第六章 连续时间系统的频域分析
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j
低通滤波器
0
0
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC
随着频率的增加，系统的幅度响应|H(j)|不断减小，说明 信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。 由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把c=1/RC称为该系统的3db截频。
6.2 系统的频域响应
系统的时域分析是在时间域内进行，可以比较直观的得到系统 响应的波形。其求解系统零状态响应的方法是利用卷积分析法，将 信号分解为加权的冲激信号的叠加，是直接求响应的时域积分的方 法， 系统的频域分析方法是在频率域内进行，先求频率域的响应 Y ( j ) H ( j ) F ( j ) ，再利用傅里叶反变换求零状态响应的间接方法。
式表明，对于一个线性时不变系统，在频率为 0 的基本信号 e j0t 激励下的零状态响应是基本信号 e j0t 乘以一个与 时间t无关的常数系数 H ( j0 ) 仍然是同频率的基本信号
yzs (t ) H ( j0 )e j0t 只不过基本信号经过 H ( j0 ) 修正，而 H ( j0 ) 可由系统的系统函数 H ( j ) 得到。
【例6-3】 已知系统的系统函数 H ( j )
1 试分别求在信号 j 1
sint, sin 2t, sin3t 作用下，系统的稳态响应。
解：根据系统的系统函数可知系统的幅频特性和相频特性分别为
| H ( j ) | 1 12
( ) arctan
对于激励信号
sin t
电路的分析
对于基本电路元件电阻、电容和电感构成的电路系统，必须要研 究这三种元件上的电压与电流的频谱关系。 i L (t ) iC (t ) i R (t )
+
u R (t )
+ R
u L (t )
－
图6－1
j L
+
1 j C
u C (t )
－
－
如图6－1，对于电阻R、电感L、电容C，有
uR (t ) RiR (t )
以电流为输入，电压为输出，可以得到电阻、电感、电容的传递 函数，即它们的复阻抗分别为
U R ( j ) R 电阻： I R ( j )
U L ( j ) j L 电感： I L ( j )
电容：
U C ( j ) 1 I C ( j ) j C
【例6-2】 试求图6-2(a）所示的RC电路系统的系统函数
计算H(j) 的方法
系统函数在频域描述系统的特性，是对系统进行频域分析的关 键，系统函数的求解主要有以下几种方法：
• 由系统的动态方程式直接计算； • 由系统的冲激响应的傅立叶变换计算；
• 由电路的零状态频域电路模型计算。
【例6-1】 已知描述LTI系统的微分方程为
求系统的系统函数。
y "(t ) 5 y '(t ) 6 y(t ) f (t )
求零状态响应 yzs (t ) 解：激励信号的频谱 F ( j ) FT [ f (t )] 系统函数
1 j 3
零状态响应的频谱 Yzs ( j ) F ( j ) H ( j )
j 3 j 3 H ( j ) 1 1 2 ( j 1)( j 2) j 3 2
由H(j)的定义，显然有
H ( j ) F[h(t )]
即H(j)等于系统单位冲激响应h(t)的Fourier变换
由 Yzs ( j ) H ( j ) F ( j ) 可知，信号由输入到输出的变化在频域 解释为：将激励信号的频谱与系统函数相乘，也就是对激励信号的
频谱进行了改变，得到响应的频谱。
( ) arctan 1 45
则响应
2 y(t ) sin(t 45 ) 2
2 | H ( j ) | 2
对于激励信号
sin 2t
( ) arctan 2 63.4
5 | H ( j ) | 5
则响应 对于激励信号
5 y(t ) sin(2t 63.4 ) 5
所以系统的系统函数
[例6-2]已知某LTI系统的冲激响应为h(t)=(e-t-e-2t)u(t)，求 系统的频率响应H(j)。 解：利用H(j)与h(t)的关系
1 1 H ( j ) F[h(t )] j 1 j 2 1 ( j ) 2 3( j ) 2
，
sin 3t
，
