2022-2023学年江苏省南通市南通中学数学九年级第一学期期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若x ＝2是关于x 的一元二次方程32x 2﹣2a ＝0的一个根，则a 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．5
2．如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB=5，CD=3，则EF 的长是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 3．若式子
23x x --有意义，则x 的取值范围为( ) A ．x≥2
B ．x≠3
C ．x≥2或x≠3
D ．x≥2且x≠3
4．对于抛物线()2y 2x 13=-++，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1：③顶点坐标为（﹣1，3）；
④x＞-1时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图,在正方形网格中，已知ABC ∆的三个顶点均在格点上，则ACB ∠的正切值为（ ）
A ．2
B 25
C 5
D ．12
6．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ＝AF ，AC 与EF 相交于点G ，下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE +DF ＝EF ；③当∠DAF ＝15°时，△AEF 为等边三角形；④当∠EAF ＝60°时，S △ABE ＝
12S △CEF ，其中正确的是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
7．一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为( )
A ．4
B ．2
C ．0
D ．－4
8．关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0的一个根为0，则m 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．﹣1
D ．1或﹣1
9．一组数据3，1，4，2，－1，则这组数据的极差是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
10．函数2y x =-与函数12y x
=-在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知一组数据：12，10，1，15，6，1．则这组数据的中位数是__．
12．10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是______．
13．如图，在边长为23的等边三角形ABC 中，以点A 为圆心的圆与边BC 相切，与边AB 、AC 相交于点D 、E ，则图中阴影部分的面积为_______．
14．如图，菱形1OAA B 的边长为1，60AOB ∠=︒，以对角线1OA 为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形121OA A B ，再依次作菱形232OA A B ，菱形343OA A B ，……，则菱形201920202019OA A B 的边长为_______．
15．如图，已知等边ABC ∆的边长为4，BD AB ⊥，且233
BD =
.连结AB ，CD 并延长交于点E ，则线段BE 的长度为__________.
16．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝120°，∠DCB ＝60°，CB ＝CD ，AC ＝8，则四边形ABCD 的面积为__．
17．在一个不透明的盒子中装有除了颜色以外没有任何其他区别的1个黑球和2个红球，从盒子中任意取出1个球，取出红球的概率是____.
18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，
则C′B= ______
三、解答题(共66分)
19．（10分）一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋，搅匀，再摸出一个球，记录下它的颜色．
（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两次摸出球的颜色所有可能的结果；
（2）求两次摸出球中至少有一个绿球的概率．
20．（6分）已知：如图，B,C,D 三点在A 上，45BCD ∠=︒，PA 是钝角△ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD
交于点E.
（1）请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ；
（2）用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，并证明.
21．（6分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AD//BC ，BD 的垂直平分线经过点O ，分别与AD 、BC 交于点E 、F
（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；
（2）求证：四边形BFDE 为菱形．
22．（8分）如图所示，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE 的长．
（2）求经过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式．
（3）一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，DP=DQ ． （4）若点N 在（2）中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
24．（8分）已知二次函数的顶点坐标为()22-，
，且其图象经过点()11-，，求此二次函数的解析式． 25．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，直角顶点B 位于x 轴的负半轴，点A （0，﹣2），斜边AC 交x 轴于点D ，BC 与y 轴交于点E ，且tan ∠OAD ＝
12，y 轴平分∠BAC ，反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象经过点C ． （1）求点B ，D 坐标；
（2）求y ＝k x
（x ＞0）的函数表达式．
26．（10分）如图，△ABC．
（1）尺规作图：
①作出底边的中线AD；
②在AB上取点E，使BE＝BD；
（2）在（1）的基础上，若AB＝AC，∠BAC＝120°，求∠ADE的度数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】把x＝2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【详解】∵x＝2是关于x的一元二次方程3
2
x2﹣2a＝0的一个根，
∴22×3
2
﹣2a＝0，
解得a＝1．
即a的值是1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只
含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2、D
【详解】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE．
∵E是AC中点，∴DE=EH．∴△DCE≌△HAE（AAS）．
∴DE=HE，DC=AH．
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线．∴EF=1
2 BH．
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2．∴EF=2．故选D．
3、D
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件可得关于x的不等式组，解不等式组即可.
