投资学第9章习题及答案

本章习题
1．简述利率敏感性的六个特征。

2．简述久期的法则。

3．凸性和价格波动之间有着怎样的关系？
4．简述可赎回债券与不可赎回债券的凸性之间的区别。

5．简述负债管理策略中免疫策略的局限性。

6．简述积极的债券投资组合管理中互换策略的主要类型。

7．一种收益率为10%的9年期债券，久期为7.194年。

如果市场收益率改变50个基点，则债券价格变化的百分比是多少？
8．某种半年付息的债券，其利率为8%，收益率为8%，期限为15年，麦考利久期为10年。

（1）利用上述信息，计算修正久期。

（2）解释为什么修正久期是计算债券利率敏感性的较好方法。

（3）确定修正久期变动的方向，如果：
a．息票率为4%，而不是8%
b．到期期限为7年而不是15年。

（4）说明在给定利率变化的情况下，修正久期与凸性是怎样用来估计债券价格变动的？
第九章本章习题答案
1. 在市场利率中，债券价格的敏感性变化对投资者而言显然十分重要。

为了了解利率风险的决定因素，可以参见图9-1。

该图表示四种债券价格相对于到期收益变化的变化百分比，它们有不同的息票率、初始到期收益率以及到期时间。

这四种债券的情况表明，当收益增加时，债券价格下降；价格曲线是凸的，这意味着收益下降对价格的影响远远大于等规模的收益增加。

通过观察，可以得出以下两个特征：
（1）债券价格与收益呈反比，即：当收益升高时，债券价格下降；当收益上升时，债券价格上升。

（2）债券的到期收益升高会导致其价格变化幅度小于等规模的收益下降。

比较债券A和B的利率敏感性，除到期时间外，其他情况均基本相同。

图9-1表明债券B比债券A期限更长，对利率更敏感。

这体现出其另一特征：
（3）长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。

这不足为奇，例如，如果利率上涨，则当前贴现率较高，债券的价值下降。

由于利率适用于更多种类的远期现金流，则较高的贴现率的影响会更大。

值得注意的是，当债券B的期限是债券A的期限的6倍的时候，它的利率敏感性低于6倍。

尽管利率敏感性似乎随着到期时间而增加，但是与债券到期时间的增加并不均匀。

这样，可以得出其第四个特征：
（4）当到期时间增加时，债券价格对收益变化的敏感性以下降的比率增加，即：利率风险与债券到期时间不对称。

债券B和C，除息票率之外，其他情况都相同，这时表现出另一特征，即息票较低的债券对利率变化更敏感。

这体现出债券价格的一个普遍的特征：
（5）利率风险和债券息票率成反比。

低息票债券的价格比高息票债券的价格对利率变动更敏感。

最后，债券C和D，除了债券的到期收益之外，其他方面的情况都一样。

但是，债券C 有更高的到期收益，对当前的收益变化不太敏感。

这样，可以提出最后一个特征：
（6）债券价格对其收益变化的敏感性与当前出售债券的到期收益成反比。

这六个特征确定了到期时间是利率风险的决定因素。

但是，它们也表明到期时间本身不足以测定利率的敏感性。

例如，在图中，债券B和C的到期日相同，但是较高息票率的债券对利率变化有着较低的价格敏感性。

显而易见，这里不能仅靠债券到期时间来量化其利率风险。

2. 债券价格对市场利率变化的敏感性受到三个方面的因素的影响：到期时间、息票率和到期收益率。

这些价格敏感性的决定因素对于固定收入资产组合管理来说是非常重要的，它们与久期的关系也表现出了如下一些重要的规则：
久期法则1：零息债券的久期等于其到期时间。

我们可以看到，息票债券的期限比相同久期的零息债券要短，因为债券生命早的息票降低了到支付为止的债券权重平均时间。

久期法则2：当息票票面利率较低时，如果到期不变，债券久期较长。