10 | H ( j ) | 10
( ) arctan 3 71.6
则响应
10 y(t ) sin(3t 71.6 ) 10
二、连续非周期信号通过系统响应的频域分析
F yzs (t ) f (t ) * h(t ) Yzs ( j ) F ( j )H ( j )
e
j t
e j h( )d
e jt H ( j)
e jt H(j) e jt H(j)
频率为 0 基本信号 e j0 t 激励下系统的零状态响应
y zs ( t ) e
其中
j 0 t
H ( j0 )
0
H ( j 0 ) H ( j ) |
Yzs ( j ) F ( j ) H ( j )
yzs (t ) FT 1[F ( j )
域经典法在激励 f (t ) 0 时，由系统的初始状态确定系统微分 方程的齐次解即零输入响应）。
2 j 4 5 【例6-4】 已知系统函数 H ( j ) 2 j 3 2 激励 f (t ) e3t u(t )
求其完全响应
y '(0 ) 1
y(t )
解：(1) 微分方程两边在零状态下取傅里叶变换得
解：画出此系统的频域等效电 路如图6-2(b)所示， 则RC系统的系统（传递）函数为
U 2 ( j ) H ( j ) U 1 ( j )
U 2 ( j ) H ( j ) U 1 ( j )
jC R 1 jC 1
图6-2(a)
1 1 jRC
图6-2(b)
RC电路系统的幅度响应
Yzs ( j ) F ( j ) H ( j )
系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系： Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。
二、连续非周期信号通过系统响应的频域分析
一般步骤如下： 1、求输入（激励）信号
f (t ) 的频谱（傅里叶变换）F ( j )
2、求系统的系统函数 H ( j) 3、系统零状态响应的频谱 4、求 Yzs ( j ) 傅里叶逆变换即可求得时域的零状态响应
[bm ( j)m bm1 ( j)m1
b1( j) b0 ]F ( j)
由上式可得零状态响应
bm ( j )m bm1 ( j )m1 b1 ( j ) b0 Yzs ( j ) F ( j ) n n 1 an ( j ) an1 ( j ) a1 ( j ) a0
H ( j ) F ( j )
其中：
bm ( j )m bm1 ( j )m1 b1 ( j ) b0 Y ( j ) H ( j ) n n 1 an ( j ) an1 ( j ) a1 ( j ) a0 F ( j )
H ( j ) 定义为系统零状态下响应的频谱Y ( j )与激励频谱 F ( j )
解：在零状态下，对微分方程两边取傅里叶变换， 得
( j ) Y ( j ) 5 jY ( j ) 6Y ( j ) F ( j）
2
即
[( j )2 5 j 6]Y ( j ) F ( j )
Y ( j ) 1 H ( j ) F ( j ) ( j ) 2 5 j 6
6.1 连续时间系统的频域描述
对于一个线性时不变的系统，如果激励（输入）为 f (t ) 响应
（输出）为 y (t ) 可以用一个n阶常系数线性微分方程来描述：
an y( n) (t ) an1 y( n1) (t )
a1 y '(t ) a0 y(t )
bm f ( m) (t ) bm1 f ( m1) (t ) b1 f '(t ) b0 f (t ) 两边取傅里叶变换，得 [an ( j )n an1 ( j )n1 a1 ( j ) a0 ]Y ( j)
H ( j)
e
j
h( )d
或
H ( j )
Y f ( j ) F ( j )
H ( j) | H ( j) | e j ( )
系统的幅频特性 H(j)的物理意义： 系统的相频特性
H(j)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。
H(j)与h(t)的关系
系统函数 H ( j ) 通常为
之比，称为系统的频域形式的系统（传递）函数或系统的频率响应。
的复函数，可写作
的变化而变化。
H( j) H( j) e j ( )
其中，模 | H ( j ) | 和幅角 ( ) 都随
| H ( j ) | 是 的偶函数； ( ) 是 的奇函数；
