上海市十三校2016届高三第二次(3月)联考数学文试题 Wo

2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．若行列式，则x=．
2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．
3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程
为．
4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=．
5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．
6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）
8．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．
9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．
10．设函数f（x）=（）x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g（x）=log
x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=．
12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为．
13．已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，
且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为．
14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，
x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是．
二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）
A．系数行列式D≠0
B．比例式
C．向量不平行
D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行
16．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）
A． B． C． D．
17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）
A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9
18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）
A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线
三、解答题（共5小题，满分0分）
19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）
20．复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；
（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；
（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）=0成立，求实数λ的取值范围．
21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记
r（a，b）=．
（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程
（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2 （3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE
上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．
23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．
（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；
（2）如函数f（x）=有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a
中的元素个数为a n，求证：．
2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．若行列式，则x=2．
【考点】二阶矩阵．
【专题】计算题．
【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．
【解答】解：∵，
∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1
∴x=2
故答案为：2
【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．
2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理．
【分析】根据二次项展开式的通项公式，写出含x项的指数，令指数为0求出r的值，再计算二项展开式中的常数项．
【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：
T r+1=•（2x）6﹣r•=•26﹣r••x6﹣2r，
由6﹣2r=0得：r=3；
∴二项展开式中的常数项为：
•23•=﹣20．
故答案为：﹣20．
【点评】本题考查了二项式系数的性质问题，利用二项展开式的通项公式求出r的值是解题的关键，是基础题．
3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为
．
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】先根据椭圆的焦点位置，求出半焦距，经过的椭圆的长半轴等于，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．
【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=1，a=，
∴b2=4，
故椭圆的方程为为
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．
4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=[4，5）．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，
解得：1＜x＜5，即A=（1，5），
由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，
解得：x＜0或x≥4，即B=（﹣∞，0）∪[4，+∞），
则A∩B=[4，5），
故答案为：[4，5）
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题．
【分析】由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
【解答】解：由，a=BC=3，c=，
根据正弦定理=得：
sinC==，
又C为三角形的内角，且c＜a，
∴0＜∠C＜，
则∠C=．
故答案为：
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．
6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女
同学的概率是．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数，由选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学至少有一名女同学的概率．
【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，
基本事件总数n=，
选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，
∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：
p=1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE所成角
的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）
【考点】异面直线及其所成的角；反三角函数的运用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空是直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D1与DE所成角的大小．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空是直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则B1（2，0，2），D1（0，2，2），D（0，2，0），E（0，0，1），
=（﹣2，2，0），=（0，﹣2，1），
设异面直线B1D1与DE所成角为θ，
cosθ===，
∴θ=arccos．
∴异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
8．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1]．【考点】基本不等式．
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式．
