定兴县第三高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

定兴县第三高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A
． B
． C
． D ．6
2． 已知集合},052|{2
Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ） A ．1- B ． C ．1-或 D ．1-或2- 3． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞ 4． 下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A ．f （x ）
=
，g （x ）=x ﹣1
B ．f （x ）
=
，g （x ）
=
C ．f （x ）=ln e x 与g （x ）=e lnx
D ．f （x ）=（x ﹣1）0与g （x ）
=
5． 在二项式（x 3
﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ）
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
6． 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
（A ）150种 （ B ） 180 种 （C ） 240 种 （D ） 540 种
7． 为了得到函数y=cos （2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象上所有的点（ ） A
．向左平移个单位长度 B
．向右平移个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度
8． 复数i i -+3)1(2
的值是（ ）
A ．i 4341+-
B ．i 4341-
C ．i 5351+-
D ．i 5
351-
【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题． 9． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．24
B ．80
C ．64
D ．240 10．在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O ，A ，B 三点能构成三角形，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知函数1()1x f x ae x a -=+--有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,1]- B ．[0,1] C ．{1}(0,1]- D ．{1}[0,1)-
12．已知集合
表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P
的坐标满足不等式x 2+y 2
≤2的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．若执行如图3所示的框图，输入
，则输出的数等于 。

14．如图，一船以每小时20km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km ．
15．已知函数f （x ）=（2x+1）e x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（0）的值为 ． 16．过点（0，1）的直线与x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为 ．
17．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数()f x xlnx ax ＝－＋在()0e ，上是增函
数，函数()22x
a g x e a ＝－＋，当[]03x ln ∈，时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为3
2
，则a 的值
为______.
18．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．
三、解答题
19．关于x 的不等式a 2x+b 2（1﹣x ）≥[ax+b （1﹣x ）]2
（1）当a=1，b=0时解不等式； （2）a ，b ∈R ，a ≠b 解不等式．
20．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列
的通项公式。

21．已知函数
的图象在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．
（1）试求f （x ）的解析式；
（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象．写出函数y=g （x ）的解析式．
22．已知：函数f （x ）=log 2
，g （x ）=2ax+1﹣a ，又h （x ）=f （x ）+g （x ）．
（1）当a=1时，求证：h （x ）在x ∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h （x ）有两个零点；
（2）若关于x 的方程f （x ）=log 2g （x ）有两个不相等实数根，求a 的取值范围．
23．（本小题满分12分）若二次函数()()20f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=, 且()01f =.
（1）求()f x 的解析式； （2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．
24．设0＜a ＜1，集合A={x ∈R|x ＞0}，B={x ∈R|2x 2﹣3（1+a ）x+6a ＞0}，D=A ∩B ． （1）求集合D （用区间表示）
（2）求函数f （x ）=2x 3﹣3（1+a ）x 2
+6ax 在D 内的极值点．
定兴县第三高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4
，底面正三角形的高是，
设底面边长为a
，则，∴a=6，
故三棱柱体积．
故选B
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 3． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化
法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周
期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.
4． 【答案】D
【解析】解：对于A ：f （x ）=|x ﹣1|，g （x ）=x ﹣1，表达式不同，不是相同函数；
对于B ：f （x ）的定义域是：{x|x ≥1或x ≤﹣1}，g （x ）的定义域是{x}x ≥1}，定义域不同，不是相同函数；
对于C ：f （x ）的定义域是R ，g （x ）的定义域是{x|x ＞0}，定义域不同，不是相同函数； 对于D ：f （x ）=1，g （x ）=1，定义域都是{x|x ≠1}，是相同函数；
故选：D ．
【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题． 5． 【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=
•（﹣1）r •x 3n ﹣4r ，
则∵二项式（x 3
﹣）n
（n ∈N *
）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6． 故选：B ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
6． 【答案】A
【解析】5人可以分为1,1,3和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
22333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=种,故选A ． 7． 【答案】A
【解析】解：∵，故将函数y=cos2x 的图象上所有的点向左平移个单位长
度，
可得函数y=cos （2x+1）的图象， 故选：A ．
【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8． 【答案】C
【解析】
i i i i i i i i i i 5
3
511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+． 9． 【答案】B 【解析】 试题分析：805863
1
=⨯⨯⨯=
V ,故选B. 考点：1.三视图；2.几何体的体积. 10．【答案】B
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若O ，A ，B 三点能构成三角形，则O ，A ，B 三点不共线。

若O ，A ，B 三点共线，有：-m=4，m=-4． 故要使O ，A ，B 三点不共线，则。

故答案为：B 11．【答案】D
【解析】当1a =时，1
()11x f x e x -=+--．
当1x ≥时，1
()2x f x e x -=+-为增函数， ∴()(1)0f x f ≥=，有唯一零点1．
当1x <时，1
()x f x e
x -=-，1()1x f x e -'=-．
∵1x <，∴()0f x '<，()f x 单调减， ∴()(1)0f x f <=，没有零点， 综上： 1a =时，原函数只有一个零点， 故不成立，从而排除,,A B C ．
12．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则对应的区域为△AOB ，
由
，解得
，即B （4，﹣4），
由，解得，即A （，），
直线2x+y ﹣4=0与x 轴的交点坐标为（2，0），
则△OAB 的面积S=
=
，
点P 的坐标满足不等式x 2+y 2
≤2区域面积S=
，
则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．
二、填空题
13．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则。