。 1 1 j 3 ( j 1)( j 2)
1 1 1 j 3 j 1 j 2 则 Yzs ( j) 的傅里叶逆变换即为系统的零状态响应
yzs (t ) FT 1[Yzs ( j )] (e 3t e t e 2t )u (t )
H( j) H( j) e
j ( )
| H ( j ) | 随 变化的特性，称为系统的幅频特性； ( ) 随 变化的特性，称为系统的相频特性；
总称为系统的频率响应特性，简称频响特性。
连续系统的频率响应H(j)的定义与物理意义
Yf (j)= H(j) F(j) 系统把频谱为F(j) 的输入改变成频谱为H(j) F(j) 的 响应，改变的规律完全由H(j) 决定。 H(j)称为系统的频率响应，定义为
信号与系统
第六章 连续时间系统的频域分析 【内容摘要】
本章主要介绍连续时间系统的频域描述，系统的频 域响应，无失真传输条件和理想滤波器。
傅里叶变换是频域分析中非常重要的数学工具，在信号和系统 的分析中起着非常重要的作用。通过信号的傅里叶变换，可以研究 信号的频域特性。 我们知道，信号在频域中可以等效为一个频谱密度函数。而线性 时不变系统的频域分析就是寻求响应随频率变化的规律。系统的频 域分析方法又称作傅里叶变换分析法。
【例6-5】 已知一个因果LTI系统的输出
y(t )
和输入 f (t )
2 d 可由下面微分方程来描述： y (t ) 5 dy (t ) 6 y (t ) df (t ) dt 2 dt dt
求：(1) 确定系统的冲激响应 h(t )
(2) 如果激励 f (t ) et u(t ) ，初始条件为 y(0 ) 2,
diL (t ) u L (t ) L dt
duC (t ) iC (t ) C dt
对上述三式两边在零状态下取傅里叶变换得
U L ( j ) jL I L ( j )
U R ( j ) R I R ( j )
I C ( j ) jC U C ( j )
6.2.1 基本信号
e
j t
激励下系统的零状态响应
任意激励信号 f (t ) 都可以分解为无穷多个虚指数信号的叠加
F ( j ) 0 jn t lim e T n=— 2
0
e j t通过LTI系统的稳态响应
yzs (t ) e jt h(t ) e j (t ) h( )d
低通滤波器
0
0
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC
随着频率的增加，系统的幅度响应|H(j)|不断减小，说明 信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。 由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把c=1/RC称为该系统的3db截频。
6.2 系统的频域响应
系统的时域分析是在时间域内进行，可以比较直观的得到系统 响应的波形。其求解系统零状态响应的方法是利用卷积分析法，将 信号分解为加权的冲激信号的叠加，是直接求响应的时域积分的方 法， 系统的频域分析方法是在频率域内进行，先求频率域的响应 Y ( j ) H ( j ) F ( j ) ，再利用傅里叶反变换求零状态响应的间接方法。
式表明，对于一个线性时不变系统，在频率为 0 的基本信号 e j0t 激励下的零状态响应是基本信号 e j0t 乘以一个与 时间t无关的常数系数 H ( j0 ) 仍然是同频率的基本信号
yzs (t ) H ( j0 )e j0t 只不过基本信号经过 H ( j0 ) 修正，而 H ( j0 ) 可由系统的系统函数 H ( j ) 得到。
【例6-3】 已知系统的系统函数 H ( j )
1 试分别求在信号 j 1
sint, sin 2t, sin3t 作用下，系统的稳态响应。
解：根据系统的系统函数可知系统的幅频特性和相频特性分别为
| H ( j ) | 1 12
( ) arctan
对于激励信号
sin t
电路的分析
对于基本电路元件电阻、电容和电感构成的电路系统，必须要研 究这三种元件上的电压与电流的频谱关系。 i L (t ) iC (t ) i R (t )
+
u R (t )
+ R
u L (t )
－
图6－1
j L
+
1 j C
u C (t )
－
－
如图6－1，对于电阻R、电感L、电容C，有
uR (t ) RiR (t )
