高数 夹逼准则与两个重要极限
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利用两个重要极限判断级数收敛性
对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{sin n}{n}$和$sum_{n=1}^{infty}(1 + frac{1}{n})^{n}$的级数，可以利 用两个重要极限的结论判断其收敛性。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在判断一些复杂级数的收敛性时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙的放缩和变换， 找到夹逼的级数或函数，从而判断原级数的收敛性。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系， 即∑(ξi1)^2Δxi≤∑f(ξi)Δxi≤∑(ξi)^2Δxi。然 后验证不等式两侧的数列极限是否存 在且相等。对于左侧数列和右侧数列， 当n趋向于无穷大时，其极限均为1/3 （可以通过定积分的几何意义或定积 分计算公式进行验证）。因此根据夹 逼准则，原数列的极限存在且为1/3， 即函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积 分为1/3。
利用(1+1/x)^x在x→∞时的极限为e，可以对一些涉及指数函数的 复杂表达式进行逼近处理。
在求解某些微分方程时，可以利用这两个重要极限简化方程形 式或求解过程。
在概率论与数理统计中，这两个重要极限也经常出现，例如在 求解某些概率分布或统计量的极限性质时。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
利用第二个重要极限求解幂函数、指数函数相关问题，如求
(1+x)^(1/x)在x=0处的极限值。
结合洛必达法则等其他求极限方法，可以求解更复杂的极限问
03
题。
拓展：其他常见极限形式及求解方法
∞/∞型极限
通过分子分母同除以某个趋于 无穷的变量来转化为0/0型极 限求解。
1^∞型极限
通过取对数转化为0*∞型极限 求解。
夹逼准则应用
通过构造合适的上下界数列，利用夹逼准则求解一些复杂数列或函数 列的极限。
两个重要极限应用
利用这两个重要极限可以简化一些复杂极限的求解过程，提高解题效 率。
拓展：夹逼准则在其他领域应用
积分定定积分的取值范围。
级数收敛性判断
05 夹逼准则与两个重要极限 综合应用
在求解数列和函数极限中综合应用
利用夹逼准则求数列极限
对于难以直接求解的数列极限，可以通过放缩法找到两个易于求解的数列，使得原数列被这两个 数列夹逼，从而求得原数列的极限。
利用两个重要极限求函数极限
对于形如$frac{sin x}{x}$和$(1 + frac{1}{x})^{x}$的函数极限，可以直接利用两个重要极限的结 论求解。
Yn≤Xn≤Zn (n=1,2,3,...)， lim Yn = a，lim Zn = a 那么数列{Xn}的极限存 (当n趋向于无穷大时)， 在，且当 n 趋向于无穷 大时，lim Xn = a。
夹逼准则性质：夹逼准 则主要用于求解一些复 杂数列或函数的极限， 通过放缩法找到一个比 原数列或函数大且极限 为A的数列或函数，和一 个比原数列小且极限也 为A的数列或函数，那么 原数列或函数的极限便 为A。
于0）。
典型例题分析与解答
例题1
求解数列{n/(n^2+1)}的极限（当n趋向于无穷大时）。
分析
该数列的通项公式为n/(n^2+1)，当n趋向于无穷大时，分子n和分母n^2+1都趋向于无穷大， 因此无法直接求解该数列的极限。此时可以考虑使用夹逼准则进行求解。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系，即0<n/(n^2+1)<1/n。然后验证不等式两侧的数列 极限是否存在且相等。对于0数列，其极限为0；对于1/n数列，当n趋向于无穷大时，其极限 也为0。因此根据夹逼准则，原数列的极限存在且为0。
夹逼准则适用条件
数列或函数项的不等式关系
在使用夹逼准则时，需要找到与原数列或函数相关的不等式关系，这是应用夹 逼准则的前提。
两侧数列或函数的极限存在且相等
在找到不等式关系后，需要验证不等式两侧的数列或函数的极限是否存在且相 等，这是应用夹逼准则的关键。
夹逼准则与极限关系
夹逼准则是求解极限的一 种重要方法
对于一些复杂或难以直接求解的数列或函数 极限问题，可以通过夹逼准则进行求解。
夹逼准则体现了极限的保 号性
在使用夹逼准则时，如果两侧的数列或函数 极限存在且相等，那么原数列或函数的极限 也一定存在且等于该值。这体现了极限的保 号性，即如果数列或函数在某一点的极限存 在且大于0（或小于0），那么在该点的某个 邻域内，数列或函数的值也一定大于0（或小