【分析】化简a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，从而可得b2﹣k2b2≥0恒成立，从而解得．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，
∴对任意k，b，都存在a=kb；
∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：
b2﹣k2b2≥0恒成立，
即1﹣k2≥0成立，
故k∈[﹣1，1]，
故答案为：[﹣1，1]．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用．
9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
目标函数为2x+y=﹣6，
由，解得，
即A（﹣2，﹣2），
∵点A也在直线y=k上，
∴k=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
10．设函数f（x）=（）x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g（x）=log
x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为10．
【考点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】x1、x2是（）x=5﹣x的两个根，得到x1=5﹣，x2=5﹣，再根
据f（x）与g（x）互为反函数得到x3=y2=，x4=y1=，问题得以解决．
【解答】解：函数f（x）=（）x的图象与直线y=5﹣x交点的横为x1、x2，
∴x1、x2是（）x=5﹣x的两个根，
∴x1=5﹣，x2=5﹣，
∵f（x）=（）x的图象与g（x）=log x关于y=x对称，
∴x3=y2=，x4=y1=，
∴x1+x2+x3+x4═5﹣+5﹣++=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，以及方程的根的问题，关键是f（x）与g （x）互为反函数，属于中档题
11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=502．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；阅读型；分类讨论；归纳法；等差数列与等比数列．
【分析】由a1=1知，数列{a n}都是正数，故数列{a n}是递增数列，从而可得a10的最小值b=1×10=10，a10的最大值a=29=512，从而解得．
【解答】解：∵a1=1，
∴a2﹣a1∈{a1}，
∴a2﹣a1=1，
故a2=2，
a3﹣a2∈{a1，a2}，
∴a3﹣a2=1，a3﹣a2=2，
∴a3=3或a3=4；
同理可得，
a10的最小值b=1×10=10，
a10的最大值a=29=512，
故a﹣b=512﹣10=502，
故答案为：502．
【点评】本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力，同时考查了等比数列与等差数列的应用．
12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3]．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】根据奇函数的性质求出f（﹣2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象并对x 分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．
【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（﹣∞，0）是减函数，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，
函数图象示意图：其中f（0）=0，
∵xf（x﹣1）≥0，
∴或，
解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，
∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，
故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键，考查分类讨论思想和数形结合思想．
13．已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，
且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为9．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用．
【分析】以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，可设A1（﹣1，
0），A2（1，0），A3（0，），A4（0，0），A5（﹣，），A6（，），运用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，计算即可得到所求个数．
【解答】解：以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，
可设A1（﹣1，0），A2（1，0），A3（0，），
A4（0，0），A5（﹣，），A6（，），
可得=（2，0），
若i=1，则•=2（+1），
可得4，2，2，1，3；
若i=2，则•=2（﹣1），
可得﹣4，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1；
若i=3，则•=2（），
可得﹣2，2，0，﹣1，1；
若i=4，则•=2（），
可得﹣2，2，0，﹣1，1；
若i=5，则•=2（+），
可得﹣1，3，1，1，2；
若i=6，则•=2（﹣），
可得﹣3，1，﹣1，﹣1，﹣2．
综上可得取值有±1，±2，±3，±4，0共9个．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，
x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得≤ωx+≤ωπ+，2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，由此求得ω的范围．
【解答】解：由题意得，D=[0，π]，f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，
∵f﹣1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．
∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，
∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）
A．系数行列式D≠0
B．比例式
C．向量不平行
D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．
【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程
组存在唯一解
当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，
故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．
16．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．
【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，
在两条为长方体的两条对角线，
它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，
另一条为体对角线，
它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，
对照各图，只有D符合．
故选D．
【点评】本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．
17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）
A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9
【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．
【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．
【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，
故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．
故选B
【点评】本题主要考查系统抽样方法．
18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）
A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线
【考点】轨迹方程．
【专题】压轴题；运动思想．
【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．
【解答】解：排除法：设动点为Q，
1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．
2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；
3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；
则本题选D．
故选D．
【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