呈现这种规律的原因在于，票面利率越高，早期的现金流量现值就越大，占债券价格的权重就越高，使时间的加权平均值越低，即久期越短。

我们知道，票面利率越低，债券价格的利率敏感性越强，而久期是对利率敏感性的度量，这与票面利率越低久期越长是一致的。

久期法则3：如果息票票面利率不变，债券久期通常会随着到期时间而增加。

债券以面值或超出面值价格销售，久期总是随到期而增加。

债券的到期时间越长，价格的利率敏感性越强，从而久期越长。

但是，久期并不一定总是随着到期时间的增长而增长。

对于收益率很高的某些债券，久期可能会随着到期时间的增长而减短。

而且，息票债券久期的增长速度比到期时间的增长速度慢一些，也就是说，到期时间增长一年，久期的增长速度小于一年。

当然，对于零息债券，久期等于其到期时间，到期时间增长一年，久期也就增长一年。

久期法则4：当债券到期收益率较低时，如果其他因素不变，息票债券的久期会增长。

我们在上面已经提到，这个特征的直觉是：较高的债券收益率降低所有债券支付的现值，同时也会较大幅度的降低远期支付的价值。

所以，在较高的到期收益时，债券总值的较高部分存在于其较早的支付，这样就降低了有效期限。

久期法则5：统一公债的久期为
y y
1。

该法则表明，虽然无限期债券的到期日是无限的，但是其久期却是有限的。

3. 久期与价格波动之间的关系式为：
p
y C y D p p ε+∆⨯+-=∆*2)(21d （9-11） 9-11式子右边第一项是基于修正久期对债券价格波动的近似估计。

第二项是引入凸性以后对久期估计的价格波动做出的修正。

当收益率变动较小时，2)(y ∆会相当小，9-11右边第二项代表的修正值很小，可以忽略不计，因此不考虑凸性，用久期估计出来的价格波动也较为准确。

当收益率变动较大时，2)(y ∆就会比较大，如果不考虑基于凸性计算的修正项，仅仅根据久期估计的价格波动就会产生较大的误差。

从计算普通债券的凸性公式中可以看出，凸性不可能为负值。

因此，在收益率降低时，根据久期估计的价格波动会低估价格上升的幅度；收益率升高时则会高估价格下降的幅度。

凸性的修正会在一定程度上消除这种高估或者低估。

收益率上升时，正的修正项会使估计的价格下降幅度变小；收益率下降时，正的修正项会使估计的价格上升幅度变大。

因此，考虑凸性后估计的价格波动与实际情况更为接近。

正是因为凸性是正值，所以债券的凸性越大，对投资者越有利。

如果其他条件都一样，凸性越大的债券，在收益率降低时，债券价格上升的幅度就越大；在收益率升高时，债券价格下跌的幅度就越小。

4. 不可赎回债券的凸性是正的。

但是对于可赎回债券来说，情况有所不同。

当市场利率高于已发行的可赎回债券的票面利率时，发行人不会赎回低利率的债券而是按照市场利率重新发行高利率的债券。

随着市场利率的降低，发行人可以从赎回债券中收益。

如果债券的赎回价格比它的内在价值（理论价格）低，发行人将选择赎回债券，牺牲债券投资者的利益。

图9-4中的两条曲线分别表示可赎回债券与不可赎回债券的价格与收益率关系。

市场利率较高时，可赎回债券的价格收益率关系与不可赎回债券是相同的，仍然表现出正凸性。

当然，两者的价格并不是完全相同的，因为这时存在市场利率下跌、债券被赎回的可能性，两者价格的差异反映了发行人赎回债券的选择权。

随着市场利率降低，可赎回债券与不可赎回债券的价格收益率曲线之间的距离越来越远，可赎回债券的曲线逐渐变为凸形，凸性变为负值。

当市场利率在一个很低的水平时，债券以赎回价格P 被发行人赎回。

以上分析说明，可赎回债券的价格收益率曲线具有一个负凸性区间，与正凸性的情况恰恰相反，负凸性意味着收
益率下降时价格上升的幅度小于收益率上升时价格下降的幅度；其他因素不变时，到期收益率越低，债券的久期反而越短，价格的利率敏感性反而越弱。