结合等价无穷小替换进行计算
01
02
03
等价无穷小是微积分中 的一个重要概念，指在 特定条件下，两个无穷 小量之比的极限为1。
利用等价无穷小替换可 以将复杂的极限问题转 化为简单的极限问题，
从而更容易求解。
常见的等价无穷小替换有： $sin x sim x$，$tan x sim x$，$1 - cos x sim frac{1}{2}x^2$等。
典型例题分析与解答
例题1
求解$lim_{x to 0} frac{sin 3x}{x}$。
解答
利用第一个重要极限，有$lim_{x to 0} frac{sin 3x}{x} = 3lim_{x to 0} frac{sin 3x}{3x} = 3$。
例题2
求解$lim_{x to infty} left(1 + frac{2}{x}right)^{x+1}$。
06 总结与拓展
夹逼准则与两个重要极限知识点总结
夹逼准则定义
若存在数列{xn}、{yn}及{zn}，满足yn≤xn≤zn，且lim yn=lim zn=a， 则lim xn=a。
两个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。这两个极限在求解涉 及三角函数和指数函数的极限问题时具有重要作用。
01
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限为e（自然对数的底数）。
变形形式
02
如(1+x)^(1/x)，当x趋近于0时的极限也为e。
应用场景
03
在求解复利、连续增长等问题时经常用到。
两个重要极限在求解问题中应用
01
利用第一个重要极限求解三角函数相关问题，如求sinx或cosx 在x=0处的导数。
03
单调性则可以在一定条件下，利用函数的单调性来推导不等 式或等式。
典型例题分析与解答
通过具体例题来展示如何利用夹逼准则进行证明，包括例题的选取、分析、 解答等过程。
例题可以包括各种类型的问题，如等式证明、不等式证明、极限计算等。
在解答过程中，需要详细展示每一步的推导过程和思路，以便读者能够更 好地理解和掌握夹逼准则的应用方法。
高数夹逼准则与两个重要极限
contents
目录
• 夹逼准则基本概念 • 两个重要极限介绍 • 夹逼准则在证明题中应用 • 两个重要极限在计算题中应用 • 夹逼准则与两个重要极限综合应用 • 总结与拓展
01 夹逼准则基本概念
夹逼准则定义及性质
01
02
03
04
05
夹逼准则定义：如果数 列{Xn},{Yn}及{Zn}满足 下列条件
在解决实际问题中综合应用
利用夹逼准则解决实际问 题
在一些实际问题中，可以通过夹逼准则找到 问题的上下界，从而求得问题的近似解或精 确解。
利用两个重要极限解决实际 问题
在一些与连续复利、自然增长等相关的实际问题中 ，可以利用两个重要极限的结论建立数学模型并求 解。
综合应用夹逼准则和两个 重要极限
在一些复杂的实际问题中，可以将夹逼准则 和两个重要极限结合起来使用，建立更准确 的数学模型并求解。
对于某些复杂级数，可以通过构造比较级数，利用夹逼准则判断 原级数的收敛性。
不等式证明
在证明某些不等式时，可以通过构造适当的辅助函数或数列，利 用夹逼准则进行证明。
拓展：两个重要极限在其他领域应用
三角函数逼近 指数函数逼近 微分方程求解 概率论与数理统计
利用sinx/x在x→0时的极限为1，可以对一些涉及三角函数的复杂 表达式进行逼近处理。
2
需要注意上界和下界的选取要合适，以确保夹逼 准则能够应用。
3
在证明过程中，需要严格遵循数学逻辑和推理规 则，确保每一步的推导都是正确的。
结合放缩法、单调性等进行证明
01
在利用夹逼准则进行证明时，可以结合放缩法、单调性等其 他数学方法进行推导。
02
放缩法可以通过对目标表达式进行适当的放大或缩小，从而 找到更易于处理的上界或下界。
典型例题分析与解答
例题3
求解$lim_{x to 0} frac{tan x - sin x}{x^3}$。
解答
利用等价无穷小替换，有$lim_{x to 0} frac{tan x - sin x}{x^3} = lim_{x to 0} frac{x + frac{1}{3}x^3 - x + frac{1}{6}x^3}{x^3} = frac{1}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
求解函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定 积分。
该问题可以转化为求解一个数列的极 限问题，即求解数列{∑f(ξi)Δxi}的极限 （当n趋向于无穷大时），其中ξi为区 间[0,1]上的n等分点。由于f(x)=x^2在 区间[0,1]上是连续且可积的，因此可 以考虑使用夹逼准则进行求解。
0/0型极限