三、解答题（共5小题，满分0分）
19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】求出圆锥的侧面积即为答案．
【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．
∵V==，∴r=10cm．
∴圆锥形容器的侧面积S==100cm2≈444.3cm2．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积，体积计算，属于基础题．
20．复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；
（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；
（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）=0成立，求实数λ的取值范围．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用；数系的扩充和复数．
【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可；
（2）写出复数z1，z2对应的向量，代入等式（）•（）=0，展开数量积即可求得实数λ的取值范围．
【解答】解：复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]．
（1）z1•z2=2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，
z1•z2为实数，可得4sinθcosθ﹣=0，sin2θ=，
解得2θ=，
∴cos2θ=﹣；
（2）复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，
复数z1，z2对应的向量分别是，
=（2sinθ，﹣），=（1，2cosθ），
（）•（）=0，
∵=（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2=8，
=（2sinθ，﹣）•（1，2cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，
∴（）•（）=λ（）﹣（1+λ2）=8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）=0，
化为sin（θ﹣）=，
∵θ∈[]，
∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．
∴0≤≤，解得λ≥2+或λ≤2﹣．
实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数为实数的条件，训练了向量的数量积的应用，是中档题．
21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；分类讨论；构造法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）可求得d==3，{b n﹣a n}是等比数列，公比q=2，从而求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）化简c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，从而分类讨论以确定数列{c n}的前n项和S n，可
求得S n=，从而讨论即可．
【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，
∴d==3，
∴a n=3n，
∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1=4﹣3=1，b4﹣a4=20﹣12=8，
∴q=2，
∴b n﹣a n=1•2n﹣1，
∴b n=3n+2n﹣1；
（2）c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，
故①当n为奇数时，
S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）
=（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）
=3×﹣3n+[（﹣2）n﹣1]
=﹣（n+1）+[（﹣2）n﹣1]
=﹣[（n+1）+（2n+1）]，
②当n为偶数时，
S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）
=（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）
=3×+[（﹣2）n﹣1]
=n+（2n﹣1），
综上所述，
S n=，
若S m=2016，故m一定是偶数，
故m+（2m﹣1）=2016，
故（2m﹣1）=2016﹣m，
而（214﹣1）＞2016，（212﹣1）＜2016﹣×12，
故m值不存在．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列前n项和的求法及分类讨论的思想应用．
22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记
r（a，b）=．
（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程
（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2 （3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE
上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】新定义；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）求得特征直线的斜率，哟哟点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出双曲线的渐近线方程，可得点G的“特征直线”的斜率为2，求得G的坐标，解方程可得较大的根，进而得到证明；
（3）设C（m，n），D（s，t），求得直线l1、l2的方程，求得交点M，解方程可得两根，再由向量共线的坐标表示，即可得证．
【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，
即有直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即为y=x﹣1；
（2）证明：双曲线的渐近线为y=±x，
可得点G的“特征直线”的斜率为2，
即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），
可得点G的“特征直线”方程为y﹣4=2（x﹣4），
即为y=2x﹣4，
点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b=2a﹣4，（0≤a≤4），
方程x2﹣ax+b=0的根为x=，
即有较大的根为===2，
可得r（a，b）=2；
（3）设C（m，n），D（s，t），
即有直线l1：y+n=mx，l2：y+t=sx，
联立方程，由n=m2，t=s2，
解得x=（m+s），y=ms，
即有a=（m+s），b=ms，
则方程x2﹣ax+b=0的根为x1=m，x2=s．
可得E（0，﹣m2），
点M在线段CE上，则b=ma﹣m2=ms，
则=λ（λ≥0），即（m+s）﹣m=λ（0﹣（m+s）），
即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，
即|s|≤|m|，
则r（a，b）=；
以上过程均可逆，
即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查抛物线的切线的方程的求法和运用，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．
23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．
（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；
（2）如函数f（x）=有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a
中的元素个数为a n，求证：．
【考点】函数零点的判定定理；函数的值域．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）当x∈（，2）时，（x+log2x）∈．即可得出μ（x+log2x）的取值的集合．
（2）当x∈（0，1]时，=∈[1，+∞）；当x∈（1，2]时，=∈[1，2）；…，
当x∈（n﹣1，n]时，=∈[1，）；
函数f（x）=有且仅有2个零点，即可得出实数a的取值范围是．
（3）当x∈（n﹣1，n]时，μ（x）=n．可得xμ（x）=nx的取值范围是（n2﹣n，n2]，进而g （x）在x∈（n﹣1，n]上的函数值的个数为n个．
可得M n中元素的个数个数，可得a n=，可得．
【解答】解：（1）当x∈（，2）时，（x+log2x）∈．
∴μ（x+log2x）的取值的集合为{0，1，2，3}．
（2）当x∈（0，1]时，=∈[1，+∞）；当x∈（1，2]时，=∈[1，2）；
当x∈（2，3]时，=∈[1，）；…，
当x∈（n﹣1，n]时，=∈[1，）；
函数f（x）=有且仅有2个零点，
∴实数a的取值范围是．
（3）证明：当x∈（n﹣1，n]时，μ（x）=n．∴xμ（x）=nx的取值范围是（n2﹣n，n2]，进而g（x）在x∈（n﹣1，n]上的函数值的个数为n个．
由于区间（n2﹣n，n2]与（（n+1）2﹣（n+1），（n+1）2]没有共同的元素，
∴M n中元素的个数为1+2+…+n）=，可得a n=，
．
【点评】本题考查了新定义、函数的性质、等差数列的前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。