湖南省益阳市箴言中学2017届高三上学期第二次模拟考试(10月)数学(理) 含答案

2016年下学期高三第二次模拟考试理科数学试卷
命题人：曹兵辉 审题人：杨超群 时间：120分钟 满
分：150分
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A={x|x 2﹣3x ﹣4＞0}，集合B=｛x|﹣2＜x ＜5｝，则A ∩B=（ )
A ．{x ｜﹣1＜x ＜4｝
B ．｛x|﹣2＜x ＜﹣1或4＜x ＜5｝
C ．{x ｜x ＜﹣1或x ＞4｝
D ．{x|﹣2＜x ＜5}
2.下列说法错误的是（ )
A ．“ac 2＞bc 2"是“a ＞b ”的充分不必要条件
B ．若p ∨q 是假命题，则p ∧q 是假命题
C ．命题“存在x 0∈R ，0
2x ≤0”的否定是“对任意的x ∈R ，2x ＞0"
D ．命题“对任意的x ∈R ”，2x ＞x 2”是真命题
3. 指数函数,0()(>=a a x f x
且)1≠a 在R 上是减函数，则函数3
)2()(x a x g -=在R 上的单调性为（ )
A 。

单调递增 B.单调递减 C.在),0(+∞上递增，在)0,(-∞上递减 D 。

在),0(+∞上递减，在)0,(-∞上递增
4.若1sin()63
πα-=，则cos()3
πα+的值为 （) A.13
- B 。

13
C 2
2 D 。

22
5. 已知三个向量)2
cos ,(A a m =，)2cos ,(B b n =,)2
cos ,(C c p =共线，其中C B A c b a ,,,,,分
别是ABC ∆的三条边和三个角,则ABC ∆的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
6。

函数)2
||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示,将()y f x =的图
象向右平移6
π个单位后得到函数)(x g y =的图像，则)(x g 的单调递增区
间为（ ） A.
]
3
2,6
2[π
ππ
π+
-
k k B 。

]6
52,3
2[π
ππ
π+
+
k k C 。

]3
,6
[π
ππ
π+
-
k k
D.]6
5,3[ππππ++k k
7。

．在ABC ∆中,B c C A a B A cos )cos(2)cos(b =+-+,则=B （) A ．6
π B ．3
π C ．2
π D ．3
2π
8.定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当 5[0,]()cos ,()2
3
x f x x f ππ∈=时，则＝（ ）
A.
2
1-
B. 2
1 C 。

2
3-
D.
2
3
9。

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ）
A ．34π
B ．35π
C ．322π+
D ．324π
+
10. 向量b a ,均为单位向量，其夹角为θ，则命题“1:>-b
a p
"是命题
“)6
5,2[:ππθ∈q ”的（ ）条件。

A 。

充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D 。

非充分非必要条件
11.设函数x x
a a
k x f --⋅=)((0>a 且1≠a ）在),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数,
则)(log )(k x x g a
+=的图象是
A B C D
12．已知P 是抛物线x
y
42
=上的一个动点,Q 是圆()()
2
2
311x y -+-=上的一个
动点,)0,1(N 是一个定点，则PQ PN +的最小值为( )
A 。

3 B.4 C 。

5 D ．21+
二、填空题：（本大题共
4小题，每小题5分，共20分。

）
13。

定义运算()
()a b c d ad bc **=-,复数
z 满足(1)
()1z i i i **=+
则复数z 在复平面对应点为P.
14．已知2n
x x ⎛ ⎝
展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数
项是__________
15。

某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位:m ），如图所示，垂直放置的标杆BC 的高,仰角∠ABE=α，∠ADE=β，该小组已经测得一组,α，β的值，tan α=1。

24，tan β=1。

20，据此算出H=m.
16.已知2,0
()2, 0
ax x x f x x x ⎧+>=⎨
-≤⎩,若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立,则a 的最大值为
17.
三、解答题:（本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分） 函数2
()23cos sin 3(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个周期
内的图象如图，A 为最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且0.BA CA ⋅=
（1）求ω的值及()f x 的值域; （2）若0
008102
(),(,),(1)5
33
f x x
f x =∈-
+且求的值。

