重庆市第八中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题及参考答案

重庆八中2023—2024学年上期初三年级第一学月考试
数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.tan45°的值为（ ）
A.1
B.1−
2.下列图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.估计的值在（ ） A.3到4之间
B.4到5之间
C.5到6之间
D.6到7之间
4.如图，AF 是BAC ∠的角平分线，DF AC ，若60BDF ∠=°，则1∠的度数为（ ）
A.20°
B.25°
C.30°
D.45°
5.一辆汽车的速度()km /h 与时间()min 之间的变化关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.速度是自变量，时间是因变量
B.汽车在3min 加时，行驶的路程为30km
C.汽车在3～8min 加应时停止运动
D.汽车最快的速度是30km /h
6.如图，在平面直角坐标系中，已知()12,8A ，()6,4D ，()2,3E ，ABC △与DEF △位似，原点O 是位似中心，则B 点的坐标是（ ）
A.()4,5
B.()4,6
C.()5,6
D.()5,5
7.二次函数()2
0y ax bx c a ++≠的顶点坐标为()1,m ，其部分图象如图所示.以下结论错误的是（ ）
A.0a >
B.0abc >
C.2
40ac b −<
D.30a c +<
8.下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第5个图形中小正方形的个数是（ ）
A.24
B.30
C.35
D.48
9.如图，ABC △为等腰直角三角形，BD AB ⊥于点B ，CE AD ⊥于点E ，连接BE ，设CAE x ∠=，若
2CE AE =，则ABE ∠可表示为（ ）
A.
1
2
x B.
152
x
+°
C.45x −°
D.60x °−
10.数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如12x x −表示在数轴上数1x ，2x 对应的点之间的距离.现定义一种“F 运算”
，对于若干个数，先将每两个数作
差，再将这些差的绝对值进行求和.例如：对1−，1，2进行“F 运算”，得1112126−−+−−+−=.下列说法：
①对m ，1−进行“F 运算”的结果是3，则m 的值是2；
②若2x y <<，对于2，x ，y 进行“F 运算”的结果是8，则y 的值是8； ③对a ，a ，b ，c 进行“F 运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式. 其中正确的个数为（ ） A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11.计算：0
1−=
______. 12.从六边形ABCDEF 的顶点A 出发，可以画出______条对角线。

13.在桌面上放有三张完全一样的卡片，正面分别标有数字2−，0，3.把三张卡片背面朝上，随机抽取一张，将数字记为a 后，放回洗匀，再从中随机抽取一张，将数字记为b ，则点(),M a b 刚好落在坐标轴上的概率为______。

14.如图，O 是等边ABC △的外接圆，若AB =，则图中阴影部分的面积为______。

（结果保留π）
15.近些年重庆市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益，其中：农户甲2020年纯收入为20000元，经“助农计划”帮扶，到2022年农户甲的纯收入增长到39200元，则农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为______。

16.如果关于t 的不等式组2345
t a t t +≥−
≤ 有解，且关于x 的二次函数()2
141y a x x =−++的图象与x 轴有交点，那么满足条件的所有整数a 的和为______。

17.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以BD 为斜边作Rt BPD △，AC 与BP 交于点Q ，连接AP ，使得AQ DO =，且2PAQ PBD ∠=∠，若4AC =，则BD 的长为______。

18.如果一个四位自然数M 各数位上的数字均不为0，将M 的千位和个位上的数字对调，同时将M 的百位和十位上的数字对调，得到新的四位数N ，称N 为M 的“一对称数”，并规定()9
M N
F M −=。

例如：3412的“对称数”为2143，()
34122143
34121419
F −==，则()2176F =______；若6500201s m =++（m 为整
数，14m ≤≤）
，3200107t n ++（n 为整数，19n ≤≤），且29m n +>，s 和t 的各数位数字均不为0，且s 的“对称数”与t 的“对称数”之和能被9整除，规定()()k
F s F t −，则k 最大值为______.
三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20—26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.化简：
（1）()()()232342x x x x −+−⋅−
（2）21252236x x x x −−
−÷
++
20.如图，在ABC △中，
D 是BC 边的中点，过点D 的直线交AB 于点
E ，交AC 的延长线于点
F ，且BE CF =.
（1）尺规作图：过点C 在线段CD 上方作DCG DBE ∠=交线段DF 于点G （用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、不下结论）
（2）在（1）中所作的图中，证明：AE AF =（请补全下面的证明过程）. 证明：
∵D 为BC 边中点， ∴CD BD = ∵DCG DBE ∠=∠ ∴ ① 。