【详解】由题意，要使
x2
x3
-
-
在实数范围内有意义，必须
202
2
303
x x
x
x x
-≥≥
⎧⎧
⇒⇒≥
⎨⎨
-≠≠
⎩⎩
且x≠3，
故选D.
4、C
【解析】试题分析：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C．
考点：二次函数的性质
5、D
【分析】延长CB 交网格于D ，连接AD ，得直角三角形ACD ，由勾股定理得出AD 、AC ，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：延长CB 交网格于D ，连接AD ，如图所示：
则454590ADC ∠=︒+︒=︒， 22112AD =+=222222CD +，
ACB ∴∠的正切值212
22AD CD =
==； 故选：D ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
6、C
【解析】①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，
就可以得出AC 垂直平分EF ，
②设BC=a ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，设EC=x ，BE=y ，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出S △CEF 和S △ABE ，再通过比较大小就可以得出结论．
【详解】①四边形ABCD 是正方形，
∴AB═AD ，∠B=∠D=90°．
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
AE AF AB AD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE=DF
∵BC=CD ，
∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，
∵AE=AF ，
∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）．
②设BC=a ，CE=y ，
∴BE+DF=2（a-y ）
y ，
∴BE+DF 与EF 关系不确定，只有当y=（）a 时成立，（故②错误）．
③当∠DAF=15°时，
∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°-2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF 为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF=60°时，设EC=x ，BE=y ，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y 2＝x)2
∴x 2=2y （x+y ）
∵S △CEF =
12x 2，S △ABE =12
y(x+y)， ∴S △ABE =12S △CEF ．（故④正确）． 综上所述，正确的有①③④，
故选C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
7、A
【解析】根据一元二次方程判别式的公式24b ac =-△进行计算即可.
【详解】解:在这个方程中，a ＝1，b ＝－2，c ＝0，
∴22
4(2)4104b ac =-=--⨯⨯=，
故选：A.
【点睛】
本题考查一元二次方程判别式，熟记公式24b ac =-△正确计算是本题的解题关键.
8、C
【分析】将0代入一元二次方程中建立一个关于m 的一元二次方程，解方程即可，再根据一元二次方程的定义即可得出答案.
【详解】解：依题意，得
m 2﹣1＝0，且m ﹣1≠0，
解得m ＝﹣1．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根及一元二次方程的定义，准确的运算是解题的关键.
9、A
【分析】根据极差的定义进行计算即可.
【详解】这组数据的极差为：4－(－1)=5.
故选A.
【点睛】
本题考查极差，掌握极差的定义：一组数据中最大数据与最小数据的差，是解题的关键.
10、B
【分析】根据函数2y x =-与函数12y x =-
分别确定图象即可得出答案． 【详解】∵2y x =-，-2＜0，
∴图象经过二、四象限， ∵函数12y x
=-中系数小于0， ∴图象在一、三象限．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2
【解析】根据这组数据是从大到小排列的，求出最中间的两个数的平均数即可
【详解】解：将数据从小到大重新排列为：6、1、1、10、12、15， 所以这组数据的中位数为81092+= ，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可
12、110 【解析】试题分析：P(抽到不合规产品)=
110． 13、3332
π- 【分析】首先求得圆的半径，根据阴影部分的面积＝△ABC 的面积−扇形ADE 的面积即可求解．
【详解】解：设以点A 为圆心的圆与边BC 相切于点F ，连接AF ，如图所示：
则AF ⊥BC ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝60°，BC ＝AB ＝23
∴AF ＝AB•sin60°＝23×33， ∴阴影部分的面积＝△ABC 的面积−扇形ADE 的面积＝12×232
603360
π⨯＝3332π． 故答案为：3332
π． 【点睛】
本题主要考查了扇形的面积的计算、三角函数、切线的性质、等边三角形的性质；熟练掌握切线的性质，由三角函数求出AF 是解决问题的关键．
1420193
【解析】过点1A 作11A D 垂直OA 的延长线与点1D ，根据“直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半”求出1OA ，同样的方法求出2OA 和3OA 的长度，总结规律即可得出答案.