18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ‖BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点,M 是棱PC 上的点,PA=PD=AD=2,BC=1,CD=． （Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（Ⅱ)若二面角M ﹣BQ ﹣C 为30°，设PM=t•MC，试确定t 的值．
19. (本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答。

选题情况如下表：（单位：人)
(1）能否据此判断有97。

5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8分钟,现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率。

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为X ,求X 得分布列及数学期望()E X . 附：。

()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
20．（本小题满分12分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦距为62，
椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 2:-=kx y 与椭圆C 交于B A ,两点，点P (0，1)，且PA =PB ，求直线l 的方程．
21．（本小题满分12分)已知函数()1x
f x e ax =+-(,)a R a ∈且为常数． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0a <时，若方程()0f x =只有一解，求a 的值； （3）若对所有0x ≥都有()()f x f x ≥-，求a 的取值范围．
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．注意:只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．(本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图,已知AB AC =，圆O 是ABC ∆的外接圆，CD AB ⊥，CE 是圆O 的直径．
过点B 作圆O 的切线交AC 的延长线于点F ． （Ⅰ）求证：AB CB CD CE ⋅=⋅； （Ⅱ）若2
BC =
22BF =,求ABC ∆的面积．
23．（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩
（θ为参数）,以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π，
4(2,)3
B π
． （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M 为曲线C 上的动点,求点M 到直线AB 距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|21||1|f x x x =+--.
（Ⅰ)求不等式()2f x <的解集；
(Ⅱ）若关于x 的不等式2
()2a f x a -≤有解，求a 的取值范围.
2016年下学期高三第二次模拟考试理科数学答案
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的)
1。

设集合A={x|x 2﹣3x ﹣4＞0}，集合B={x ｜﹣2＜x ＜5}，则A ∩B=(B )
A ．{x ｜﹣1＜x ＜4｝
B ．｛x ｜﹣2＜x ＜﹣1或4＜x ＜5}
C ．{x ｜x ＜﹣1或x ＞4}
D ．{x ｜﹣2＜x ＜5｝ 2.下列说法错误的是（D ）
A ．“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”的充分不必要条件
B ．若p ∨q 是假命题，则p ∧q 是假命题
C ．命题“存在x 0∈R,0
2x ≤0”的否定是“对任意的x ∈R ，2x ＞0”
D ．命题“对任意的x ∈R ”，2x ＞x 2”是真命题 3。

指数函数,0()(>=a a
x f x
且)1≠a 在R 上是减函数，则函数3)2()(x a x g -=在
R 上的单调性为（ B ［来 ）
A 。

单调递增 B.单调递减 C 。

在),0(+∞上递增,在)0,(-∞上递减 D 。

在),0(+∞上递减，在)0,(-∞上递增
4。

若1sin()63
πα-=，则cos()3
π
α+的值为(C ）
A.13
-B 。

C.13
C.5。

已知三个向量)2cos ,(A a m =，)2
cos ,(B
b n =,)2cos ,(C
c p =共线，其中C B A c b a ,,,,,分别是ABC ∆的三条边和三个角,则ABC ∆的形状是( D ) A ．等腰三角形
B ． 等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
6.函数)2
||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，将()y f x =的图
象向右平移6
π个单位后得到函数)(x g y =的图像，则)(x g 的单调递增区
间为（C ） A 。

]
3
2,6
2[π
ππ
π+
-
k k B.
]6
52,3
2[πππ
π+
+
k k C.
]3
,6
[π
ππ
π+
-
k k
D.]6
5,3[ππππ++k k 7。

．在ABC ∆中，B c C A a B A cos )cos(2)cos(b =+-+,则=B （B ） A ．6
π B ．3
π C ．2
π D ．3
2π
8.定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π
，且当
]
2
,
0[π
∈x 时,
()cos f x x
=，则
)3
5(
πf 的值为
( A ） A 。

2
1-
B 。

2
1 C.
2
3
-
D.
2
3
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ B ）
A ．34π
B ．35π
C ．322π+
D ．324π+
10. 向量b a
,均为单位向量，其夹角为θ，则命题“1:>-b a p ”是命题
“)6
5,2[:ππθ∈q ”的( B ）条件。

