八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习38 根据菱形的性质与判定求角度

八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习
专题38 根据菱形的性质与判定求角度
一、单选题
1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若140ABC ︒∠=，则OED ∠=（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果∠ABO=40°，则∠DCO= （）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
3．如图，在菱形ABCD 中，AC BD 、相交于O ，70ABC ∠=︒，E 是线段AO 上一点，则BEC ∠的度数可能是（）
A ．100︒
B ．70︒
C ．50︒
D ．20︒
4．如图，正方形ABCD 的边长为2，以对角线BD 为边做菱形BEFD ，点C 、E 、F 在同一直线上，连接DE ，有下列结论：
①
BE =
②2BDE S =△；
③20EBC ∠=︒；
④5BDF F ∠=∠，其中结论正确的有（）.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．在菱形ABCD 中，∠ADC＝120°，点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ，连结EG ．若AE ＝1，AB ＝4，则EG ＝（ ）
A ．
B ．
C ．
D 6．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点
E 为AB 边的中点，DE 是线段AP 的垂直平分线，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP =CD ；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（）
A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④
7．如图平行四边形ABCD 中，110A ∠=︒，AD DC =．E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则PEF ∠=（）
A ．35︒
B ．45︒
C ．50︒
D ．55︒
8．下列命题： ①两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③菱形的每一条对角线平分一组对角；
④顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形；
⑤平行四边形对角线相等．
其中正确的命题为()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100︒的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（）
A ．2550︒︒或
B ．2050︒︒或
C ．4050︒︒或
D ．4080︒︒或
10．如图，菱形纸片ABCD 中，60A ∠=，P 为AB 的中点，折叠菱形纸片ABCD ，使点
C 落在DP 所在的直线上，得到经过点
D 的折痕D
E ，则DEC ∠的度数是( )
A ．45
B ．60
C ．75
D ．80
11．如图，四边形ABCD 内有一点E ，AE BE DE BC DC ====，AB AD =，
若C 100∠=，则BAD ∠的大小是（ ）
A ．25
B ．50
C ．60
D ．80
12．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）
A ．100°
B ．105°
C ．110°
D ．120°
13．顺次连接下列各四边形各边中点所得的四边形是矩形的是( )
A ．等腰梯形
B ．矩形
C ．平行四边形
D ．菱形或对角线互相垂直的
四边形
14．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE=DF ，EF 与BD 相交于点O ，连结AO ．若∠CBD=35°，则∠DAO 的度数为（ ）
A ．35°
B ．55°
C ．65°
D ．75°
15．如图，在菱形ABCD 中，若∠B=60°，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且BE=AF ，则∠AEC+∠AFC 的度数等于（）
A ．120°
B ．140°
C ．160°
D ．180°
16．如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )
A ．23︒
B ．28︒
C ．62︒
D ．67︒
17．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（）
A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④
第II 卷（非选择题）
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二、填空题
18．如图在菱形ABCD 中，边AB 的垂直平分线与对角线AC 相交于点E ，140B ∠=︒，那么DEC ∠=__________度．
19．如图，菱形ABCD 中，∠D =120°，点E 在边CD 上，将菱形沿直线AE 翻折，使点D 恰好落在对角线AC 上，连结BD '，则∠AD 'B =______°．
20．如图，在Rt△ABC 中，AD 为斜边BC 上的中线，AE∥BC，CE∥AD，EC 的垂直平分线FG 交AC 点G ，连接DG ，若∠ADG＝24°，则∠B 的度数为_____度．
21．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点F 为BC 中点，过点F 作FE ⊥BC 于点F
交BD 于点E ，连接CE ，若∠BDC ＝34°，则∠ECA ＝_____°．
22．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=︒，AEF ∆为等边三角形，点E ，F 分别在菱形的边BC ，CD 上滑动，且E ，F 不与B ，C ，D 重合，则四边形AECF 的面积是________．
23．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，则BEC ∠=_____.