【详解】
过点1A 作11A D 垂直OA 的延长线与点1D
根据题意可得，1160A AD ∠=︒，11AA =
则1130AA D ∠=︒，∴112AD =
在RT △11AA D 中，1132A D =
又1OA 为菱形的对角线 ∴11123
OA A D ==，故菱形121OA A B 3 过点2A 作22A D 垂直1OA 的延长线与点2D
则21260A A D ∠=︒，2113A A OA ==
∴12230A A D ∠=︒，∴123A D = 在RT △122A A D 中，229A D =
又2OA 为菱形的对角线 ∴22229OA A D ==232OA A B 9
过点3A 作33A D 垂直2OA 的延长线与点3D
则32360A A D ∠=︒，3229A A OA ==∴23330A A D ∠=︒，∴2392
A D = 在RT △233A A D 中，3327A D =
又2OA 为菱形的对角线 ∴333227OA A D ==，故菱形343OA A B 的边长为27；
……
∴菱形1n n n OA A B +的边长为3n ；
故答案为20193.
【点睛】
本题考查的是菱形，难度较高，需要熟练掌握“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一基本性质.
15、1
【分析】作CF ⊥AB ，根据等边三角形的性质求出CF ，再由BD ⊥AB ，由CF ∥BD ，得到△BDE ∽△FCE ，设BE 为x ，再根据对应线段成比例即可求解.
【详解】作CF ⊥AB ，垂足为F ，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AF=
12AB=2, ∴CF=2223AC AF -=
又∵BD ⊥AB ，∴CF ∥BD ，
∴△BDE ∽△FCE ，设BE 为x ，
∴EF EB CF DB =,即223233
x x += 解得x=1
故填：1.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的根据是根据题意构造相似三角形进行求解.
16、163 【分析】延长AB 至点E ，使BE ＝DA ，连接CE ，作CF ⊥AB 于F ，证明△CDA ≌△CBE ，根据全等三角形的性质得到CA ＝CE ，∠BCE ＝∠DCA ，得到△CAE 为等边三角形，根据等边三角形的性质计算，得到答案．
【详解】延长AB 至点E ，使BE ＝DA ，连接CE ，作CF ⊥AB 于F ，
∵∠DAB +∠DCB ＝120°+60°＝180°，
∴∠CDA +∠CBA ＝180°，又∠CBE +∠CBA ＝180°，
∴∠CDA ＝∠CBE ，
在△CDA 和△CBE 中，
CD CB CDA CBE DA BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CDA ≌△CBE （SAS ）
∴CA ＝CE ，∠BCE ＝∠DCA ，
∵∠DCB ＝60°，
∴∠ACE ＝60°，
∴△CAE 为等边三角形，
∴AE ＝AC ＝8，CF ＝32
AC ＝43， 则四边形ABCD 的面积＝△CAB 的面积＝
12
×8×43＝163， 故答案为：163．
【点睛】
考核知识点：等边三角形判定和性质，三角函数.作辅助线，构造直角三角形是关键.
17、23
【分析】根据概率的定义即可解题.
【详解】解：一共有3个球,其中有2个红球,
∴红球的概率=23
. 【点睛】 本题考查了概率的实际应用,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
18、31-
【解析】
如图,连接BB′，
∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′,∠BAB′=60°
， ∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
AB BB AC B C BC BC ='⎧⎪'=''⎨⎪'='⎩
，
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D ，
则BD ⊥AB′，
∵∠C=90∘2，
∴22(2)(2)+，
∴BD=2×32
3 C′D=12
×2=1， ∴3
3
点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅
助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）5 9
【分析】（1）利用树状图列举出所有可能，注意是放回小球再摸一次；
（2）列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】（1）列树状图如下：
故（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况
（2）由树状图可知共有3×3＝9种可能，“两次摸出球中至少有一个绿球”的有5种，所以概率是：5 9 .
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20、（1）∠BAP；（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2. 证明见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形∆ABC三线合一解答即可；
（2）连接EB，由PA是△CAB的垂直平分线，得到EC=EB.，∠ECP=∠EBP，∠ECA=∠EBA.然后推出
∠BAD=∠BED=90°，利用勾股定理可得EB2+ED2=BD2，找到BD2=2AB2,代入可求的EC2+ED2=2AC2的等量关系即可. 【详解】（1）∵等腰三角形∆ABC 且PA是钝角△ABC的高线
∴PA是∠CAB的角平分线
∴∠CAP=∠BAP
（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2.
