两角和与差、二倍角的公式(一)

05-02 两角和与差、二倍角的公式（一）
点一点——明确目标
掌握两角和与差的三角函数公式及其推导方法，能熟练应用公式进行求值、化简、证明.
做一做——热身适应
1.
︒
︒
-︒70sin 20sin 10cos 2的值是 .
解析：原式=︒
︒
-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（
=︒︒
-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（
=
︒
︒
20cos 20cos 3=3.
答案：3
2.已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），sin （α+β）=65
33，cos β=－135
，则sin α=_______.
解析：由0＜α＜
2π，2π＜β＜π，得2π＜α+β＜2π
3. 故由sin （α+β）=6533，得cos （α+β）=－65
56
. 由cos β=－
135，得sin β=13
12. ∴sin α=sin ［（α+β）－β］=sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=65
33²（－135
）－
（－
6556）²1312=－845
507
.
答案：－
845
507
3.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于
A.－
21 B.2
1
C.－23
D.23
解析：原式=sin17°²（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°
cos43°=cos60°=
2
1
. 答案：B
4.（2005年春季北京，7）在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析：由2sin A cos B =sin C 知2sin A cos B =sin （A +B ）， ∴2sin A cos B =sin A cos B +cos A sin B . ∴cos A sin B －sin A cos B =0.
∴sin （B －A ）=0.∴B =A . 答案：B
理一理——疑难要点
1.C （α+β）的推导
角α的始边为Ox ，交单位圆于P 1，终边OP 2交单位圆于P 2，角β的始边为OP 2，终边交单位圆于P 3，角－β的始边为Ox ，终边交单位圆于P 4，由|31P P |=|42P P |，得［cos （α+β）－1］
2
+sin 2（α+β）=［cos （－β）－cos α］2+［sin （－β）－sin α］2.
∴cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β. 2.S （α±β）、C （α－β）、T （α±β）以及推导线索
（1）在C （α+β）中以－β代β即可得到C （α－β）. （2）利用cos （
2
π
－α）=sin α即可得到S （α+β）；再以－β代β即可得到S （α－β）. （3）利用tan α=
α
α
cos sin 即可得到T （α±β）. 说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.应用公式注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.
拨一拨——思路方法
【例1】 设cos （α－
2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2
π
，求
cos （α+β）.
剖析：2βα+=（α－2β）－（2
α
－β）.
依上述角之间的关系便可求之. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2
π， ∴
4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2
π. 故由cos （α－
2β）=－91
，得sin （α－2
β）=954.
由sin （
2α－β）=32，得cos （2
α
－β）=35.
∴cos （2βα+）=cos ［（α－2β）－（2
α
－β）］= (2757)
∴cos （α+β）=2cos 22
βα+－1=…=－729239
.
评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.
【例2】[2006年上海文,17]已知α是第一象限的角，且5cos 13
α=，求()sin 4cos 24πααπ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭+的
值。

解：)42cos()
4sin(παπ
α++
=ααα
ααααααsin cos 122sin cos )
sin (cos 22
2cos )sin (cos 222
2-⋅=-+=+ 由已知可得sin 13
12
=
α, ∴原式=1421313
12135122-=-⨯. 【例3】 已知α、β、γ∈（0，
2
π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值.
剖析：由已知首先消去γ是解题关键.
解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β. 平方相加得
（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1.
∴－2cos （β－α）=－1.∴cos （β－α）=2
1. ∴β－α=±
3
π. ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α.∴β－α=3π. 评述：本题极易求出β－α=±3
π
，如不注意隐含条件sin γ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.
【例4】sin α+sin β=
2
2
，求cos α+cos β的取值范围. 解：令t =cos α+cos β，
① sin α+sin β=22
，
②
①2+②2，得t 2+2
1
=2+2cos （α－β）.
∴2cos （α－β）=t 2－2
3
∈［－2，2］. ∴t ∈［－
214，2
14］. 练一练——巩固提高
1.（2004年上海，1）若tan α=
21，则tan （α+4
π
）=____________. 解析：tan （α+4π）=4
πtan
tan 14πtan
tan ⋅-+αα=12111
21
⨯-+=3.
答案：3
2.要使sin α－3cos α=m
m --46
4有意义，则应有 A.m ≤
3
7
B.m ≥－1
C.m ≤－1或m ≥
3
7
D.－1≤m ≤
3
7 解析：2sin （α－3π）=m m --464⇒sin （α－3
π）=
m m --432. 由－1≤
m m --432≤1⇒－1≤m ≤3
7
. 答案：D
3.（2004年福建，2）tan15°+cot15°等于 A.2
B.2+3
C.4
D.3
3
4 解析一：tan15°+cot15°=︒︒15cos 15sin +︒
︒15sin 15cos =︒︒︒
+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4.
解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =3
3133
1+
-
=3
333+-. ∴原式=
3
333+-+
3
333-+=4.
答案：C
4.（2004年湖南，17）已知tan （4π
+α）=2，求α
αα2cos cos sin 21+的值. 解：由tan （4
π+α）=αα
tan tan 1-1+=2，
得tan α=3
1
.
于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα22
2
cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2
=1
3
121
312+⨯+）（=32. 5.已知cos α=71，cos （α+β）=－1411，α、β∈（0，2π），求β. 解：由cos α=
71，cos （α+β）=－14
11， 得cos β=cos ［（α+β）－α］=2
1
， 得β=
3
π
. 6.已知sin （
4π－x ）=135，0＜x ＜4
π
，求
）
（x x
+4
πcos 2cos 的值.
分析：角之间的关系：（4π－x ）+（4π+x ）=2π及2π－2x =2（4
π
－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.
解：∵（4π－x ）+（4π+x ）=2
π
， ∴cos （
4π+x ）=sin （4
π
－x ）. 又cos2x =sin （2
π
－2x ） =sin2（4π－x ）=2sin （4π－x ）cos （4
π
－x ）， ∴
）
（x x +4
πcos 2cos =2cos （4π－x ）=2³1312=1324
.
7.已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=m
m
-+11tan α. 证明：∵sin β=m sin （2α+β）， ∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］. ∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α =m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α. ∴（1－m ）sin （α+β）cos α =（1+m ）cos （α+β）sin α. ∴tan （α+β）=
m
m
-+11tan α. 8.（2005年北京西城区抽样测试）已知sin2α=53，α∈（4π5，2
π3）. （1）求cos α的值；
（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－
10
10
的锐角x .
解：（1）因为4π5＜α＜2
π
3， 所以
2
π
5＜2α＜3π. 所以cos2α=－α2sin 12-=－
5
4. 由cos2α=2cos 2α－1，所以cos α=－
10
10. （2）因为sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－10
10， 所以2cos α（1－sin x ）=－10
10. 所以sin x =
2
1. 因为x 为锐角，所以x =
6
π. 想一想——拓展发散
对于α、β∈（0，
2
π），若有3sin 2α+2sin 2β=1 ①，及3sin2α－2sin2β=0 ②， 求α+2β的值.
解：由①得3sin 2α=1－2sin 2β=cos2β. 由②得sin2β=
2
3
sin2α. ∴cos （α+2β）=cos αcos2β－sin αsin2β =3cos αsin 2α－sin α²2
3
sin2α=0. ∵α、β∈（0，2π），∴α+2β∈（0，2
π3）. ∴α+2β=2
π.。