高中数学一轮复习课件：第九章 解析几何(必修2、选修1-1)9-3

(2)①方程 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 可变形为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.
yx表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点)
与圆相切时，斜率最大或最小，如图①所示．
设切线方程为 y＝kx，即 kx－y＝0，
由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2，
可得|3kk2－＋31|＝2，解得 k＝9±25 14，
y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积
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的取值范围是( )
A．[2,6]
B．[4,8]
C．[ 2，3 2] D．[2 2，3 2]
(2)已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上．
①求yx的最大值和最小值；
②求 x＋y 的最大值与最小值．
考点三 与圆有关的轨迹问题 【例 3】 设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，
P 为线段 MN 的中点，求点 P 的轨迹方程．
[思路引导]
设所求点 Px，y
→
寻求与已知 点N的关系
→
用x，、y表 示点N
→
代入点N 满足方程
[解] 设 P(x，y)，N(x0，y0)，∵P 为 MN 的中点，
[答案] D
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取
值范围是( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
[解析] 因为点(1,1)在圆的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.故选 A．
[答案] A
4．(2019·福建厦门联考)若 a∈－2，0，1，34，则方程 x2＋
第
解析几何
九
章
(必修 2、选修 1－1)
第三节
圆的方程
高考概览：1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与 一般方程；2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
主干知识梳理 Z
主干梳理 精要归纳
[知识梳理] 1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 之间存 在着下列关系： (1)d>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在 圆外 ； (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 圆上 ； (3)d<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在 圆内．
[ 思 路 引 导 ] (1) 解 法 一 ： 求出AB的中垂线方程
→
AB的中垂线与过B点的l的垂 线的交点坐标，即圆心C的坐标
→
求出r＝ |AC|
→
得方程
解法二：
设圆的标 准方程
→
利用条件列出关于 a，b，r的方程组
→
解方程组， 得出圆的 方程
(2)
设圆的一 般方程
→
利用条件列出关于 D、E、F的方程组
解法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2－a2＋－3－b2＝r2， 由题意得－2－a2＋－5－b2＝r2，
a－2b－3＝0，
a＝－1， 解得b＝－2，
r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法三：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心
y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示的圆的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆的条件 为 a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即 3a2＋4a－4<0，解得－2<a<23.又 a∈－2，0，1，34，∴仅当 a＝0 时，方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2 ＋a－1＝0 表示圆，故选 B．
[辨识巧记] 1．以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x －x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．解决与圆上点(x，y)有关的最值问题：转化为与圆心有关 的最值问题．
[双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)方程 x2＋y2＝a2 表示半径为 a 的圆．( ) (3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆．( ) (4)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件 是 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
[对点训练] 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求 y－x 的最大值和最小值； (2)求 x2＋y2 的最大值和最小值．
[解] (1)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直 线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时 |2－0＋b|＝ 3，解得 b＝－2± 6(如图 1)．
解法二：设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 因为点 A(4,1)，B(2,1)都在圆上， 故42－－aa22＋＋11－－bb22＝＝rr22，， 又因为ba－ －12＝－1， 解得 a＝3，b＝0，r＝ 2， 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
所以yx的最大值为9＋25
14，最小值为9－25
14 .
②设 x＋y＝b，则 b 表示动直线 y＝－x＋b 在 y 轴上的截距， 显然当动直线 y＝－x＋b 与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4 相切时，b 取得 最大值或最小值，如图②所示．
由圆心 C(3,3)到切线 x＋y＝b 的距离等于圆的半径 2，可得 |3＋123＋－1b2|＝2，
坐标为－D2 ，－E2.
－D2 －2×－E2－3＝0， 由题意得4＋9＋2D－3E＋F＝0，
4＋25－2D－5E＋F＝0，
D＝2， 解得E＝4，
F＝－5.
故所求圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
考点二 与圆有关的最值问题 【例 2】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴，
(1)求圆的方程的 2 种方法 ①直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程． ②待定系数法 a．若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方 程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b， r 的值； b．若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般 方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D， E，F 的值．
[思路引导]
(1) 点P到直线AB的距离的最值
→ 圆心与直线AB的距离的最值
(2) yx及x＋y的几何意义 → 数形结合求解
[解析] (1)圆心(2,0)到直线的距离 d＝|2＋02＋2|＝2 2，所以 点 P 到直线的距离 d1∈[ 2，3 2]．根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2 2，所以△ ABP 的面积 S＝12|AB|d1＝ 2d1.因为 d1∈[ 2，3 2]，所以 S∈[2,6]， 即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．故选 A．
∴xy＝ ＝4－＋232y＋0，x0，
得xy00＝＝22xy＋－34，，
∵x20＋y20＝4，∴(2x＋3)2＋(2y－4)2＝4， 故 P 点的轨迹方程为 x＋322＋(y－2)2＝1.
[拓展探究] 若本例中“P 为线段 MN 的中点”改为“以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP”，其他不变，如何求？
[答案] (x－1)2＋y2＝20.
核心考点突破 H
精研考题 突破重难
考点一 圆与方程 【例 1】 求满足下列条件的圆的方程： (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 l：x－y－1＝0 相切于点 B(2,1)； (2)已知圆 C 经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在 x 轴上截得 的弦长等于 6.
即|b－6|＝2 2，解得 b＝6±2 2， 所以 x＋y 的最大值为 6＋2 2，最小值为 6－2 2.
[答案] (1)A (2)见解析
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法，一般根据长度 或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)形如 u＝yx－ －ba型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x， y)的直线的斜率的最值问题． (3)形如 t＝ax＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的 最值问题． (4)形如(x－a)2＋(y－b)2 型的最值问题，可转化为动点到定点 (a，b)的距离的平方的最值问题．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 [解析] 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径 r＝ 12＋12＝ 2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选 D．
[答案] B
5．(必修 2P124A 组 T4 改编)已知圆 C 经过 A(5,2)，B(－1,4) 两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为__________________．
[解析] 设圆 C 的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 由题意可得5－－1a－2a＋24＋＝1r62＝，r2， 解得ar2＝＝12，0， 所以圆 C 的方程为(x－1)2＋y2＝20.
2
所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知 识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 (如图 2)．
又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2，
所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值 是(2－ 3)2＝7－4 3.
将 P，Q 两点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20，
①
3D－E＋F＝－10. ②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6，
即(x1＋x2)2－4x1x2＝36， 得 D2－4F＝36，④ 由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8， 或 D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y ＝0.
→
解方程组， 得出圆的 方程
[解] (1)解法一：由已知 kAB＝0， 所以 AB 的中垂线方程为 x＝3.① 过点 B 且垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x －2)， 即 x＋y－3＝0，② 联立①②，解得xy＝ ＝30， ， 所以圆心坐标为(3,0)， 半径 r＝ 4－32＋1－02＝ 2， 所以圆 C 的方程为(x－3)2＋y2＝2.
[解] 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为 2x，2y，线段 MN 的中点坐标为x0－2 3，y0＋2 4.
(2)确定圆心位置的 3 种方法 ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在圆的任意 弦的垂直平分线上．③两圆相切时，切点与两圆圆心共线． (3)求圆的方程时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
[对点训练] 求圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，B(－2， －5)的圆的方程． [解] 可以利用几何法求解，也可以利用待定系数法求解． 解法一：设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－2y－3＝0 上， 所以可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)． 又该圆经过 A，B 两点， 所 以 |CA| ＝ |CB| ， 即 2a＋3－22＋a＋32 ＝ 2a＋3＋22＋a＋52，解得 a＝－2，所以圆心 C 的坐标为(－1， －2)，半径 r＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.