用平移、旋转和轴对称几何问题

用平移、旋转和轴对称研究几何问题

学习旋转要解决的问题：

分三个层次①直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；②增加干扰线段，隐含部分已知，主动发现旋转关系，并证明某些结论③需要添加辅助线，完善图形创造情境，进行证明。 要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；（辅助线添加方向）

一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用

1．已知：△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形.求证：BD ⊥EC.

2．如图，已知△ABC ≌△ADE ，∠B ＝45°，∠C ＝20°，∠EAB ＝30°，则∠D ＝ °，

若AC 、DE 交于点F ，则∠EFC ＝ °.

3．如图，△ABC 中，∠BAC =120º，以BC 为边向形外作等边△BCD ，把△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60º后到△ECD 的位置.若AB =3，AC =2，求∠BAD 的度数和AD 的长.

4．已知：如图，A 、B 、C 在同一直线上，且ABE ∆与BCD ∆都是等边三角形，求证：CE AD =.

拓展 如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，BM 、CN 交于点F ． （1）求证：AN=BM ；

（2）求证： △CEF 为等边三角形；

（3）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90º，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．

E

D C B A F

E D C B

A

E

D

C B

A E

D

C

B

A

5．如图，已知正方形ABCD 和BC 边上一点E ，将直角三角形ABE 绕点B 逆时针旋转90o

，再沿BC 方向平移，平移距离是线段BC 的长度，请画出图形.并回答：旋转后三角形的斜边与AE 有什么关系？为什么？ 二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线

几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化，有助于问题的解决.同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力.平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的关系.

1．（三角形的倍长中线）已知：在△ABC 中，AB=AC ，CD 是中线，延长AB 到E ，使BE=AB ，连结CE.求证：CD=

2

1

CE. E

D C

B

A E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

拓展1 如图1，已知△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围．

提示：延长AD 至A ＇，使A ＇D ＝AD ，连结BA ＇．根据“SAS ”易证△A ＇BD ≌△ACD ，得AC ＝A ＇B ．这样将AC 转移到△A ＇BA 中，根据三角形三边关系定理可解．

拓展2 如图2，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 与BC 交于点F ．求证：DF=EF ． 提示：此题辅助线作法较多，如： ①作DG ∥AE 交BC 于G ；

②作EH ∥BA 交BC 的延长线于H ；

再通过证三角形全等得DF ＝EF ． 2．（三角形的翻折角平分线）已知：在ABC ∆中，C B ∠=∠2，AD 是BAC ∠的平分线. 求证：AC BD AB =+.

D

C

B

A

拓展1 如图，已知：在ABC ∆中，AC AB >，AD 是BAC ∠的平分线，P 是AD 上任意一点. 求证：

PC PB AC AB ->-

.

D

B

A

拓展2 已知：ΔABC 中，∠A=

90，AD 是BC 边上的高，BE 是角平分线，且交AD 于P.求证：AE=AP.

E

P

D

C

B

A

3．（梯形的线段倍长）已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 是DC 的中点，AE 平分∠BAD ．求证：AB=AD+BC ．

E

D

C

B

A

拓展1 如图，已知：在梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ADC=90º，F 为BC 的中点，∠AFC=3∠BAF.求证：CD=CF. F

D C

B

A

拓展2 已知：直角梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ⊥AD ，F 为BC 的中点，CF=DC ．求证：∠AFC=3∠BAF ． F

D

C

B

A

拓展3 已知：如图5，在梯形A B C D 中，M BC AD ,//、N 分别是BD 、AC 的中点。求证：

)(2

1

,//AD BC MN BC MN -=

。 4．（正方形中的三角形旋转）已知：如图E 是正方形ABCD 边BC 上任意一点，AF 平分角EAD 交CD 于F ，试说明BE+DF=AE.

拓展1如图，已知：在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若有EF DF BE =+. 求：EAF ∠的度数. F

E D

C

B

A

拓展2如图，已知：在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若有︒∠45＝EAF . 求证：EF DF BE =+. F

E D

C

B

A

拓展3如图，正方形ABCD 边长为1，AB 、AD 上各有一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2．求∠PCQ 的大小． Q P

A

B

C

D

拓展4如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 上的点，且∠EAF=45º，AH ⊥EF ．求证：AH=AB ．

F

E

D

C

B

A