高中数学 1.1.2余弦定理(一)B 新人教A版必修5

C
b
a
Ac
B
（2）解析法
证明：以CB所在的直线为x 轴，过C点垂直于CB的直线 为y轴，建立如图所示的坐标 系，则A、B、C三点的坐标 分别为：
y x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2 b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
2

c

c ab
c (a b)
(a

b)


a
a

2
a


b
b
2
b2a
2a b
b cos
C
﹚
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
BC=a,CA=b,求AB
边

CB a,CA b, AB c
思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
BC=a,CA=b,求AB
边

CB a,CA b, AB c
c.
由向量减法的三角形Baidu Nhomakorabea则得
c
2
c
a cc
b (a

b)

(a

b)

aa2abb

2
b 2ab 2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
﹚
余弦定理
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
c.
由向量减法的三角形法则得
c
c
2

a cc
b
(a

b)

(a

b)
﹚

aa2abb

2
b 2ab 2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 2bc cos A
思考：
如果已知一个三角形的两条边及其 夹角，根据三角形全等的定理，该三角 形大小形状完全确定，那么如何解出这 个三角形呢？
2.余弦定理
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C， 求边c.
（1）向量法
设
CB

a,
CA

b,
AB

c
由向量减法的三角形法则得
c
推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab

1 bc sin 2
A

1 2
ca sin
B

1 2
ab sin C
(3) 正弦定理的变形：
a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C
abc
2R
sin A sin B sin C
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
b
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
A
c D
B b2c22bccos A
同理有： b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 2abcosC
c2 a2 b2 2ab cosC
C
（3）几何法
余弦定理作为勾股定理的推 b a 广，考虑借助勾股定理来证明
余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和 A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
第一章 解三角形
1.1.2 余弦定理（一）
1.复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
(2) 三角形面积公式：
SABC