通过分子分母分别求导来求解， 即洛必达法则。
0*∞型极限
通过变形转化为0/0型或∞/∞ 型极限求解。
其他复杂极限形式
可以通过等价无穷小替换、泰 勒展开等方法进行求解。
03 夹逼准则在证明题中应用
利用夹逼准则证明等式或不等式
1
通过找到目标表达式的上界和下界，利用夹逼准 则证明等式或不等式成立。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在求解一些复杂的数列或函数极限时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙 的放缩和变换，找到夹逼的数列或函数，从而求得极限。
在判断级数收敛性中综合应用
利用夹逼准则判断级数收敛性
对于正项级数，可以通过放缩法找到一个与原级数相似但更易于判断收敛性的级数，利用夹逼准则判断原级 数的收敛性。
04 两个重要极限在计算题中 应用
利用两个重要极限求解复杂表达式
第一个重要极限
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$，可用来求解形如$frac{sin x}{x}$或$frac{x}{sin x}$的复杂表达式在$x to 0$时的极限。
第二个重要极限
$lim_{x to infty} left(1 + frac{1}{x}right)^x = e$，可用来求解形如$left(1 + frac{1}{x}right)^x$或 $left(1 + frac{a}{x}right)^{bx}$的复杂表达式在$x to infty$时的极限。
02 两个重要极限介绍
第一个重要极限：sinx/x
01
02
03
极限形式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限为1。
几何意义
表示单位圆上某点切线与 x轴夹角的正切值与该点 横坐标的比值在趋于0时 的极限。
应用场景
在求解三角函数、幂函数 等相关问题时经常用到。
第二个重要极限：(1+1/x)^x
极限形式
典型例题分析与解答
• 解答：利用第二个重要极限，有$\lim{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x+1} = \lim{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^2 \cdot \left(1 + \frac{2}{x}\right) = e^2$。
对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{sin n}{n}$和$sum_{n=1}^{infty}(1 + frac{1}{n})^{n}$的级数，可以利 用两个重要极限的结论判断其收敛性。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在判断一些复杂级数的收敛性时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙的放缩和变换， 找到夹逼的级数或函数，从而判断原级数的收敛性。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系， 即∑(ξi1)^2Δxi≤∑f(ξi)Δxi≤∑(ξi)^2Δxi。然 后验证不等式两侧的数列极限是否存 在且相等。对于左侧数列和右侧数列， 当n趋向于无穷大时，其极限均为1/3 （可以通过定积分的几何意义或定积 分计算公式进行验证）。因此根据夹 逼准则，原数列的极限存在且为1/3， 即函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积 分为1/3。
利用(1+1/x)^x在x→∞时的极限为e，可以对一些涉及指数函数的 复杂表达式进行逼近处理。
在求解某些微分方程时，可以利用这两个重要极限简化方程形 式或求解过程。
在概率论与数理统计中，这两个重要极限也经常出现，例如在 求解某些概率分布或统计量的极限性质时。
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感谢您的观看
02
利用第二个重要极限求解幂函数、指数函数相关问题，如求
(1+x)^(1/x)在x=0处的极限值。
结合洛必达法则等其他求极限方法，可以求解更复杂的极限问
03
题。
拓展：其他常见极限形式及求解方法
∞/∞型极限
通过分子分母同除以某个趋于 无穷的变量来转化为0/0型极 限求解。
1^∞型极限
通过取对数转化为0*∞型极限 求解。
夹逼准则应用
通过构造合适的上下界数列，利用夹逼准则求解一些复杂数列或函数 列的极限。
两个重要极限应用
利用这两个重要极限可以简化一些复杂极限的求解过程，提高解题效 率。
拓展：夹逼准则在其他领域应用
