={x|1＜x＜4}
所以A∩B={x|﹣1≤x≤5}∩{x|x≤1或x≥4}={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}，
A∪（C R B）={x|﹣1≤x≤5}∪{x|1＜x＜4}={x|﹣1≤x≤5}；
（2）A∩B=Φ所以或2﹣a＞2+a，解得a＜1或a＜0，
所以a的取值范围是（﹣∞，1）
【点评】本题考查集合的基本运算，不等式的解集的求法，注意等价变形的应用，常考题型．
18．已知函数，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若在x=处取得最大值，求y=g（x）的单调递增区间；
（3）求（2）中y=g（x）在上的值域．
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）g（x）=f（x+ϕ）=2sin（2x+2ϕ）+1，当，k∈z时取得最大值，将
代入上式，得ϕ，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（3）利用正弦函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）
=2sin2x（1+sin2x）+cos4x
=2sin2x+2sin22x+cos4x
=2sin2x+1
∴最小正周期为．
（2）g（x）=f（x+ϕ）=2sin（2x+2ϕ）+1，当，k∈z时取得最大值，
将代入上式，得，k∈z，
∴，得，
∴，k∈z，
解得，k∈z，
∴g（x）的单调增区间为，k∈z
（3）由（2）得，由，得
，
∴，得，
∴g（x）∈．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cosC+（cosB﹣sinB）cosA=0，（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；解三角形．
【分析】（1）利用和差化积、诱导公式、三角函数求值即可得出．
（2）利用三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理即可得出．
【解答】解：（1）由验证可得：，
化为，又sinB≠0，
∴，又cosA≠0，
∴，
又0＜A＜π，故．
（2）∵，得bc=20，又b=5，∴c=4．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=21，故，
又由正弦定理得．
【点评】本题考查了和差化积、诱导公式、三角函数求值、三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知函数f（x）=ax2﹣2x，g（x）=﹣（a，b∈R）
（1）当b=0时，若f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）当b=0时，f（x）=ax2﹣4x，讨论a的取值并结合二次函数的单调性，建立关于实数a的不等式即可解出实数a的取值范围；
（2）当a=0时，易得一次函数f（x）没有最大值，不符合题意．因此（x）为二次函数，可得a＜0，函数f（x）取最大值时对应的x=，结合题意得到=a是一个整数，化简得a2=，即可得出满足条件的整数只有a=﹣1，从而得到b=﹣1
或3，得到满足条件的所有整数对（a，b）．
【解答】解：（1）当b=0，时，f（x）=ax2﹣4x，
若a=0，f（x）=﹣4x，则f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，成立，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足，解之得0＜a≤1
即实数a的取值范围是[0，1]；
（2）若a=0，f（x）=﹣2x，可得f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足，即a＜0且≤b≤，
此时，x=x0=时，f（x）有最大值．
又∵g（x）取最小值时，x=x0=a，
依题意，=a∈Z，可得a2=，
∵a＜0且≤b≤，
∴0，结合a为整数得a=﹣1，此时b=﹣1或b=3．
综上所述，满足条件的实数对（a，b）是：（﹣1，﹣1），（﹣1，3）．
【点评】本题给出含有根号和字母参数的二次函数，讨论函数的单调性与值域．着重考查了二次函数的图象与性质、方程整数解的讨论等知识，属于中档题．
21．已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）
（Ⅰ）求g（x）=的单调区间与极大值；
（Ⅱ）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=
成立，求证：x1＜x0＜x2
（Ⅲ）己知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1+）a n+（n∈N+），求证：a n＜（e为自然对数
的底数）．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），对函数g（x）求导后利用导函数的符号求出函数g（x）在定义域内的单调区间，从而求出函数的极大值；
（Ⅱ）求出f′（x0），代入f′（x0）=后把lnx0用lnx1，lnx2表示，
再把lnx0与lnx2作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0，从而得到lnx0＜lnx2，运用同样的办法得到lnx1＜lnx0，最后得到要证的结论；
（Ⅲ）由给出的递推式a n+1=（1+）a n+说明数列{a n}是递增数列，根据a1=1，得到a n≥1，由此把递推式a n+1=（1+）a n+放大得到，结合（Ⅰ）中的ln（1+x）＜x得到，分别取n=1，2，3，…，n﹣1，得到n个
式子后累加即可证得结论．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．
∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（﹣1，+∞））．
则有==ln（x+1）﹣x，
此函数的定义域为（﹣1，+∞）．
．
故当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．
所以g（x）的单调递增区间是（﹣1，0），单调递减区间是（0，+∞），
故g（x）的极大值是g（0）=0；
（Ⅱ）证明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f′（x）=lnx+1，
所以，
于是=
=，
令（t＞1），则，
因为t﹣1＞0，只需证明lnt﹣t+1＜0．
令s（t）=lnt﹣t+1，则，
∴s（t）在t∈（1，+∞）上递减，所以s（t）＜s（1）=0，
于是h（t）＜0，即lnx0＜lnx2，故x0＜x2．
同理可证x1＜x0，故x1＜x0＜x2．
（Ⅲ）证明：因为a1=1，，所以{a n}单调递增，a n≥1．于是=，
所以（*）．
由（Ⅰ）知当x＞0时，ln（1+x）＜x．
所以（*）式变为．
即（k∈N，k≥2），
令k=2，3，…，n，这n﹣1个式子相加得
=
=
=．
即，
所以．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了利用放缩法证明不等式，是一道难度较大的综合题型．
三.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号
22．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为
（t∈R为参数），求a，b的值．
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】压轴题；直线与圆．
【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，
解得或，
∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，
由参数方程可得y=x﹣+1，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．
23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f （x）≥2成立．
（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）
|=|a+|=a+≥2=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（，）．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。