∴CGF AEF ∠=∠ 在CDG △和BDE △中
DCG DBE
CD BD
∠=∠ =
②. ∴()CDG BDE ASA ≌△△， ∴ ③ . ∵BE CF = ∴CF CG =，
∴ ④ .
又∵CGF AEF ∠=∠， ∴ ⑤ . ∴AE AF =
21.某学校开展了“交通安全我知道”宣传讲座，并在讲座后进行了满分为100分的交通安全知识测评，为了解测评情况，学校在八、九年级分别随机抽取了20名学生的成绩进行整理、分析（得分用整数x 表示，单位：分），且分为A ，B ，C 三个等级，分别是：优秀为A 等级：85100x ≤≤；合格为B 等级：7085x ≤<，不合格为C 等级：070x ≤<.绘制成如下统计图表，下面给出了部分信息：
20名八年级学生测评成绩的众数出现在A 组，且八年级A 组测评成绩分别为：89，91，92，92，92，92，92，95，97，99，100；
20名九年级学生测评成绩的A 组中共有a 个人.
成绩 平均数 中位数 众数 八年级 86 b c 九年级
86
93
94
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a =______，b =，c =______；
（2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八、九年级共有4000名学生，请估计该校初中八、九年级学生中成绩为优秀的学生共有多少名？ 22.某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）.假定某运动员A 在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟.
（1）求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？
（2）某参赛运动员B 骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B 骑行时的上坡速度是多少千米/小时？
23.如图，甲、乙两队同时从A 点出发，相约去河对面的公园D 游玩.甲队选择的线路为A B C D →→→，其中在BC 段划船过河；乙队选择的线路为A F E D →→→，其中在FE 段乘坐游船过河.已知四边形BCEF 为矩形，A ，B ，C 三点在同一直线上，AB 长为600米，37AFB ∠=°，CD DE ⊥，30CED ∠=°.
（1）求D 到CE 的距离；（结果精确到个位）
（2）甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为50m /min .已知甲队划船的速度为120m /min ，乙队游船的速度为360m /min ，若BC 长为1800米，请通过计算说明哪一队先到达公园D .
（参考数据：sin370.60°≈，cos370.80°≈，tan370.75°≈ 1.732≈ 1.414≈）
24.如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=°，6AB =，8BC =，点D 是AC 的中点，动点E 从点C 出发，沿着折线C D B →→（含端点）运动，到达点B 时停止运动，过点E 分别向BC ，AB 边作垂线，垂足分别为F ，G .设点E 运动的路程为x ，线段EF 与EG 的长度和为y
（1）请直接写出y 关于x x 的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若11y x ′=−+，结合函数图象，直接写出y y >′时x 的取值范围.（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
25.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点()4A ，与x 轴交于点()
B ，点
C 为AB 中点，反比例函数k
y x
=刚好经过点C .将直线AB 绕点A 沿顺时针方向旋转60°得直线AD ，直线AD 与x 轴交于点D .
图1
图2
（1）求反比例函数解析式；
（2）如图2，点Q 为射线以上一动点，当1
2
DQ BQ +
取最小值时，求DCQ △的面积； （3）将DCA △沿射线AB 方向进行平移，
得到D C A ′′′△且C ′刚好落在y 轴上，已知点M 为反比例函数k y x
=上一点，点N 为y 轴上一点，若以M ，N ，B ，D ′为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程. 26.点P 是三角形ABC 内一点，连接BP 、CP ，120BPC ∠=°.
图1
图2
备用图
（1）如图1，若BP 、CP 分别平分ABC ∠、ACB ∠，45ABC ∠=°，4AC =，求BC 的长；
（2）如图2，连接AP ，若60APD PAC ∠−∠=°：且BP CP =，D 是AB 的中点，求证：2AC DP AP −=；
（3）在（1）的条件下，若点M 是直线BC 上一动点，连接AM ，将AM 绕点A 顺时针旋转60°至AN ，连接MN ，取MN 的中点Q ，直接写出当BQ 取得最小值时，ABQ △的面积.
参考答案
1—10
ADBCD
BDCCB
12.3 13.
5
9
14.4π−
15.40%
16.8
17.
18.504−，……（2分）
1069.……（2分）
19（1）解：原式2
2
4948x x =−−+………………………………………………（2分）
1=−
………………………………………………（4分）
（2）解：原式
()()()
325
255x x x x x ++⋅++− ………………………………………………（3分） 35
x =
−
………………………………………………（4分）
20.（1）略.
………………………………………………（5分）
CG BE
CDG BDE ∠=∠
（2）CG BE =
………………………………………………（10分）
