3.6函数的奇偶性(新高考专用)(原卷版)-高考数学一轮复习

第三章函数
3.6 函数的奇偶性
1.奇函数、偶函数定义
（1）奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。

奇函数的图像关于原点对称
（2）偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
偶函数的图像关于y轴对称
2.判断函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，
奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
题型一.判断函数的奇偶性
1．已知函数f(x)=2x+1
2x−1
，g(x)=2x，则下列结论正确的是（）
A．f（x）g（x）为奇函数
B．f（x）g（x）为偶函数
C．f（x）+g（x）为奇函数
D．f（x）+g（x）为非奇非偶函数
2．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）
A．y=log2(√x2+1−x)B．y＝sin x
C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝|x﹣1|
3．设函数f（x）＝x（e x+e﹣x），则对f（x）的奇偶性和在（0，+∞）上的单调性判断的结果是（）
A．奇函数，单调递增B．偶函数，单调递增
C．奇函数，单调递减D．偶函数，单调递减
题型二.已知奇偶性求参、求值
1．若函数f（x）=
k−2x
1+k⋅2x
（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为．
2．若函数f（x）＝xln（x+√a+x2）为偶函数，则a的值为（）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1 3．（2019·全国2）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣e ax．若f（ln2）＝8，则a＝．
题型三.关于奇偶性（对称性）两个重要结论
1．已知函数f（x）=ln(√1+x2−x)+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝．
2．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝．
题型四.奇偶性与单调性的综合应用
1．设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）
A．是偶函数，且在(1
2，+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(−1
2，
1
2
)单调递增
C．是偶函数，且在(−∞，−1
2
)单调递增
D．是奇函数，且在(−∞，−1
2
)单调递增
2．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则三个数a ＝f （﹣log 313），b ＝f （2cos 2π5
），c ＝f （20.6）的大小关系为（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞a ＞b
3．（2017•新课标Ⅰ）函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤1的x 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]
B ．[﹣1，1]
C ．[0，4]
D ．[1，3]
4．（2020•海南）若定义在R 的奇函数f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，且f （2）＝0，则满足xf （x ﹣1）≥0的x 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]∪[3，+∞） B ．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C ．[﹣1，0]∪[1，+∞）
D ．[﹣1，0]∪[1，3]
5．已知定义域为R 的函数f （x ）=−2x
+b
2x+1+a
是奇函数．若对任意的t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）
+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，则k 的取值范围为 ．
6．（2007•天津）设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f （x +t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[√2，+∞)
B ．[2，+∞）
C ．（0，2]
D ．[−√2，−1]∪[√2，√3]
7．（2017•江苏）已知函数f （x ）＝x 3﹣2x +e x −1
e x ，其中e 是自然对数的底数．若
f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是 ． 8．（2015•新课标Ⅰ）设函数f （x ）＝ln （1+|x |）−1
1+x 2
，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，1
3
）∪（1，+∞） B ．（1
3
，1） C ．（−1
3，1
3） D ．（﹣∞，−1
3）∪(1
3，+∞)
1．已知函数f(x)=1
2x
−1
+a 为奇函数，则实数a ＝ ，函数f （x ）在[1，3]上的值域为 ．
2．下列函数既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 3
B ．y =x 1
4
C ．y ＝|x |
D ．y ＝|tan x |
3．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x （x +1），那么f （﹣1）等于（ ） A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．2
4．设函数f （x ）=(x+1)2
+ax 1
32x 2+2
，a ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ．
5．设f（x）是定义在[﹣2b，3+b]上的偶函数，且在[﹣2b，0]上为增函数，则f（x﹣1）≥f （3）的解集为（）
A．[﹣3，3]B．[﹣2，4]C．[﹣1，5]D．[0，6]
6．已知函数f（x）＝2017x+log2017(√x2+1+x)−2017−x+3，则关于x的不等式f（1﹣2x）+f（x）＞6的解集为（）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（1，4）。