以电流为输入，电压为输出，可以得到电阻、电感、电容的传递 函数，即它们的复阻抗分别为
U R ( j ) R 电阻： I R ( j )
U L ( j ) j L 电感： I L ( j )
电容：
U C ( j ) 1 I C ( j ) j C
【例6-2】 试求图6-2(a）所示的RC电路系统的系统函数
计算H(j) 的方法
系统函数在频域描述系统的特性，是对系统进行频域分析的关 键，系统函数的求解主要有以下几种方法：
• 由系统的动态方程式直接计算； • 由系统的冲激响应的傅立叶变换计算；
• 由电路的零状态频域电路模型计算。
【例6-1】 已知描述LTI系统的微分方程为
求系统的系统函数。
y "(t ) 5 y '(t ) 6 y(t ) f (t )
求零状态响应 yzs (t ) 解：激励信号的频谱 F ( j ) FT [ f (t )] 系统函数
1 j 3
零状态响应的频谱 Yzs ( j ) F ( j ) H ( j )
j 3 j 3 H ( j ) 1 1 2 ( j 1)( j 2) j 3 2
由H(j)的定义，显然有
H ( j ) F[h(t )]
即H(j)等于系统单位冲激响应h(t)的Fourier变换
由 Yzs ( j ) H ( j ) F ( j ) 可知，信号由输入到输出的变化在频域 解释为：将激励信号的频谱与系统函数相乘，也就是对激励信号的
频谱进行了改变，得到响应的频谱。
( ) arctan 1 45
则响应
2 y(t ) sin(t 45 ) 2
2 | H ( j ) | 2
对于激励信号
sin 2t
( ) arctan 2 63.4
5 | H ( j ) | 5
则响应 对于激励信号
5 y(t ) sin(2t 63.4 ) 5
所以系统的系统函数
[例6-2]已知某LTI系统的冲激响应为h(t)=(e-t-e-2t)u(t)，求 系统的频率响应H(j)。 解：利用H(j)与h(t)的关系
1 1 H ( j ) F[h(t )] j 1 j 2 1 ( j ) 2 3( j ) 2
，
sin 3t
，
10 | H ( j ) | 10
( ) arctan 3 71.6
则响应
10 y(t ) sin(3t 71.6 ) 10
二、连续非周期信号通过系统响应的频域分析
F yzs (t ) f (t ) * h(t ) Yzs ( j ) F ( j )H ( j )
e
j t
e j h( )d
e jt H ( j)
e jt H(j) e jt H(j)
频率为 0 基本信号 e j0 t 激励下系统的零状态响应
y zs ( t ) e
其中
j 0 t
H ( j0 )
0
H ( j 0 ) H ( j ) |
Yzs ( j ) F ( j ) H ( j )
yzs (t ) FT 1[F ( j )
域经典法在激励 f (t ) 0 时，由系统的初始状态确定系统微分 方程的齐次解即零输入响应）。
2 j 4 5 【例6-4】 已知系统函数 H ( j ) 2 j 3 2 激励 f (t ) e3t u(t )
求其完全响应
y '(0 ) 1
y(t )
解：(1) 微分方程两边在零状态下取傅里叶变换得
解：画出此系统的频域等效电 路如图6-2(b)所示， 则RC系统的系统（传递）函数为
U 2 ( j ) H ( j ) U 1 ( j )
U 2 ( j ) H ( j ) U 1 ( j )
jC R 1 jC 1
图6-2(a)
1 1 jRC
图6-2(b)
RC电路系统的幅度响应
Yzs ( j ) F ( j ) H ( j )
系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系： Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。
二、连续非周期信号通过系统响应的频域分析
一般步骤如下： 1、求输入（激励）信号
f (t ) 的频谱（傅里叶变换）F ( j )
2、求系统的系统函数 H ( j) 3、系统零状态响应的频谱 4、求 Yzs ( j ) 傅里叶逆变换即可求得时域的零状态响应
[bm ( j)m bm1 ( j)m1
b1( j) b0 ]F ( j)
由上式可得零状态响应
bm ( j )m bm1 ( j )m1 b1 ( j ) b0 Yzs ( j ) F ( j ) n n 1 an ( j ) an1 ( j ) a1 ( j ) a0