A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D 。

非充分非必要条件
11。

设函数x x
a a
k x f --⋅=)((0>a 且1≠a ）
在),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则)(log )(k x x g a
+=的图象是C
A B C D
12．已知P 是抛物线x
y
42
=上的一个动点,Q 是圆()()
2
2
311x y -+-=上的一个
动点,)0,1(N 是一个定点，则PQ PN +的最小值为（A ）
A.3 B 。

4 C 。

5 D ．21+二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分,共20分.) 13.定义运算()
()a b c d ad bc **=-，复数
z 满足(1)
()1z i i i **=+
则复数z 在复平面对应点为P_（2，-1）。

14．已知2n
x x ⎛ ⎝
展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数
项是__________60
15。

某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m)，如图所示，垂直放置的标杆BC 的高，仰角∠ABE=α，∠ADE=β，该小组已经测得一组,α，β的值，tan α=1。

24，tan β=1。

20,据此算出H=m.124
16。

已知
2,0
()2, 0
ax x x f x x x ⎧+>=⎨
-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为—0。

5
三、解答题：（本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17。

（本小题满分12分） 函数2
()23cos sin 3(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个周
期内的图象如图，A 为最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且0.BA CA ⋅=
（1）求ω的值及()f x 的值域； （2）若0
008102
(),(,),(1)5
33
f x x
f x =∈-
+且求的值。

1.[-2,2］
72
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形,AD‖BC，∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点,M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1,CD=．
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=t•MC，试确定t的值．
【解答】证明：(Ⅰ）证法一：∵AD∥BC,BC=1，AD=2，Q为AD 的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…证法二：AD∥BC，BC=1,AD=2，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；
Q（0，0，0），,，．
设M（x,y，z）,则,，
∵，
∴，∴…
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．…
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，
∴,
∴t=3．…
19. （本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方
法抽取50名同学（男30女20）,给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:（单位：人）
（1）能否据此判断有97。

5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率。

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ,求X 得分布列及数学期望()E X . 附:。

()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
有 0。

125 0.5
20．（本小题满分13分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦距为62，
椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ)设直线l 2:-=kx y 与椭圆C 交于B A ,两点，点P (0，1），且PA =PB ，求直线l 的方程．
20．(Ⅰ)13
92
2=+y x （Ⅱ）02=--y x 或02=++y x
试题分析：(Ⅰ)由已知62=a ,622=c ,解得3=a ，6=c ,
所
以
3
222=-=c a b ，所以椭圆C 的方程为
13
92
2=+y x 。

……4分
（Ⅱ)由⎪⎩
⎪⎨
⎧-==+,2,
1392
2kx y y x 得0312)31(22
=+-+kx x k
,
直线与椭圆有两个不同的交点，所以0)31(1214422
>+-=∆k k 解得9
1
2>
k 。

设A(1
x ，1y ），B （2x ，2
y ）
则
2213112k k x x +=
+,2
2
1313
k x x +=, (7)
分 计算2
22121314
431124)(k k k k x x k y y
+-=-+⋅
=-+=+，
所以，A ，B 中点坐标
E （2316k k +，2312k
+-）,
因为PA =PB ，所以PE ⊥AB ，
1-=⋅AB PE
k k ，所以
13161
312
2
2
-=⋅+-+-
k k k
k , 解得1±=k ,
经检验,符合题意，所以直线
l
的方程为
2=--y x 或
02=++y x 。