积分定定积分的取值范围。
级数收敛性判断
05 夹逼准则与两个重要极限 综合应用
在求解数列和函数极限中综合应用
利用夹逼准则求数列极限
对于难以直接求解的数列极限，可以通过放缩法找到两个易于求解的数列，使得原数列被这两个 数列夹逼，从而求得原数列的极限。
利用两个重要极限求函数极限
对于形如$frac{sin x}{x}$和$(1 + frac{1}{x})^{x}$的函数极限，可以直接利用两个重要极限的结 论求解。
Yn≤Xn≤Zn (n=1,2,3,...)， lim Yn = a，lim Zn = a 那么数列{Xn}的极限存 (当n趋向于无穷大时)， 在，且当 n 趋向于无穷 大时，lim Xn = a。
夹逼准则性质：夹逼准 则主要用于求解一些复 杂数列或函数的极限， 通过放缩法找到一个比 原数列或函数大且极限 为A的数列或函数，和一 个比原数列小且极限也 为A的数列或函数，那么 原数列或函数的极限便 为A。
于0）。
典型例题分析与解答
例题1
求解数列{n/(n^2+1)}的极限（当n趋向于无穷大时）。
分析
该数列的通项公式为n/(n^2+1)，当n趋向于无穷大时，分子n和分母n^2+1都趋向于无穷大， 因此无法直接求解该数列的极限。此时可以考虑使用夹逼准则进行求解。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系，即0<n/(n^2+1)<1/n。然后验证不等式两侧的数列 极限是否存在且相等。对于0数列，其极限为0；对于1/n数列，当n趋向于无穷大时，其极限 也为0。因此根据夹逼准则，原数列的极限存在且为0。
夹逼准则适用条件
数列或函数项的不等式关系
在使用夹逼准则时，需要找到与原数列或函数相关的不等式关系，这是应用夹 逼准则的前提。
两侧数列或函数的极限存在且相等
在找到不等式关系后，需要验证不等式两侧的数列或函数的极限是否存在且相 等，这是应用夹逼准则的关键。
夹逼准则与极限关系
夹逼准则是求解极限的一 种重要方法
对于一些复杂或难以直接求解的数列或函数 极限问题，可以通过夹逼准则进行求解。
夹逼准则体现了极限的保 号性
在使用夹逼准则时，如果两侧的数列或函数 极限存在且相等，那么原数列或函数的极限 也一定存在且等于该值。这体现了极限的保 号性，即如果数列或函数在某一点的极限存 在且大于0（或小于0），那么在该点的某个 邻域内，数列或函数的值也一定大于0（或小
结合等价无穷小替换进行计算
01
02
03
等价无穷小是微积分中 的一个重要概念，指在 特定条件下，两个无穷 小量之比的极限为1。
利用等价无穷小替换可 以将复杂的极限问题转 化为简单的极限问题，
从而更容易求解。
常见的等价无穷小替换有： $sin x sim x$，$tan x sim x$，$1 - cos x sim frac{1}{2}x^2$等。
典型例题分析与解答
例题1
求解$lim_{x to 0} frac{sin 3x}{x}$。
解答
利用第一个重要极限，有$lim_{x to 0} frac{sin 3x}{x} = 3lim_{x to 0} frac{sin 3x}{3x} = 3$。
例题2
求解$lim_{x to infty} left(1 + frac{2}{x}right)^{x+1}$。
06 总结与拓展
夹逼准则与两个重要极限知识点总结
夹逼准则定义
若存在数列{xn}、{yn}及{zn}，满足yn≤xn≤zn，且lim yn=lim zn=a， 则lim xn=a。
两个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。这两个极限在求解涉 及三角函数和指数函数的极限问题时具有重要作用。
01
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限为e（自然对数的底数）。
变形形式
02
如(1+x)^(1/x)，当x趋近于0时的极限也为e。
应用场景
03
在求解复利、连续增长等问题时经常用到。
两个重要极限在求解问题中应用
01
利用第一个重要极限求解三角函数相关问题，如求sinx或cosx 在x=0处的导数。
03
单调性则可以在一定条件下，利用函数的单调性来推导不等 式或等式。
典型例题分析与解答
通过具体例题来展示如何利用夹逼准则进行证明，包括例题的选取、分析、 解答等过程。
例题可以包括各种类型的问题，如等式证明、不等式证明、极限计算等。
在解答过程中，需要详细展示每一步的推导过程和思路，以便读者能够更 好地理解和掌握夹逼准则的应用方法。
高数夹逼准则与两个重要极限
contents
目录
• 夹逼准则基本概念 • 两个重要极限介绍 • 夹逼准则在证明题中应用 • 两个重要极限在计算题中应用 • 夹逼准则与两个重要极限综合应用 • 总结与拓展
01 夹逼准则基本概念
夹逼准则定义及性质
01
02
03
04
05