H ( j ) F ( j )
其中：
bm ( j )m bm1 ( j )m1 b1 ( j ) b0 Y ( j ) H ( j ) n n 1 an ( j ) an1 ( j ) a1 ( j ) a0 F ( j )
H ( j ) 定义为系统零状态下响应的频谱Y ( j )与激励频谱 F ( j )
解：在零状态下，对微分方程两边取傅里叶变换， 得
( j ) Y ( j ) 5 jY ( j ) 6Y ( j ) F ( j）
2
即
[( j )2 5 j 6]Y ( j ) F ( j )
Y ( j ) 1 H ( j ) F ( j ) ( j ) 2 5 j 6
6.1 连续时间系统的频域描述
对于一个线性时不变的系统，如果激励（输入）为 f (t ) 响应
（输出）为 y (t ) 可以用一个n阶常系数线性微分方程来描述：
an y( n) (t ) an1 y( n1) (t )
a1 y '(t ) a0 y(t )
bm f ( m) (t ) bm1 f ( m1) (t ) b1 f '(t ) b0 f (t ) 两边取傅里叶变换，得 [an ( j )n an1 ( j )n1 a1 ( j ) a0 ]Y ( j)
H ( j)
e
j
h( )d
或
H ( j )
Y f ( j ) F ( j )
H ( j) | H ( j) | e j ( )
系统的幅频特性 H(j)的物理意义： 系统的相频特性
H(j)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。
H(j)与h(t)的关系
系统函数 H ( j ) 通常为
之比，称为系统的频域形式的系统（传递）函数或系统的频率响应。
的复函数，可写作
的变化而变化。
H( j) H( j) e j ( )
其中，模 | H ( j ) | 和幅角 ( ) 都随
| H ( j ) | 是 的偶函数； ( ) 是 的奇函数；
。 1 1 j 3 ( j 1)( j 2)
1 1 1 j 3 j 1 j 2 则 Yzs ( j) 的傅里叶逆变换即为系统的零状态响应
yzs (t ) FT 1[Yzs ( j )] (e 3t e t e 2t )u (t )
H( j) H( j) e
j ( )
| H ( j ) | 随 变化的特性，称为系统的幅频特性； ( ) 随 变化的特性，称为系统的相频特性；
总称为系统的频率响应特性，简称频响特性。
连续系统的频率响应H(j)的定义与物理意义
Yf (j)= H(j) F(j) 系统把频谱为F(j) 的输入改变成频谱为H(j) F(j) 的 响应，改变的规律完全由H(j) 决定。 H(j)称为系统的频率响应，定义为
信号与系统
第六章 连续时间系统的频域分析 【内容摘要】
本章主要介绍连续时间系统的频域描述，系统的频 域响应，无失真传输条件和理想滤波器。
傅里叶变换是频域分析中非常重要的数学工具，在信号和系统 的分析中起着非常重要的作用。通过信号的傅里叶变换，可以研究 信号的频域特性。 我们知道，信号在频域中可以等效为一个频谱密度函数。而线性 时不变系统的频域分析就是寻求响应随频率变化的规律。系统的频 域分析方法又称作傅里叶变换分析法。
【例6-5】 已知一个因果LTI系统的输出
y(t )
和输入 f (t )
2 d 可由下面微分方程来描述： y (t ) 5 dy (t ) 6 y (t ) df (t ) dt 2 dt dt
求：(1) 确定系统的冲激响应 h(t )
(2) 如果激励 f (t ) et u(t ) ，初始条件为 y(0 ) 2,
diL (t ) u L (t ) L dt
duC (t ) iC (t ) C dt
对上述三式两边在零状态下取傅里叶变换得
U L ( j ) jL I L ( j )
U R ( j ) R I R ( j )
I C ( j ) jC U C ( j )
6.2.1 基本信号
e
j t
激励下系统的零状态响应
任意激励信号 f (t ) 都可以分解为无穷多个虚指数信号的叠加
F ( j ) 0 jn t lim e T n=— 2
0
e j t通过LTI系统的稳态响应
yzs (t ) e jt h(t ) e j (t ) h( )d