……12分
21．（本小题满分13分）
已知函数()1x
f x e ax =+-(,)a R a ∈且为常数． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0a <时，若方程()0f x =只有一解,求a 的值；
（3）若对所有0x ≥都有()()f x f x ≥-,求a 的取值范围． 21．【解析】（1）由已知得()x
f x e
a
'=+，(1分）
当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数．（2分） 当0a <时,由()0f x '>,得ln()x a >-,()f x 在(ln(),)a -+∞上是单调增函数; 由()0f x '<，得ln()x a <-,()f x 在(,ln())a -∞-上是单调减函数． 综上可得：当0a ≥时,()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞；
当0a <时，()f x 的单调增区间是(ln(),)a -+∞，单调减区间是(,ln())a -∞-．（4分） (2）由（1）知，当0a <，ln()x a =-时，()f x 最小，即min
()(ln())
f x f a =-，
由方程()0f x =只有一解，得(ln())0f a -=,又注意到(0)0f =，
所以ln()0a -=,解得1a =-．（7分)
（3）当0x ≥时，()()f x f x -≥恒成立，即得x
x e
ax e ax -+-≥恒成立，即得20
x x e e ax --+≥恒成立．令1
()2x
x
h x e ax e =-
+（0x ≥），即当0x ≥时,()0h x ≥恒成立．又()2x
x h x e
e a
-'=++,
且
()222h x a a
'=+≥，当0x =时等号成立．（9分)
①当1a >-时,()0h x '>，所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立． ②当1a =-时，若0x =，()0h x '=，若0x >，()0h x '>，
所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立． (11分） ③当1a <-时，方程
()0h x '=的正根为1
ln(x a =-，
此时，若1
(0)x x ∈，，则()0h x '<，故()h x 在该区间为减函数．
所以,1
(0)x x ∈，时，()(0)0h x h <=,与0x ≥时，()0h x ≥恒成立矛盾．
综上，满足条件的a 的取值范围是[1,)-+∞． (13分）
请考生在第22,23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选
22．（本小题满分10分）选修4-1如图,已知AB AC =,圆O 是ABC ∆O 的直径．过
点B 作圆O 的切线交AC 的延长线于点F ． （Ⅰ)求证：AB CB CD CE ⋅=⋅; (Ⅱ）若2BC =
,22
BF =，求ABC ∆的面积．
23．(本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩
（θ为参数)，以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π,4(2,)3
B π．
（Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；
(Ⅱ）设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．
24．(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|21||1|f x x x =+--. (Ⅰ）求不等式()2f x <的解集;
（Ⅱ）若关于x 的不等式2
()2a f x a -≤有解,求a 的取值范围。

22．选修4-1：几何证明选讲
解析：（Ⅰ）连接AE ,∵CE 是直径,∴90CAE ∠=︒，
又CD AB ⊥，∴90CDB ∠=︒，
∵CBD CEA ∠=∠，故~Rt CBD Rt CEA ∆∆，……………………2分 ∴CD AC CB
CE
=,∴AC CB CD CE ⋅=⋅
又AB AC =，∴AB CB CD CE ⋅=⋅.……………………5分 （Ⅱ）
FB 是O 的切线，CBF CAB ∴∠=∠
∴在ABF ∆和BCF ∆中，FAB FBC
AFB CFB ∠=∠⎧⎨
∠=∠⎩
,
ABF
BCF ∆
22
22
FB AF BC AB ∴
===，22FA AB AC ∴==，AC CF ∴=…………7分
设AC x =，则根据切割线定理有2
FA FC FB
⋅=
28x x ∴⋅=，2x ∴=，
1
2
ABC
S
∆
∴=。

…………10分
23．选修4-4:坐标系与参数方程
解析：（Ⅰ) 将A、B化为直角坐标为(2cos,2sin)
Aππ、44
(2cos,2sin)
33
B
ππ，
即A、B的直角坐标分别为(2,0)
A-
、(1,
B-,
AB
k=∴直线AB
的方程为02)
y x
-=+，
y
++。

……………………5分
(Ⅱ）设(2cos,sin)
Mθθ，它到直线AB距离
d
=|)
2
θϕ
++，(
其中tanϕ=
∴
max
d……………………10分
24．选修4—5:不等式选讲
解析：（Ⅰ）当1
x>时，()21(1)2
f x x x x
=+--=+，()2
f x<，0x∴<，此时无解；
当11
2
x
-≤≤时，()21(1)3
f x x x x
=+--=，()2
f x<，23
x
∴<，此时12
23
x
-≤<；当12
x<-
时，()21(1)2
f x x x x
=----=--，()2
f x<，4
x
∴>-，
此时1
4
2
x
-<<-；综上所述，不等式()2
f x<的解集为2
(4,)
3
-。

(5)
分
（Ⅱ）2
()
2
a
f x a
≤-有解2
min
()
2
a
f x a
⇔≤-［来源：学。

科。

网Z。

X.X。

K]由（Ⅰ）可知
1
2
2
1
()31
2
21
x x
f x x x
x x
⎧
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⎪
⎪
⎪
=-≤≤
⎨
⎪
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⎪
⎪
⎩
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2
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3
()
2
f x=-，故22
3
23013
22
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a a a a
-≤-⇒--≤⇒-≤≤。

………10分。