2022年高考数学立体几何专题复习8.2 空间几何体的表面积与体积

dm3.
答案
9 3
(1)
4
12
(2) π
5
解析 (1)由图可知,因为三棱锥 P-ABA1 的体积等于三棱锥 C-ABA1 的体积也
等于三棱锥 A1-ABC 的体积,所以三棱锥 P-ABA1 的体积为
1
1
3 2
9 3
S△ABC·
AA1= × ×3 ×3= .
3
3
4
4
(2)作出相关图形,可得 AH= 3,因此∠ACH=30°,因此放球前
侧面积是2πS.( × )
(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的
表面积为3πa2.( × )
(3)若一个球的体积为4 3 π,则它的表面积为12π.(
)
(4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC绕直线BC旋转一周所
形成的几何体的体积为9π.( × )
△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为
(
)
A.64π B.48π C.36π D.32π
(2)(2020浙江,14)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是
一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是
.
答案 (1)A
(2)1
解析 (1)由题意知☉O1 的半径
几何体的直观图,从三视图中找到构成几何体的元素间的位置关系及数量
关系,然后求其体积.
2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一
些不规则几何体体积计算常用的方法.
3.一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面
积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.
为
1
1
3×2×2×2+2×2
2×2 2×sin 60°=6+2 3.
4.(2020全国1,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可
视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一
个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的
比值为(
A.
5-1
4
C.
5+1
1
V1=3π×(
3)2×3=3π,球 O 与边 A1C 相切于点 M,故 OM=r,则 OC=2r,所以
CH1=3r,A1H1= 3r,所以放球后
4 3
=3πr ,解得
V
12
π.
球=
5
1
V2=3π×(
3r)2×3r=3πr3,而 V1+V 球=V2,而 V 球
考点3
与球有关的切、接问题(多考向探究)
【例 4】 (1)(2019 全国 1,理 12)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球
面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,
∠CEF=90°,则球 O 的体积为(
)
A.8 6π
C.2 6π
B.4 6π
D. 6π
(2)(2020 湖南湘潭三模,文 16)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的球
几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,
1
因为三棱锥高为 ,直三棱柱高为
2
取 AD 的中点 M,则
所以
1
2
S△AGD=2×1×2
1,AG= 1-
1 2
2
=
3
,
2
2
MG= ,
2
=
2
,所以
4
2
1
2 1
V= 4 ×1+2×3 × 4 × 2
=
2
.
3
解题心得1.求由三视图给出的几何体的体积,一般思路是根据三视图画出
4
)
B.
5-1
2
D.
5+1
2
答案 C
解析 如图,设正四棱锥的高为 h,底面边长为 a,侧面三角形底边上的高为 h',
2
ℎ =
则有
1
ℎ',
2
2
ℎ2 = ℎ' -
因此有 h' 2
2
2
2
,
2
=
1
ah',
2
化简得 4
ℎ' 2
ℎ'
-2


ℎ'
解得
5+1
.(负值舍去)
4
=
-1=0,
5.(2020天津,5)若棱长为2 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表
解题心得求空间几何体表面积的常见类型及思路
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图
求多面体的表面积
形面积的方法求多面体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开
求旋转体的表面积 后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应
侧面展开图中的边长关系
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先
在△AEC 中,由余弦定理可知
2 +4-(3-2 )
cos∠EAC=
.
2×2·
1
2
3- ,AE= PA=x.
2
作 PD⊥AC 于点 D,∵PA=PC,
面上,PA=BC=5,PB=AC= 15,PC=AB=2 5,则球 O 的表面积
为
.
答案 (1)D
(2)30π
解析(1)设 PA=PB=PC=2x.
∵E,F 分别为 PA,AB 的中点,
∴EF∥PB,且
1
EF=2PB=x.
∵△ABC 为边长为 2 的等边三角形,
∴CF= 3.又∠CEF=90°,∴CE=
∵BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos 60°,∴BC= 3,设△ABC 的外接圆的半径为

