考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，则( ) A．(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量
B．Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量
C．Z=X-Y是服从均匀分布的随机变量
D．Z-X2是服从均匀分布的随机变量
正确答案：A
解析：当X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布时，(X，Y)的概率密度为所以，(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量．因此本题选(A)．知识模块：概率论与数理统计
2．设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y-X 的概率密度fZ(z)= ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：记Z的分布函数为FZ(z)，则其中Dz={(x，y)Θy-x≤z)如图3-1的阴影部分所示，知识模块：概率论与数理统计
3．设随机变量X与Y相互独立，且X～N，则概率P{｜X-Y｜＜1} ( ) A．随σ1与σ2的减少而减少
B．随σ1与σ2的增加而增加
C．随σ1的增加而减少，随σ2的减少而增加
D．随σ1的增加而增加，随σ2的减少而减少
正确答案：C
解析：由X～N，从而由于Ф(x)是x的单调增加函数，因此当σ1增加时，减少；当σ2减少时增加．因此本题选(C)．知识模块：概率论与数理统计
4．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜p＜1)，则X+Y的分布函数( )
A．为连续函数
B．恰有n+1个间断点
C．恰有1个间断点
D．有无穷多个间断点
正确答案：A
解析：记Z=X+Y，则Z的分布函数是n+1个连续函数之和，所以为连续函数．因此本题选(A)．知识模块：概率论与数理统计
5．现有10张奖券，其中8张为2元的，2张为5元的．今从中任取3张，则奖金的数学期望为( )
A．6
B．7．8
C．9
D．11．2
正确答案：B
解析：记奖金为X，则X全部可能取的值为6，9，12，并且知识模块：概率论与数理统计
填空题
6．设二维随机变量的分布律为则随机变量Z=Y.min{X，Y}的分布律为________
正确答案：
解析：Z全部可能取值为0，1，2，3，且P(Z=0)=P{Y.min{X，Y}=0}=P{min{X，Y}=0}=P{X=0)=P{Z=1}=P{Y.min{X，Y}=1}=P{Y=1，min{X，Y}=1}=P{X=1，Y=1)=P{Z=2}=P(Y.min{X，Y}=2}=P{Y=2，min{X，Y}=1}=P{X=1，Y=2}=P{Z=3}=P{Y．min(X，Y}=3)=P{Y=3，min{X，Y}=1}=P(X=1，Y=3)=所以Z的分布律为知识模块：概率论与数理统计
7．设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，则随机变量的概率密度为_______
正确答案：
解析：X的概率密度为知识模块：概率论与数理统计
8．一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0．10，0．20，0．30，设备部件状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，则X的方差DX为________
正确答案：0．46
解析：X的全部可能取值为0，1，2，3，且P{X=0}=(1-0．10)×(1-0．20)
×(1-0．30)=0．504，P{X=1}=(1-0．10)×(1-0．20)×0．30+(1-0．10)×(1-0．30)×0．20+(1-0．20)×(1-0．30)×0．10=0．398，P{X=2}=(1-0．10)×0．20×0．30+(1-0．20)×0．10×0．30+(1-0．30)×0．10×0．20=0．092，P{X=3}=0．10×0．20×0．30=0．006，所以EX=0×0．504+1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，E(X2)=02×0．504+12×0．398+22×0．092+32×0．006=0．82．DX=E(X2)-(EX)2=0．82-(0．6)2=0．46．知识模块：概率论与数理统计
9．设随机变量X的概率密度为为________
正确答案：
解析：知识模块：概率论与数理统计
10．设随机变量Y服从参数为1的指数分布，记则E(X1+X2)为_______
正确答案：
解析：所以E(X1+X2)=EX1+EX2=e-1+e-2= 知识模块：概率论与数理统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设随机变量X的概率密度为已知EX=2，P{1＜X＜3}=，求
11．a，b，c的值；
正确答案：解方程组涉及知识点：概率论与数理统计
12．随机变量Y=eX的数学期望和方差．
正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计
13．设(X，Y)的概率密度为求的数学期望．
正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计
14．在长为L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差．
正确答案：以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X，Y，则它们均在[0，L]上服从均匀分布，且X，Y相互独立．涉及知识点：概率论与数理统计
15．设X，Y是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量，求E(｜X-Y｜)与D(｜X-Y｜)．
正确答案：设Z=X-Y，则Z～N(0，1)．故涉及知识点：概率论与数理统计
设随机变量X与Y独立同分布，均服从正态分布N(μ，σ2)，求：
16．max{X，Y}的数学期望；
正确答案：设，则U和V独立同服从正态分布N(0，1)，X=σU+μ，Y=σV+μ，max{X，Y}=σ(max{U，V})+μ，而涉及知识点：概率论与数理统计
17．min{X，Y}的数学期望．
正确答案：由(1)得：min{X，Y}=σ(min{U，V})+μ，而min{U，V}=(U+V-｜U-V｜)．则E(min{U，V})= 涉及知识点：概率论与数理统计
18．设X，Y相互独立同分布，均服从几何分布P{X=k)=qk-1p，k=1，2，…，求E(max{X，Y)}．
正确答案：P{max{X，Y}=n}=P{X=n，Y≤n}+P{X＜n，Y=n} =P{X=n}P{Y ≤n}+P{X＜n}P{Y=n} 涉及知识点：概率论与数理统计
设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a，b]之内，证明：
19．a≤EX≤b；
正确答案：因为a≤X≤b，所以Ea≤EX≤Eb，即a≤EX≤b．涉及知识点：概率论与数理统计
20．DX≤
正确答案：因为对于任意的常数C有DX≤E[(X-C)2]，取涉及知识点：概率论与数理统计
21．对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为p1，p2，p3，求产生故障仪器的台数X的数学期望和方差．
正确答案：X的分布为由此计算EX和DX相当麻烦，我们利用期望的性质进行计算．设Xi的分布如下：于是EXi=pi，DXi=pi(1-pi)，i=1，2，3．故涉及知识点：概率论与数理统计
22．一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是
相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．
正确答案：设T为一周内所得利润，则其中涉及知识点：概率论与数理统计
23．袋中有n张卡片，分别记有号码1，2，…，n，从中有放回地抽取k 张，以X表示所得号码之和，求EX，DX．
正确答案：设Xi为“第i张的号码”，i=1，2，…，k，则Xi的分布为涉及知识点：概率论与数理统计
24．设X与Y为具有二阶矩的随机变量，且设Q(a，b)=E[Y-(a+bX)]2，求a，b使Q(a，b)达到最小值Qmin，并证明：Qmin=DY(1-ρ2XY)．
正确答案：Q(a，b)=E([Y-(a+bX)]2}=D(Y-a-bX)+[E(Y-a-bx)]2 =Dy+b2DX-2bCov(X，Y)+(EY-bEX-a)2，解方程组涉及知识点：概率论与数理统计
25．设X，Y，Z是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是1，求X-Y和Y-Z的相关系数．
正确答案：Cov(X-Y，Y-Z)=Cov(X，Y)-Cov(X，Z)-Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=-DY=-1，D(X-Y)=D(Y-Z)=2．所以X-Y与Y-Z的相关系数为涉及知识点：概率论与数理统计
将数字1，2，…，n随机地排列成新次序，以X表示经重排后还在原位置上的数字的个数．
26．求X的分布律；
正确答案：记Ai={数字i在原位置上}，i=1，2，…，n，则表示至少有一个数字在原位置上．则涉及知识点：概率论与数理统计
27．计算EX和DX．
正确答案：令涉及知识点：概率论与数理统计。