证明：连接EB，与AD交于点F
∵点B，C两点在⊙A上,
∴AC=AB，
∴∠ACP=∠ABP.
∵PA是钝角△ABC的高线,
∴PA是△CAB的垂直平分线.
∵PA的延长线与线段CD交于点E，
∴∠ECP=∠EBP.
∴∠ECP —∠ACP =∠EBP —∠ABP.
即∠ECA=∠EBA.
∵AC=AD ，
∴∠ECA=∠EDA
∴∠EBA=∠EDA
∵∠AFB=∠EFD, ∠BCD=45°
, ∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°
即∠BAD=∠BED=90°
∴EB 2+ED 2=BD 2.
∵BD 2=AB 2+AD 2，
∴ BD 2=2AB 2,
∴EB 2+ED 2=2AB 2，
∴EC 2+ED 2=2AC 2
【点睛】
本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，这是一个综合题，注意数形结合.
21、（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）由平行线的性质可得ADO CBO ∠=∠，根据EF 经过点O 且垂直平分BD 可得OD OB =，利用ASA 可证明△DOA ≌△BOC ，可得OA=OC ，即可证明四边形ABCD 为平行四边形；
（2）利用ASA 可证明DOE ∆≌BOF ∆，可得OE=OF ，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可得结论．
【详解】（1）∵AD//BC ，EF 经过点O ，且垂直平分BD ，
∴ADO CBO ∠=∠，OD OB =，
在DOA ∆和BOC ∆中AOD COB OD OB ADO CBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴DOA ∆≌BOC ∆，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
（2）由（1）知ADO CBO ∠=∠，OD OB =，
∴在DOE ∆和BOF ∆中DOE BOF OD OB ADO CBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴DOE ∆≌BOF ∆，
∴OE OF =，
∵EF 垂直平分BD ，
∴EF BD ⊥，OD OB =，
∴四边形BFDE 为菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定及菱形的判定，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；熟练掌握判定定理是解题关键．
22、（1）3；（2）241633
y x x =+；（3）t =53；（1）存在，M 点的坐标为（2,16）或（-6,16）或16(2)3--， 【分析】（1）由矩形的性质以及折叠的性质可求得CE 、CO 的长，在Rt △COE 中，由勾股定理可求得OE 的长； （2）设AD=m ，在Rt △ADE 中，由勾股定理列方程可求得m 的值，从而得出D 点坐标，结合C 、O 两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）用含t 的式子表示出BP 、EQ 的长，可证明△DBP ≌△DEQ ，可得到BP=EQ ，可求得t 的值；
（1）由（2）可知C （-1，0），E （0，-3），设N （-2，n ），M （m ，y ），分以下三种情况：①以EN 为对角线，根据对角线互相平分，可得CM 的中点与EN 的中点重合，根据中点坐标公式，可得m 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当EM 为对角线，根据对角线互相平分，可得CN 的中点与EM 的中点重合，根据中点坐标公式，可得m 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；③当CE 为对角线，根据对角线互相平分，可得CE 的中点与MN 的中点重合，根据中点坐标公式，可得m 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】解：（1）∵OABC 为矩形，∴BC=AO=5，CO=AB=1．
又由折叠可知，5CE CB ==，
3OE ∴===；
（2）设AD=m ，则DE=BD=1-m ，
∵OE=3，∴AE=5-3=2，
在Rt △ADE 中，AD 2+AE 2=DE 2，
∴m 2+22=(1-m)2，∴m=32，∴D 3(,5)2--， ∵该抛物线经过C(-1，0）、O （0，0），
∴设该抛物线解析式为(4)y ax x =+，
把点D 3(,5)2-
-代入上式得335(4)22a -=-⨯-+， ∴a=43
， ∴241633y x x =+； （3）如图所示，连接DP 、DQ ．由题意可得，CP=2t ，EQ=t ，则BP=5-2t ．
当DP=DQ 时，在Rt △DBP 和Rt △DEQ 中，
DP DQ BD ED =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △DBP ≌Rt △DEQ （HL ），∴BP=EQ ，
∴5-2t=t ，∴t=
53． 故当t=53
时，DP=DQ ； （1）∵抛物线241633
y x x =
+的对称轴为直线x=2b a -=-2， ∴设N （-2，n ）， 又由（2）可知C （-1，0），E （0，-3），设M （m ，y ），
①当EN 为对角线，即四边形ECNM 是平行四边形时，如图1，
则线段EN 的中点横坐标为0(2)2+-=-1，线段CM 的中点横坐标为(4)2m +-， ∵EN ，CM 互相平分，
∴(4)2
m +-=-1，解得m=2， 又M 点在抛物线上， ∴y=