图9-4 可赎回债券的凸性
5.（1）免疫策略是以久期为基础的，而久期只能近似衡量债券价格的变化，无法精确衡量利率变化导致的债券价格变化。

因此，通过资产久期匹配无法完全消除利率风险。

（2）在整个目标期限内，债券组合（资产）和负债的久期会随着市场利率的变化而不断变化，并且两者的久期变化并不一致。

因此，即使最初资产负债的久期是匹配的，但是随着利率的变动，资产负债的久期也不会出现不匹配，因此债券组合和负债也就无法实现免疫了。

（3）使用免疫策略存在的另一个问题是由于债券组合的久期并不随着时间的流逝而线性减少。

一般而言，债券的久期的减少速度慢于期限的减少速度。

在目标期免疫策略中，负债（一次性到期支付）的久期又等于到期日。

这样，随着时间的流逝，资产负债久期会按照不同的速度改变，债券组合就不再具有免疫能力。

这意味着债券资产组合需要不断地再平衡以维持资产负债久期的匹配，从而保持免疫能力。

这种再平衡是通过出售手中所持有的某些债券，将它们替换成另一些债券，从而使新的债券组合的久期与剩余的负债现金流的久期相一致。

（4）我们在计算久期时，假定收益率曲线是水平的，所有支付都是按照同一贴现率计算现值，当利率发生移动时，整个收益率曲线也只能是平行移动。

显然，在现实生活中这些假定太严格了，几乎不能够实现。

因此，我们前面所讲的方法只具有理论的可行性。

为了使久期的概念一般化，金融学家做了很多理论工作，建立了多因素的久期模型，它允许收益率曲线有倾斜和扭曲的形状。

虽然从理论上讲，这种多因素模型并没有显示出很好的实用性，相反，
前面介绍的简化处理方法的效果最好。

除了以上的主要问题外，免疫策略还存在以下两点问题：1.众多的候选资产。

由于在现实市场上存在很多债券资产供我们选择，债券管理者如何做出选择呢？一般而言，债券管理者应该选择这样一种组合—在这种组合中所有的债券平均期限（到期期限）都接近于约定的现金流出的平均期限。

2.延期和提前赎回风险。

在构建免疫资产时，我们都是基于这样一种认识—债券的现金流支付都是按时足额进行，也就是说，投资管理者手中所持有的债券不会被延期或提前赎回。

但是，现实生活中债券组合中的某些债券可能被延期或提前赎回。

这样一来，原有计划的久期匹配必被打乱，原有的债券组合由此也就失去了免疫作用。

6. （1）替代互换。

替代互换是指将债券组合中的债券转换成市场上的同质但收益率更高的债券。

这里的同质债券主要是指两种债券在票面收益率、期限结构、风险等级、赎回特征等方面基本上相同。

采用替代互换策略的原因在于，债券管理者认为市场对这两种债券的定价存在错误，或者说这两种债券的收益率差异不合理。

如果随着时间的推移，这两种债券的不合理比价关系会消失，那么这种价格的不一致必会带来获利的机会。

（2）跨市场利差互换。

跨市场利差互换是指利用两类市场（如国债市场与公司债券市场）的收益率差额不合理，从一个收益率低的市场转移到收益率高的市场以获得额外收益。

这种策略是在对市场正常收益率差额的预测与现行市场实际收益率差额进行比较的基础上进行的。

同时，债券投资者相信利差的实际值与预测值不一致只是暂时的情况，随着时间的推移，这种偏离现象会逐渐消失。

（3）纯追求高收益互换。

采用该互换策略并不是由于发现了定价错误的债券，而是持有收益率更高的债券以获得更高的回报率。

债券投资管理者根据收益率曲线的形状，调整持有债券期限的长短，从而追求更高的回报率。

若收益率曲线向上倾斜，投资者可以将短期债券转换成长期债券，因为长期债券的收益率更高。

实质上，投资者采用纯追求高收益率互换策略是通过承担更大的利率风险来获得更高的期限报酬。

只要在债券持有期内收益率曲线不发生向上位移，投资者持有长期债券就能获得更高的回报率。

如果收益率曲线发生向上的位移，投资者就会遭受更大的损失。

同理，若收益率曲线向下倾斜，意味着短期债券比长期债券具有更高的收益，债券组合管理者应该把长期债券转化成短期债券以获得更高的收益。

如果在债券持有期内收益率曲线没有发生向下位移，那么短期债券就能获得更高的回报率。

如果收益曲线向下位移，短期债券的回报率就会小于长期债券的回报率。

（4）税收互换。

税收互换是指通过债券的互换而获得纳税方面的好处，实际上就是一种利用税收优势的互换操作。

7.根据公式
y y
D p p ∆⨯+-=∆1 我们可以得到，
%27.3%5.0%
101194.7-=⨯+-=∆p p 即，债券价格变动的百分比为3.27%
8.（1）2593.9%
81101=+=+=市场利率麦考利久期修正久期 （2）修正久期从麦考利久期衍生而来，它不仅考虑了现金流结构及债券到期日，而且将目前的收益率纳入考虑因素。

（3）根据久期法则，息票率下降为4%，则久期上升；到期期限减少为7年，则久期下降。