24．如图所示，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于12
BF 长为半径画弧，两弧交于一点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．AE ，BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF =10，∠ABC =_____．
25．如图，在ABCD 中，5AB =，分别以,A C 为圆心，以大于12
AC 的长为半径画弧，两弧相交于,M N 两点，直线MN 交AD 于点E ，连接CE ，若CDE ∠的周长是12，则BC 的长为__________．
26．在⊙O 中，若弦BC 垂直平分半径OA ，则弦BC 所对的圆周角等于_________°．
27．如图，AD 是ABC 的角平分线，//DE AC 交AB 于E ，//DF AB 交AC 于F ．且AD 交EF 于O ，则AOF ∠=________度．
28．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．且AD 交EF 于O ，则∠AOF ＝_____度．
29．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF．正确的是______（填序号）．
30．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，E 在CD 上，将△ADE 沿AE 翻折至△AD 'E ，且AD '刚好过BC 的中点P ，则∠D 'EC ＝_____．
三、解答题
31．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．
（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；
（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠=︒．
32．如图①，在正方形ABCD 中，P 是AC 上一点，点E 在DC 的延长线上，且,PD PE PE =
交BC 于F ，连接.PB
问题提出：（1）求证：;PB PE =
拓展与探索：（2）请求出BPE ∠的度数；
问题解决：（3）如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当120BAD ︒∠=时，连接BE ，试探究线段PD 与线段BE 的数量关系，并说明理由．
33．如图1，在菱形ABCD 中，AC ＝2，BD ＝AC ，BD 相交于点O ．
(1)求边AB 的长；
(2)求∠BAC 的度数；
(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF ．判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由．
34．如图，在菱形ABCD 中，6AB =，60DAB ∠=，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN ． （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形； （2）①当AM 的值为时，四边形AMDN 是矩形； ②若6AM =，求证：四边形AMDN 是菱形．
35．如图1，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，
PE 交CD 于F ，连结CE ． （1）求证：PDA PDC ≅△△； （2）求证：PCE 是等腰直角三角形；
（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当120ABC ∠=︒时，判断PCE 的形状，并说明理由．
36．如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接CE
．
（1）求证：四边形BECD 是平行四边形； （2）若60E ∠=︒，求BAO ∠的大小．
（3）在第（2）问的基础上，且2AB =，求四边形BECD 的面积．
37．如图，在ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、
F
为圆心，大于1
2
BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则所得四边形ABEF 是菱形．
（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF 是菱形．
（2）若菱形ABEF 的周长为16，AE =ABEF 的面积及C ∠的度数． 38．菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上． （1）如图1，若E 是BC 的中点，60AEF ∠=︒，求证：F 是CD 的中点； （2）如图2，若60EAF ∠=︒，20BAE ∠=︒，求FEC ∠的度数．
39．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 、E 分别是AB 和BC 上的点．把△ABC 沿着直线DE 折叠，顶点B 对应点是点B′
（1）如图1，点B′恰好落在线段AC 的中点处，求CE 的长； （2）如图2，点B′落在线段AC 上，当BD=BE 时，求B′C 的长； （3）如图3，E 是BC 的中点，直接写出AB′的最小值．
40．如图，BD 是ABC ∆的角平分线，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，//DF AB 交BC 于点F ．
（1）求证：四边形BEDF 为菱形；
（2）如果100A ∠=︒，30C ∠=︒，求BDE ∠的度数．
41．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝AD . 求证：(1) AB ＝BC ＝CD ＝DA (2) AC ⊥DB
(3) ∠ADB ＝∠CDB ，∠ABD ＝∠CBD ，∠DAC ＝∠BAC ，∠DCA ＝∠BCA
42．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E．
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠E＝50°，求∠DAB的度数．
∆都是等边三角形.
43．如图所示，点A是线段BC上一点，ABD
∆和ACE
=；
（1）连结BE，CD，求证：BE CD
（2）如图所示，将ABD
∆.