夹逼准则定义：如果数 列{Xn},{Yn}及{Zn}满足 下列条件
在解决实际问题中综合应用
利用夹逼准则解决实际问 题
在一些实际问题中，可以通过夹逼准则找到 问题的上下界，从而求得问题的近似解或精 确解。
利用两个重要极限解决实际 问题
在一些与连续复利、自然增长等相关的实际问题中 ，可以利用两个重要极限的结论建立数学模型并求 解。
综合应用夹逼准则和两个 重要极限
在一些复杂的实际问题中，可以将夹逼准则 和两个重要极限结合起来使用，建立更准确 的数学模型并求解。
对于某些复杂级数，可以通过构造比较级数，利用夹逼准则判断 原级数的收敛性。
不等式证明
在证明某些不等式时，可以通过构造适当的辅助函数或数列，利 用夹逼准则进行证明。
拓展：两个重要极限在其他领域应用
三角函数逼近 指数函数逼近 微分方程求解 概率论与数理统计
利用sinx/x在x→0时的极限为1，可以对一些涉及三角函数的复杂 表达式进行逼近处理。
2
需要注意上界和下界的选取要合适，以确保夹逼 准则能够应用。
3
在证明过程中，需要严格遵循数学逻辑和推理规 则，确保每一步的推导都是正确的。
结合放缩法、单调性等进行证明
01
在利用夹逼准则进行证明时，可以结合放缩法、单调性等其 他数学方法进行推导。
02
放缩法可以通过对目标表达式进行适当的放大或缩小，从而 找到更易于处理的上界或下界。
典型例题分析与解答
例题3
求解$lim_{x to 0} frac{tan x - sin x}{x^3}$。
解答
利用等价无穷小替换，有$lim_{x to 0} frac{tan x - sin x}{x^3} = lim_{x to 0} frac{x + frac{1}{3}x^3 - x + frac{1}{6}x^3}{x^3} = frac{1}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
求解函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定 积分。
该问题可以转化为求解一个数列的极 限问题，即求解数列{∑f(ξi)Δxi}的极限 （当n趋向于无穷大时），其中ξi为区 间[0,1]上的n等分点。由于f(x)=x^2在 区间[0,1]上是连续且可积的，因此可 以考虑使用夹逼准则进行求解。
0/0型极限
通过分子分母分别求导来求解， 即洛必达法则。
0*∞型极限
通过变形转化为0/0型或∞/∞ 型极限求解。
其他复杂极限形式
可以通过等价无穷小替换、泰 勒展开等方法进行求解。
03 夹逼准则在证明题中应用
利用夹逼准则证明等式或不等式
1
通过找到目标表达式的上界和下界，利用夹逼准 则证明等式或不等式成立。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在求解一些复杂的数列或函数极限时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙 的放缩和变换，找到夹逼的数列或函数，从而求得极限。
在判断级数收敛性中综合应用
利用夹逼准则判断级数收敛性
对于正项级数，可以通过放缩法找到一个与原级数相似但更易于判断收敛性的级数，利用夹逼准则判断原级 数的收敛性。
04 两个重要极限在计算题中 应用
利用两个重要极限求解复杂表达式
第一个重要极限
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$，可用来求解形如$frac{sin x}{x}$或$frac{x}{sin x}$的复杂表达式在$x to 0$时的极限。
第二个重要极限
$lim_{x to infty} left(1 + frac{1}{x}right)^x = e$，可用来求解形如$left(1 + frac{1}{x}right)^x$或 $left(1 + frac{a}{x}right)^{bx}$的复杂表达式在$x to infty$时的极限。
02 两个重要极限介绍
第一个重要极限：sinx/x
01
02
03
极限形式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限为1。
几何意义
表示单位圆上某点切线与 x轴夹角的正切值与该点 横坐标的比值在趋于0时 的极限。
应用场景
在求解三角函数、幂函数 等相关问题时经常用到。
第二个重要极限：(1+1/x)^x
极限形式
典型例题分析与解答
• 解答：利用第二个重要极限，有$\lim{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x+1} = \lim{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^2 \cdot \left(1 + \frac{2}{x}\right) = e^2$。