河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学(

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{A k =∈
N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =
（ ）
A ．{}6,9
B ．{}3,6,9
C ．{}1,6,9,10
D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2
z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）
A ．20
B ．24
C ．30
D ．32
4.已知命题1:,ln 2x
p x e x ⎛⎫
∃>> ⎪⎝⎭
；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥命题中为真命题的是 （ ）
A ．()p q ⌝∧
B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝
5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．
310π B ．320π C.3110π- D ．3120
π
-
6. 若实数,x y 满足条件210
25020
x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则432x z x y =+的最大值为（ ）
A ．1
B ．
6415 C.1619 D ．12
7. 已知)22
1
sin a x dx π
-=⎰，则二项式9
22x a x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为（ ）
A ．158-
B ．212- C.5
4
- D ．1- 8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．．12-
C.14 D ．34π
- 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．28+．36+
C. 36+．44+10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）
A
．21tan
9
- B
．25tan
922tan
9π
π--
C. 22tan
9
- D
．25tan 921tan
9
ππ
-
11.椭圆()2
2
2101y x b b
+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外
接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A
．2⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.0,2⎛ ⎝⎭
D ．10,2⎛⎫
⎪⎝⎭ 12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有
()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1
,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．
21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤
- ⎥⎝⎦
D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈R)，若(),⊥⊥-a b c b a
，则λ
μ
= ．
14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23
B π=
，若22
4a c ac +=，则()
sin sin sin A C A C
+= ．
15.已知点12,F F 分别是双曲线()2
2
2:10y C x b b
-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在
双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线
C 的焦点的取值范围为 ．
16.点M 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球
O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，
112,NB NC DM BN =⊥，
若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列{}n a 满足12,a n ==∈N *.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *
），求数
列{}2log n n b b -的前n 项和n S .
18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.
（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；
（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.
19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，
//,2AB CD AB DC AC BD F ===，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为
PAD ∆的重心.
（1）求证：//GF 平面PDC ；
（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.
20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点
A 的直线l 交C 于另一点
B ，交x 轴的正半轴于点D .
（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为3+ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛
⎫
≥
⎪⎝⎭
，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB
的距离d 的取值范围.
21. 设函数()()2,1(x f x e g x kx k ==+∈R ）.
（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；
（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a t
t y t =⎧⎨
=⎩
为参数，0a >）. 以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为
cos 4πρθ⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *
，且()4f x <恒成立.
（1）求实数m 的值；
（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：
4
1
18α
β
+
≥.
河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学
（理）试题参考答案
一、选择题
1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC
二、填空题
13. 2516 15. ⎛ ⎝⎦
三、解答题
17. 解：(1) 由题知数列
是以2为首项，2为公差的等差数列，
()
22212,43n n n a n =+-==-.
(2)设等比数列{}n b 的首项为1b ，则112n n b b -=⨯，依题有
()()()()
1221212121214log log 4log 2log 24log 1log n n n n b b b b b n b n -+⋅=⨯⋅⨯=+-+
()()2
222121214log 4log 42log 144128b b b n n n n =-+⨯-+=++，即
()()212
212142log 112
4log 4log 8
b b b ⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log 2,4b b ==，故()1112422,log 21n n n n n b b b n -++=⨯=-=-+，
()()()
2221221324222
n n n n n n n S +-+++∴=-=--
. 18. 解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()1
14
i P A =，且()i
j A A i j =∅≠.
(1)设B 为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染” ，则12121314
B A A A A A =，
所以()()
()()()()12121314514
P B P A P A P A P A P A ==
，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为
5
14
. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且
()()()()()4
8
94893014P X P A A A P A P A P A ===++=
，()()()()()21114211143
214P X P A A A P A P A P A ===++=，
()()()()()11213112133
314P X P A A A P A P A P A ===++=，
()()()()3335
11023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，
(或
()()()()()()()3
567
103567105114
P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=
)，
所以X 的分布列为
故X 的期望()3100123141414147
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且
2AB DC =，知
21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，2
1
AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC
.
(2)
平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，
连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直
角坐标系，
)()(
)()()2,0,0,3,0,3,0,,0,0,1AB DC A P B D G ==， ()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP ∴=-
=-=-
，设
()()()00000011
,,,,
,22
C x y
z DC AB x y z
=
∴=，可得0003
33,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-
==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，设平面PAB
的一个法向量为()
1111,
,n x y z =，由11111
111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩
，令
11z =，得()13,1,1n =，同理可得平面AGC 的一个法向量
()
1121212
3,5,3,cos ,
5n n
n n n n n ⋅===
=，所以平面AGC 与平面
PAB 所成锐二面角的正切值为
8
11
. 20. 解：(1)
由题知,0,3,4
222
p p
F FA FD FA ⎛⎫
=+==+
⎪⎝⎭
，则
4,0,22p
D FD ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
，则(22324
p ++=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则
()22,E x y -，由20
4y x
x my x ⎧=⎨
=+⎩消去x ，得220001
440,.161602
y my x x m x --=≥∴∆=+>，121204,4y y m y y x +==-，设P 的
坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以
()()21210P P x x y y x x -+-=，即
()()221212211221211244
P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以
12
04P y y x x =
=-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即1212
1y y x x +=-，也即()122212114
y y y y +=-，所以()2
1212124,416y y y y y y -=∴+-=，即
22000161616,1,1m x
m x x +==
-<，又因为01
2
x ≥，所以
01
1,2
x d
≤<===
，令()22
0224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==-
⎝⎦，易知()42f t t t =-
在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫
∈⎪⎪⎣⎭
. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,t t e ，由()2x f x e =得()2'2x f x e =，所以切线方程为
()222t t y e e x t -=-，
即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t t
y e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121t
t
e k t e ∴=-=，令()()1x
h x x e =-，则()'x
h x xe =-，当
(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数
()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象
相切于()0,1，得出0
22k e ==，得3分）
(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，
都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即
()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得
12ln 22k x -<
，令()'0t x <得12ln 22
k x ->.若()()0121224ln 0,
0,ln ,,22
22k k k x t x --⎛⎫
<≤≤⊆+∞∴
⎪⎝⎭
在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若
()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调
递增，
()00t =，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，都有()0t x >，符合题设.此时取
0120min ,ln 2
2k m x -⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.
②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,x e x x -+≥>
()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210x
e
k x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则
()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()1
2
ln
0,'02
2
k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的
120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.
22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭)cos sin 22
ρθρθ-=-
)x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设()
,2sin P t t ，则P 到直线l 的距离
6
d t
π
⎛⎫
===+
⎪
⎝⎭
，当
2
6
t k
π
π
+=，即2,
6
t k k Z
π
π
=-∈
时，
max
d==，故点P到直线l的距离的最大值
为
(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，t
∴∀∈R，cos2sin40
-+>
a t t恒成立，
()4
tϕ
+-（其中
2
tan
a
ϕ=
）恒成立，4，又0
a>
，解得
0a
<<a
取值范围为(.
23. 解：（1）222
x m x x m x m
--≤--=,要使24
x m x
--<恒成立，则2
m <，解得22
m
-<<.又m∈N*，1
∴=
m.
（2）()()()()
0,1,0,1,22223
f f
αβαβαβ
∈∈∴+=-+-=
，即
()
141414
,2252518
2
βα
αβαβ
αβαβαβ
⎛
⎛⎫⎛⎫
+=∴+=++=++≥+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
，当且仅当
4βα
αβ
=，即
11
,
36
αβ
==时取等号，故
41
18
αβ
+≥.。