∆绕点A顺时针旋转得到AB D''
①当旋转角为______度时，边AD'落在AE上；
②在①的条件下，延长DD'交CE于点P，连结BD'，CD'.当线段AB、AC满足什么数
∆全等？并给予证明.
量关系时，BDD'
∆与CPD'
44．已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，=，连接BF交AD于点E．
使DF CD
（1）求证：AE ED =；
（2）若AB BC =，求CAF ∠的度数．
45．如图，在四边形ABCF 中，∠ACB＝90°，点E 是AB 边的中点，点F 恰是点E 关于AC 所在直线的对称点．
(1)证明：四边形CFAE 为菱形；
(2)连接EF 交AC 于点O ，若BC ＝10，求线段OF 的长．
46．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，联结DE ，F 在DE 延长线上，且AF=AE ，
（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数．
47．如图1，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形．
（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；
（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．
①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；
②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
48．如图（1），在菱形ABCD中，E、F分别是边CB，DC上的点，∠B=∠EAF=60°，（I）求证：∠BAE=∠CEF；
（Ⅱ）如图（2），若点E，F分别移动到边CB，DC的延长线上，其余条件不变，请猜想∠BAE与∠CEF的大小关系，并给予证明．
49．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO=DC．
50．如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图．
(1)在图①中画一个直角三角形；
(2)在图②中画出∠ACE的平分线．
51．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．
（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）求EF的最大值与最小值．
52．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
53．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求AE ，BF 之间的距离．
54．阅读理解：
（1）如图，在ABC 中，CD 是的AB 边上的中线，1
2
CD AB =． 求证：ABC 是直角三角形． 证明：∵CD 是AB 边上的中线， ∴1
2
AD BD AB ==． ∵1
2
CD AB =
， ∴CD AD = ∴①
同理，B BCD ∠=∠
∵A B ACD BCD ∠+∠+∠+∠=② ∴A B ACD BCD ∠+∠=∠+∠=③ ∴ABC 是直角三角形．
（2）灵活应用：
如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，7AC =，25AB =，点D 是AB 的中点，过点D 作CB
的垂线DE 交BC 于点E ，在这条垂线上有一动点P ，恰好使得PAB △是以AB 为斜边的直角三角形，求此时PB 的长．
（3）应用拓展：如图，正三角形ABC ，D 为BA 延长线上一点，且AD AB =，点M 为ABC 所在平面上一点，MBD 是以BD 为斜边的直角三角形，MBC △为等腰三角形，求此时
MBC △顶角的度数（直接写出答案）
55．如图1，边形ABCD 为菱形，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接DE 并延长交AE 于点F ，连接BE .
(1)如图1，求证：AFD EBC ∠=∠；
(2)如图2，若DE EC =，且BE AF ⊥，求DAB ∠的度数.
56．在图1，2，3中，已知ABCD ，120ABC ︒∠=，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ︒∠=．
（1）如图1，当点E与点B重合时，CEF
∠=________°；
（2）如图2，连接AF．
①填空：FAD
∠_________EAB
∠（填“>”，“<”，“=”）；
②求证：点F在ABC
∠的平分线上；
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平
行四边形时，求BC
AB
的值．
57．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是线段AB上的一个动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．
58．如图①，△ABC中，AB=AC，点M、N分别是AB、AC上的点，且AM=AN．连接MN、CM、BN，点D、E、F、G分别是BC、MN、BN、CM的中点，连接E、F、D、G．
（l）判断四边形EFDG的形状是（不必证明）；
（2）现将△AMN绕点A旋转一定的角度，其他条件不变（如图②），四边形EFDG的形状
是否发生变化？证明你的结论；
（3）如图②，在（2）的情况下，请将△ABC在原有的条件下添加一个条件，使四边形EFDG是正方形．请写出你添加的条件，并在添加条件的基础上证明四边形EFDG是正方形．
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