微分方程(组)模型

③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
一.微分方程模型
原理：
• 实际问题中, 有许多表示“导数”的常用词，如“速率”、 “增长”（生物学以及人口问题）、“衰变”（放射性问 题）、“边际的”（经济学中）等，这些词就是信号，这时 就要注意是哪些研究对象在变化，不少问题符合模式：变化 率=输入率-输出率，对这些规律可以考虑建立微分方程模型。

( ) t 42000
7.模型分析与检验
由方程（1），根据一阶导数与单调性的关系， 可对减肥分析如下： dw 1.若 a b ( ) w ，则净吸收量大于总消耗量， 0 ，则 dt 体重增加.
dw 2.若 a b ( ) w ，则净吸收量小于总消耗量， 0 ，则 dt
dw (a b) ( ) w (1) 42000 dt w(t0 ) w0 , t0 0
w(t t ) w(t ) t 42000 42000
6.模型求解
应用分离变量法或MATLAB软件解得
a b a b ( ) w0 w e
注意两点：
• （1）在解n个未知函数的方程组时，n0和x均为n维向量， M-文 件中的待解方程组应以x的分量形式写成。 • （2）使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须等价 地变换成一阶微分方程组。
用MATLAB软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
d 2 y dy 4 29 y 0 2 dx dx y (0) 0, y(0) 15
例2解 输入命令:
y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
执行结果： y =3*exp(-2*x)*sin(5*x)
例3解 输入命令 ： [x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；
常用导数关系：
ds dv ds ＝v； ＝a； 2 ＝a； dt dt dt
2
增量的导数＝增量的变化率
一阶常微分方程的初等解法
• 变量分离方程

(1)若g(y)≠0 ,则将方程中变量分离出来，然后两边积分
dy f ( x)dx C g ( y)
dy f ( x) g ( y ) dx
3.模型假设
1.设某人每天从食物中摄取的热量是a(J) 。其中b(J) 是用于新陈代谢（即自动消耗）的热量，而从事工作、 生活每天每千克体重必须消耗α (J)的热量，从事体育 锻炼每千克体重消耗β(J)的热量. 2.某人以脂肪形式储存的热量是百分之百有效的，即 热量和脂肪之间可以自由的无损耗的转换.而1kg的脂肪 含热量42000J. 3.设体重w是时间t的连续函数，即w＝w(t)，忽略个体 的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响.
四、减肥的数学模型
0、问题描述
随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于 饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社 会关注的一个重要问题。无论从健康角度还是从审美角度， 人们越来越重视自己形体的健美，从而就导致目前社会上出 现了各种各样的减肥食品（或营养素）、减肥饮料、减肥服 装、减肥药和名目繁多的健美中心 ，让人目不暇接，不知 所措，上当受骗者也不在少数.以至各种媒体经常提醒人们 减肥一定要慎重，如何对待减肥是我们一定要正确对待的问 题，于是了解减肥的机理成为减肥的关键。此外，对于从事 某些体育项目的运动员（例如：举重、体操、游泳等）来说， 在比赛前也有都一个正确减肥的问题。
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s
由待解 方程写 成的m文件名
ts=[t0，tf]， 函数的 初值 t0、tf为自 变量的初 值和终值
ode23：组合的2或3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4或5阶龙格-库塔-芬尔格算法
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
5.模型建立
每天：体重的变化=输入-输出 输入：指扣除新陈代谢之外的净吸收热量 输出：指进行工作、生活、体育锻炼的总消耗热量 于是 每天净吸收量=(a-b)/42000 (kg) 每天总消耗量=(α+β)w/42000 (kg)
所以在t到t+∆t时间内体重的变化为 a b ( ) w 由此体重变化的微分方程模型：
• 符号说明：t为自变量；x为函数值；solver为求解函数，一共有 5个，分别为ode45、ode23、ode113、ode15s和ode23s；f为待解 方程写成的m-文件名；ts=[t0,t1]， t0、t1为自变量的初值和终值； x0为函数的初值；options为选项，用于设定误差限（缺省时设 定相对误差10-3，绝对误差10-6），命令为： options=odeset(‘reltol’,rt,’abstol’,at)，其中rt,at分别为设定的相对 误差和绝对误差。
例如，微分方程
dx
2
三、微分方程（组）的MATLAB解法
0 应表达为:D2y=0.
例1 求
du 1 u 2 的通解. dt 解 输入命令： dsolve('Du=1+u^2','t')
ans =tan(t+C1)执ຫໍສະໝຸດ 结果：例2 求微分方程的特解.
例3 求微分方程组的通解
dx dt 2 x 3 y 3 z dy 4 x 5 y 3z dt dz dt 4 x 4 y 2 z
2 1.5 1 0.5 0
-0.5 1、建立m-文件vdp1000.m如下： -1 function dy=vdp1000(t,y) -1.5 dy=zeros(2,1); -2 dy(1)=y(2); -2.5 0 dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入命令： [T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')
二.微分方程的数学形式
定义：一般的凡表示未知函数、未知函数的导数与
自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.
形式： dy
＝f x,y dx y|x=x ＝y 0， 0
d2 y ＝f x, y,y 2 dx y|x=x ＝y 0， |x=x =y0 y 0 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3、结果如图所示：即得x与t 的关系.
例5
解微分方程组. y1 ' y2 y3 y2 ' y1 y3 y3 ' 0.51 y1 y2 y1 (0) 0, y2 (0) 1, y3 (0) 1
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 2 4 6 8 10 12
1.问题分析
在我们日常生活中，胖人越来越多。肥胖已成为影 响人类健康的头号杀手，减肥已经提上日程，组成 了人们生活中的一部分。减多少，怎样减，是我们 这次解决的问题。 要求：根据实际问题，建立一个合理的数学模型来 科学的减肥。

2.问题分析
减肥最主要的是减去人体内冗余的能量，能量最主要 是由糖类、蛋白质和脂肪转化而来的。运动减肥的原 理是利用运动需要消耗大量的能量来减掉人体内多余 的能量。 如果我们每天吸收的能量超过消耗的能量，则我们的 体重会增加，达不到减肥的目的。如果我们每天吸收 的能量等于消耗的能量，我们的体重基本就不会变化。 如果我们每天吸收的能量小于消耗的能量，我们的体 重就会减少，也即求得问题的解决。为了消耗体内多 余的脂肪，就得每天进行足够的体育锻炼。 下面是一个在相当简化的层次下用微分方程建立的数 学模型
例4
解: 令 y1=x，y2=x’
d 2x 2 dx 2 1000(1 x ) x 0 dt dt x (0) 2; x ' (0) 0
则微分方程变为一阶微分方程组：
y1 ' y2 y2 ' 1000(1 y12 ) y2 y1 y (0) 2, y (0) 0 1 2
① C为任意常数.
(2) 若存在y=y0,使g(y0)=0,则y=y0也是方程的解,但不在①内.
• 一阶线性微分方程
dy P ( x) f ( y ) Q( x) dx
dy n • Bernoulli(伯努利)方程 dx P( x) y Q( x) y n≠0,1的常数
该方程化为一阶线性微分方程求解. (1)显然y=0是方程的解，当y≠0时，令z=y1-n,有
执行结果：
x =C2*exp(-t)+C3*exp(2*t) y =C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 z =C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1
微分方程的数值解
• 在MATLAB中命令如下： [t,x]=solver(‘f ’,ts,x0,options)（当求不 出微分方程的解析解时，可以求其数值解）。
解
1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);
2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),’b-’,T,Y(:,2),’g*’,T,Y(:,3),’r+’) 3、结果如图 :y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+” 线.
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微分方程（组）方法法建模