r,则sin 60°=2r,∴r=1,
设外接球的半径为 R,则 R= 2 + 2 = 1 + 1 = 2,
∴球的表面积等于 4π( 2)2=8π.
考向2 棱锥的外接球问题(多方法)
1.补形法求球的半径
解析 (1)如图,几何体是上下结构,下面是三棱柱,底面是等腰直角三角形,斜
边为 2,高为 1,三棱柱的高是 2,上面是三棱锥,平面 DA1C1⊥平面 A1B1C1,且
DA1=DC1,三棱锥的高是 1,故几何体的体积
1
1
1
7
V= ×2×1×2+ × ×2×1×1= .
2
3源自文库
2
3
(2)如图所示,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原
面积为(
)
A.12π B.24π
C.36π
D.144π
答案 C
解析 ∵2R= (2 3 × 2)2 + (2 3)2 =6,
∴球的表面积为 4πR2=36π.故选 C.
关键能力 学案突破
空间几何体的表面积
考点1
【例1】 (1)(2020全国1,文12)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为
体的体积(单位:cm3)是(
7
A.3
14
B. 3
C.3
D.6
)
(2)(2020山东潍坊模拟)如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD
是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多
面体的体积为(
A.
2
3
)
B.
3
3
4
C.
3
3
D.
2
答案 (1)A
(2)A
对点训练2(1)(2020四川绵阳中学质检)如图,在正三棱柱
ABC-A1B1C1中,已知AB=AA1=3,点P在棱CC1上,则三棱锥
P-ABA1的体积为
.
(2)(2020陕西二模,文16)如图,圆锥形容器内盛有水,水深
3 dm,水面直径2 3 dm放入一个铁球后,水恰好把铁球淹
没,则该铁球的体积为
2
(5)将圆心角为 ,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于
3
4π.(
)
2.(2020北京,4)某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱
的表面积为(
A.6+ 3
B.6+2 3
C.12+ 3
D.12+2 3
)
答案 D
解析 由题意可得,三棱柱的上下底面为边长为 2 的等边三角形,侧面是三个
面的半径r的关系式R2=r2+d2,这里棱柱的底面看作球的截面.
对点训练3已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球
面上,若该棱柱的体积为 3 ,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等
于
.
答案 8π
解析
1
由题意得2×2×1×sin
60°×AA1= 3,∴AA1=2,球心到底面的距离 d=1.
考向1 棱柱的外接球问题
【例3】 (2020陕西榆林一模,理14)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都
在同一球面上,若AB=AC=1,AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等
于
答案 8π
.
解析 由题意可知,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 h=AA1=2,在△ABC
中,AB=AC=1,则该三角形为等腰三角形,又∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,
1
V=3(S 上+S 下+
球
S=
4πR2
4
V=
3
πR3
S上 S下 )h
常用结论
1.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
2.长方体的外接球
(1)球心:体对角线的交点.
(2)半径: r=
a 2 +b 2 +c 2
2
(a,b,c分别为长方体的长、宽、高).
3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)
(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径
6
r= 4 a(a
6
12
为正四面体的棱长).
(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径 r= a(a 为正四面体的棱长).
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的
边长为 2 的正方形,则其表面积为
故选 D.
1
S=3×(2×2)+2×(2×2×2×sin
60°)=12+2 3.
3.(2020全国3,文9)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是(
A.6+4 2
B.4+4 2
C.6+2 3
D.4+2 3
)
答案 C
解析 由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为 2 的正方体一角,其表面积

r=2.由正弦定理知 =2r,
sin
∴OO1=AB=2rsin 60°=2 3,
∴球 O 的半径 R= 2 + |1 |2 =4.
∴球 O 的表面积为 4πR2=64π.
(2)设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,由题意可知
1 2
πrl=2πl =2π,解得
r=1,l=2.
思考求几何体的表面积的关键是什么?
求不规则几何体的
求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求
表面积
和或作差,求出所给几何体的表面积
对点训练1(1)已知某几何体的三视图如图所示,
则该几何体的表面积是(
A.2 2 + 3 + 5
)
B.2 2+2 5
C.2+ 2 + 3 + 5
D.8+4 2+4 3+4 5
(2)(2020 全国 2,文 11)已知△ABC
2022
第八章
高考总复习
8.2 空间几何体的表面积与体积
内
容
索
引
01
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
03
素养提升微专题8
数学建模——用导数求体积的最大值
必备知识 预案自诊
【知识梳理】
1.多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就
是 所有侧面的面积之和
,表面积是侧面积与底面面积之和.
r,则 S△ABC=
3 2 9 3
a = ,S
4
4
球O
2
=4πR =16π,解得 a=3,R=2.故
2
3
r= × a=
3
2
设 O 到平面 ABC 的距离为 d,则 d2+r2=R2,故 d= 2 - 2 =
故选 C.
3.
4-3=1.
考点2
空间几何体的体积
【例2】 (1)(2020浙江,5)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
S圆柱侧= 2πrl
S圆锥侧= πrl
S圆台侧= π(r1+r2)l
侧面展开图
侧面积公式
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
表面积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底
体积
V= Sh
1
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底
Sh
V= 3
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下
形,AB=2 2,∴S△ABC=4 2;
∵△ACD 是等腰三角形,且 AC=AD=2 6,∴S△ACD=4 5.
∵BD=4 2,
∴AB2+AD2=BD2,∴∠BAD=90°,
∴S△ABD=4 3,∴该几何体的表面积是 8+4 2+4 3+4 5,故选 D.
(2)设等边三角形 ABC 的边长为 a,球 O 的半径为 R,△ABC 的外接圆的半径为
设△ABC 的外接圆半径为 r,由正弦定理得

2r=sin∠=2,∴r=1.
设直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球半径为 R,则 R= 2 +
因此,该球的表面积为 4πR2=8π.
ℎ 2
2
= 2,
思考如何确定三棱柱外接球的半径?
解题心得求棱柱外接球的半径,常利用球心到截面的距离d与球半径R及截
9 3
是面积为 4 的等边三角形,且其顶点都在
球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16π,则 O 到平面 ABC 的距离为(
A. 3
3
B.2
C.1
D.
3
2
)
答案 (1)D
(2)C
解析 (1)由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 A-BCD,
∵△BCD 是等腰直角三角形且 CB=CD=4,∴S△BCD=8,∵△ABC 是直角三角