AFE CGF ∠=∠ AFE AEF ∠=∠
21.解：
（1）12a =，90b =，92c = ………………………………………………（3分）
（2）九年级的测评成绩更好，理由如下：………………………………………………（4分）
有样本数据可知，八、九年级测评成绩的平均数均为86，但九年级测评成绩的中位数是93，高于八年级测评成绩的中位数90，因此九年级更好；（用众数比较亦可）………………………………………………（6分） （3）样本数据中，八、九年级等级为优秀的学生占比为
2340
，23
4000230040×=（名）……………（9分） 答：估计该校八、九年级学生中成绩为优秀的学生有2300名………………………………………（10分） 22.解：（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x 千米、y 千米.
根据题意，得：46302560
51202560
x
y x y += +=
解这个方程组，得5
15x y ==
答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米. …………………（5分） （2）该运动员B 骑行时的上坡速度是a 千米/小时.
根据题意，得：
5510260
a a −= 解这个方程，得15a =
经检验，15a =是原方程的解
答：该运动员B 骑行时的上坡速度是15千米/小时.………………………………………………（10分） 23.解：（1）过点作DH CE ⊥于点H 在Rt ABF △中，90ABF ∠=°， ∵600m AB =，37AFB ∠=°，
∴1000m sin AB AF
AFB =≈∠，800m tan AB
BF
AFB
=≈∠， ∵四边形BCEF 为矩形 ∴800m CE BF ==
在Rt CDE △中，90CDE ∠=°，30CED ∠=°
∴sin30400m CD CE =⋅°=
，cos30DE
CE =⋅°= 在Rt DHE △中，90DHE ∠=°，30DEH ∠=°
∴sin30283m DH
DE =⋅°=≈ ∴D 到CE 的距离为283m.………………………………………………（5分）
（2）据题意得： 甲队所用时间为6004001800
35min 50120
AB CD BC t V V ++=+=+=甲
步行划船
乙队所用时间为1800
2538.9min 360
AF DE EF t V V +=++=
+≈乙步行游船 ∵3538.9<
∴甲队先到达公园D .………………………………………………（10分）
24.解：（1）1
8,055
714,5105
x x y x x −+≤< = −+≤≤ ………………………………………………（4分）
（2）函数图象如右图所示
………………………………………………（6分）
性质：①当010x <<时，y 随x 增大而减小
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值.当0x =时，函数取得最大值8，当10x =时，函数取得最小值0
………………………………………………（8分）
（3）3.87.5x ≤≤
………………………………………………（10分）
25.解：（1
）∵()4A
，()
B
∴()
2C
∴k xy ==
∴反比例函数解析式为y =
（2分） （2
）∵()4A
，()
B ∴30ABD ∠=°
又∵18060120BAD ∠=°−°=° ∴30ADB ∠=°
∴()
D
作直线:6l y ′=−
∴130∠=°
过点Q 作QH l ′⊥于点H ∴1
2
DQ BQ DQ QH +
=+ ∴当D ，Q ，H 三点共线时，1
2
DQ BQ +取最小值 此时Q 与A 重合
∴(
111
4222
DCQ DCA ABD S S S ==
=××−×=△△△ ∴DCQ △
的面积为（6分）
（3
）由题可知()4D ′−
，()
B
，再设M m ，()0,N n 当D B ′
为对角线时，0
40m n =+ −+=
+
，解得：5m n ==− ∴()0,5N −
同理可得()0,6N ，()0,6−
综上，N 点坐标为()0,5−，()0,6或()0,6−………………………………………………（10分）
26.（1）解：如图1，过C 作CH AB ⊥于H .
∵BP 、CP 分别平分ABC ∠、ACB ∠ ∴112
ABC ∠=
∠，122ABC ∠=∠ ∵120BPC ∠=° ∴1260∠+∠=°
∴120ABC ACB ∠+∠=°
∴60A ∠=° ………………………………………………（1分）
在Rt AHC △中，90AHC ∠=°，60A ∠=°，4AC =
∴2AH =
，CH =在Rt AHB △中，90AHC ∠=°，45ABC ∠=°
∴BC =.………………………………………………（3分）
（2）证明：过B 作BE
AP 交PD 的延长线于E ，过点P 作60APF ∠=°交AC 于F . ∵BE AP
∴E APD ∠=∠
∵D 是AB 的中点
∴AD BD =
在APD △和BED △中，E APD BD AD BDE ADP ∠=∠=∠=∠
∴()APD BED AAS ≌△△
∴EB AP =，E D DP =
∴2EP DP =………………………………………………（4分）
∵120BPC ∠=°，60APF ∠=°
∴2180BPA ∠+∠=°
∵BE AP
∴180EBP BPA ∠+∠=°
∴2EBP ∠=∠
∵E APD ∠=∠，60APD PAC
∠−∠=° ∴60E PAC ∠=∠+°
∵60PFC APF PAC PAC ∠=∠+∠=∠+° ∴E PFC ∠=∠
在PEB △和CFP △中，2E PFC EBP BP CP ∠=∠∠=∠=
∴()PEB CFP AAS ≌△△
∴EP CF =，PF BE =
∵AP BE =，60APF ∠=°
∴APF △是等边三角形
∴AF AP =
2AC DP AP −=………………………………………………（8分） （3
（10分）。