43×22+163×2=16， ∴M （2，16）；
②当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时，如图2，
则线段EM 的中点横坐标为
0122m m +=，线段CN 中点横坐标为(2)(4)32-+-=-， ∵EM ，CN 互相平分，
∴12
m=-3，解得m=-6， 又∵M 点在抛物线上，
2416(6)(6)1633
y ∴=⨯-+⨯-=， ∴M （-6，16）；
③当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时，如图3，
线段CE 的中点的横坐标为
0(4)2+-=-2，线段MN 的中点的横坐标为(2)2
m +-， ∵CE 与MN 互相平分，∴(2)22m +-=-， 解得m=-2，
当m=-2时，y=241616(2)(2)333
⨯-+⨯-=-， 即M 162,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭． 综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为（2，16）或（-6，16）或162,3⎛⎫--
⎪⎝⎭． 【点睛】
本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，第（1）小题注意分类讨论思想的应用．
23、（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）13
【解析】分析：（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷
（1﹣15%﹣30%）=200人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×45200
=81°， 故答案为：200、81°
； （2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13
． 点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24、()222y x =--
【分析】根据已知顶点坐标，利用待定系数法可设二次函数的解析式为()2y a x h k =-+，代入坐标求解即可求得二次函数的解析式．
【详解】解：因为二次函数的顶点坐标为()2,2-，
所以可设二次函数的解析式为：()222y a x =--
因为图象经过点(1,1)，所以()21122a -=--，解得1a =，
所以，所求二次函数的解析式为：()2
22y x =--．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，一般设解析式为2y ax bx c =++；当已知二次函数的顶点坐标时，可设解析式为()2y a x h k =-+；当已知二次函数图象与x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为()12()=--y a x x x x ．
25、（1）B（﹣1，0），D（1，0）；（2）y＝20
9x
（x＞0）．
【分析】（1）根据三角函数的定义得到OD＝1，根据角平分线的定义得到∠BAO＝∠DAO，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过C作CH⊥x轴于H，得到∠CHD＝90°，根据余角的性质得到∠DCH＝∠CBH，根据三角函数的定义得到CH BH
＝DH
CH
＝
1
2
，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点A（0，﹣2），∴OA＝2，
∵tan∠OAD＝OD
OA
＝
1
2
，
∴OD＝1，
∵y轴平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠DAO，
∵∠AOD＝∠AOB＝90°，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD（ASA），
∴OB＝OD＝1，
∴点B坐标为（﹣1，0），点D坐标为（1，0）；（2）过C作CH⊥x轴于H，
∴∠CHD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠DAO＝∠CBD，
∵∠ADO＝∠CDH，
∴∠DCH＝∠DAO，
∴∠DCH＝∠CBH，
∴tan∠CBH＝tan∠DCH＝1
2
，
∴CH
BH
＝
DH
CH
＝
1
2
，
设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，∴2+x＝4x，
∴x＝2
3
，
∴OH＝5
3
，CH＝
4
3
，
∴C（5
3
，
4
3
），
∴k＝5
3
×
4
3
＝
20
9
，
∴y＝k
x
（x＞0）的函数表达式为:
20
9
y
x
（x＞0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
26、（1）①详见解析；②详见解析；（2）15°．
【分析】（1）①作线段BC的垂直平分线可得BC的中点D，连接AD即可；
②以B为圆心，BD为半径画弧交AB于E，点E即为所求．
（2）根据题意利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，线段AD，点E即为所求．
（2）如图，连接DE．
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝1
2
（180°﹣30°）＝75°，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的基本知识．。