14．【答案】
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，
则这时船与灯塔的距离为海里．
故答案为．
15．【答案】 3 ．
【解析】解：∵f （x ）=（2x+1）e x
，
∴f ′（x ）=2e x +（2x+1）e x
， ∴f ′（0）=2e 0+（2×0+1）e 0
=2+1=3．
故答案为：3．
16．【答案】 2
【解析】解：∵x 2+y 2
=4的圆心O （0，0），半径r=2， ∴点（0，1）到圆心O （0，0）的距离d=1， ∴点（0，1）在圆内．
如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，
∴|AB|min =2=2
．
故答案为：2
．
17．【答案】
52
【解析】()1ln f x x a =--+'，因为()f x 在()0e ，上是增函数，即()0f x '≥在()0e ，上恒成立，
ln 1a x ∴≥+，则()max ln 1a x ≥+，当x e =时，2a ≥，
又()22x
a g x e a =-+，令x
t e =，则()[]2,1,32
a g t t a t =-+
∈， （1）当23a ≤≤时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2
min 2
a g t g a ==，
则()()max min 312g t g t a -=-=，则5
2
a =，
（2）当3a >时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2
min 332
a g t g a ==-+，
则()()max min 2g t g t -=，舍。

52
a ∴=。

18．【答案】 ±（7﹣i ） ．
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），∵（1+3i ）z=（1+3i ）（a+bi ）=a ﹣3b+（3a+b ）i 为纯虚数，∴．
又ω=
==
，|ω|=，∴
．
把a=3b 代入化为b 2
=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±
=±（7﹣i ）．
故答案为±（7﹣i ）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）当a=1、b=0时，原不等式化为x ≥x 2
，（2分）
即x （x ﹣1）≤0；…（4分） 解得0≤x ≤1，
∴原不等式的解集为{x|0≤x ≤1}；…（6分）
（2）∵a 2x+b 2（1﹣x ）≥[ax+b （1﹣x ）]2
， ∴（a ﹣b ）2x ≥（a ﹣b ）2x 2
，（10分）
又∵a ≠b ，
∴（a ﹣b ）2
＞0， ∴x ≥x 2
；
即x （x ﹣1）≤0，…（12分） 解得0≤x ≤1；
∴不等式的解集为{x|0≤x ≤1}．…（14分）
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应对不等式进行化简，再解不等式，是基础题．
20．【答案】 【解析】（1）为
，故点
在函数
的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线
斜率一定存在。

故有
直线
的直线方程为
，令
，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，则当时，
21．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）由题意知：A=2，…
∵T=6π，
∴=6π得
ω=，…
∴f（x）=2sin（x+φ），
∵函数图象过（π，2），
∴sin（+φ）=1，
∵﹣＜φ+＜，
∴φ+=，得φ=…
∴A=2，ω=，φ=，
∴f（x）=2sin（x+）．…
（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+）的图象，
然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣）+]=2sin（﹣）的图象．
故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（﹣）．…
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．
22．【答案】
【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2+2x，
=log2（1﹣）+2x；
∵y=1﹣在（1，+∞）上是增函数，
故y=log2（1﹣）在（1，+∞）上是增函数；
又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数；
∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增；
同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；
而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0，
h（2）=﹣log23+4＞0；
故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，
同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点，
故函数h（x）有两个零点；
（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为
1﹣=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；
故a=；
结合函数a=的图象可得，
＜a＜0；
即﹣1＜a＜0．
【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．
23．【答案】（1）()2=+1f x x x -；（2）1m <-． 【解析】
试题分析：（1）根据二次函数()()20f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=，利用多项式相等，即可求解,a b 的值，得到函数的解析式；（2）由[]()1,1,x f x m ∈->恒成立，转化为2
31m x x <-+，设
()2g 31x x x =-+，只需()min m g x <，即可而求解实数m 的取值范围． 试题解析：（1） ()()20f x ax bx c a =++≠ 满足()01,1f c ==
()()()()2
212,112f x f x x a x b x ax bx x +-=+++--=，解得1,1a b ==-,
故()2=+1f x x x -.
考点：函数的解析式；函数的恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题，其中解答中涉及到一元二次函数的性质、多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键. 24．【答案】
【解析】解：（1）令g （x ）=2x 2
﹣3（1+a ）x+6a ，△=9（1+a ）2
﹣48a=9a 2
﹣30a+9=3（3a ﹣1）（a ﹣3）．
①当时，△≥0，
方程g （x ）=0的两个根分别为，
所以g （x ）＞0的解集为
因为x 1，x 2＞0，所以D=A ∩B=
②当时，△＜0，则g （x ）＞0恒成立，所以D=A ∩B=（0，+∞）
综上所述，当时，D=
；
当
时，D=（0，+∞）．
（2）f ′（x ）=6x 2
﹣6（1+a ）x+6a=6（x ﹣a ）（x ﹣1）， 令f ′（x ）=0，得x=a 或x=1，
①当
时，由（1）知D=（0，x 1）∪（x 2，+∞）
因为g （a ）=2a 2
﹣3（1+a ）a+6a=a （3﹣a ）＞0，g （1）=2﹣3（1+a ）+6a=3a ﹣1≤0
所以0＜a ＜x 1＜1≤x 2，
f′x f x x
②当时，由（1）知D=（0，+∞）
综上所述，当时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；
当时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．。