二元一次方程解法大全--精选

二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解二元
一次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-
m)2=n(n ≥0) 的方程，其解为 x=±根号下
n+m.
例1．解方程（ 1）(3x+1)2=7 （2）
9x2-24x+16=11
剖析：（1）此方程明显用直接开平方法好做，（2）方程左侧是完整平方式(3x-4)2 ，右侧=11>0，因此此方程也可用直接开平方法解。

（1）解： (3x+1)2=7
×∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±( 注意不要丢解 )
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4= ±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠0)
先将常数 c 移到方程右侧： ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加前一次项系数的一半的平方： x2+x+()2=-+()2
方程左侧成为一个完整平方式：(x+)2=
当b^2-4ac ≥0 时， x+=±
∴x=( 这就是求根公式 )
例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0( 注：X^2是X 的平方）
解：将常数项移到方程右侧3x^2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加前一次项系数一半的平方：
x2-x+()2=+()2
配方： (x-)2=
直接开平方得： x-= ±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=.
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，而后计算鉴别式△=b2-4ac 的值，当b2-4ac ≥0 时，把各项系数 a,b,c 的值代入求根公式 x=[-b
±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac ≥0) 便可获得
方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2,b=-8,c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[(-b ±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
∴原方程的解为x1=,x2=.
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的
积的形式，让两个一次因式分别等于零，获得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所获得的根，就是原方程的两个根。

这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例 4．用因式分解法解以下方程：
(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0
(3)6x2+5x-50=0( 选学） (4)x2-2(+)x+4=0 （选学）
(1) 解： (x+3)(x-6)=-8化简整理得
x2-3x-10=0( 方程左侧为二次三项式，右侧为零 )
(x-5)(x+2)=0(方程左侧分解因式)
∴x-5=0 或 x+2=0(转变成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2 是原方程的解。

(2) 解： 2x2+3x=0
x(2x+3)=0( 用提公因式法将方程左侧分解
因式 )
∴x=0 或 2x+3=0( 转变成两个一元一次方
程)
∴x1=0，x2=- 是原方程的解。

注意：有些同学做这类题目时简单扔掉 x=0
这个解，应记着一元二次方程有两个解。

(3) 解： 6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0( 十字相乘分解因式时要
特别注意符号不要犯错 )
∴2x-5=0 或 3x+10=0
∴x1=,x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+)x+4=0 （∵ 4 可分解为 2·2，∴本题可用因式分解法）
(x-2)(x-2)=0
∴x1=2,x2=2 是原方程的解。

小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法仍是因
式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方
程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。

公式法合
用于任何一元二次方程（有人称之为全能法），
在使用公式法时，必定要把原方程化成一般形
式，以便确立系数，并且在用公式前应先计算
鉴别式的值，以便判断方程能否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就能够直接用公式法解一元二次方程了，因此一般不用配方法
解一元二次方程。

可是，配方法在学习其余数学知识时有宽泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，必定要掌握好。

（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

二元一次方程练习题
一、判断
1、是方程的解⋯⋯⋯⋯（）
2、方程的解是方程3x-2y=13 的一个解（）
3、由两个二元一次方程成方程必定是
二元一次方程（）
4、方程，能够化（）
5、若 (a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0 是二元一次方程， a 的± 1（）
6、若 x+y=0，且|x|=2 ， y 的 2⋯⋯⋯⋯
（）
7、方程有独一的解，那么 m的 m≠ -5
⋯⋯⋯⋯（）
8、方程有无数多个解⋯⋯⋯⋯（）
9、x+y=5 且 x，y 的都小于 5 的整数解共有5 ⋯⋯⋯⋯（）
10、方程的解是方程 x+5y=3 的解，反来方程 x+5y=3 的解也是方程的解⋯⋯⋯（）
11、若 |a+5|=5 ，a+b=1 ⋯⋯⋯（）
12、在方程 4x-3y=7 里，假如用 x 的代数式表示 y，（）
二、：
13、任何一个二元一次方程都有（）
（A）一个解；（ B）两个解；
（C）三个解；（ D）无数多个解；
14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和 6，那么切合条件的两位数的个数有（）
（A）5 个（ B）6 个（ C）7 个（ D）8 个
15、假如的解都是正数，那么 a 的取范是（）
（A）a<2；（ B）；（ C）；（ D）；
16、对于 x、y 的方程的解是方程 3x+2y=34 的一解，那么 m的是（）
（A）2；（ B）-1 ；（ C）1；（ D）-2 ；
17、在以下方程中，只有一个解的是（）
（A）（ B）
（C）（ D）
18、与已知二元一次方程 5x-y=2 构成的方
程组有无数多个解的方程是（）
（A）15x-3y=6 （B）4x-y=7 （C）10x+2y=4（D）20x-4y=3
19、以下方程组中，是二元一次方程组的是（）
（A）（ B）
（C）（ D）
20、已知方程组有无数多个解，则 a、b 的值等于（）
（A）a=-3,b=-14 （B）a=3,b=-7
（C）a=-1,b=9 （D）a=-3,b=14
21、若 5x-6y=0 ，且 xy≠0，则的值等于（）
（A）（ B）（ C）1（D）-1
22、若 x、y 均为非负数，则方程 6x=-7y 的解的状况是（）
（A）无解（ B）有独一一个解
（C）有无数多个解（ D）不可以确立
23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy 的值是（）
（A）14（B）-4 （C）-12 （D）12
24、已知与都是方程y=kx+b 的解，则 k 与b的值为（）
（A）， b=-4 （B）， b=4
（C）， b=4（D）， b=-4
三、填空：
25、在方程 3x+4y=16 中，当 x=3 时，
y=________，当 y=-2 时， x=_______
若 x、y 都是正整数，那么这个方程的解为
___________；
26、方程 2x+3y=10 中，当 3x-6=0 时，
y=_________；
27、假如 0.4x-0.5y=1.2 ，那么用含有 y 的代数式表示的代数式是 _____________；
28、假如方程组的解，则；
29、方程 |a|+|b|=2的自然数解是
_____________；
30、假如 x=1，y=2 知足方程，那么
a=____________；
31、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；
32、若方程 x-2y+3z=0 ，且当 x=1 时，y=2，则z=______；
33、若 4x+3y+5=0，则 3(8y-x)-5(x+6y-2)
的值等于 _________；
34、若 x+y=a，x-y=1 同时建立，且 x、y 都是正整数，则 a 的值为 ________；
35、从方程组中能够知道，x:z=_______ ；y:z=________ ；
36、已知 a-3b=2a+b-15=1 ，则代数式
a2-4ab+b2+3 的值为 __________；
四、解方程组
37、； 38、；
39、； 40、；
41、； 42、；
43、； 44、；
45、； 46、；
五、解答题：
47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的 x 的系数，解得；乙看错了方程②中的 y 的系数，解得，若两人的计算都正确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；
48、使 x+4y=|a| 建立的 x、y 的值，知足
(2x+y-1)2+|3y-x|=0 ，又 |a|+a=0 ，求 a 的值；
49、代数式 ax2+bx+c 中，当 x=1 时的值是0，在 x=2 时的值是 3，在 x=3 时的值是 28，试求出这个代数式；
50、要使以下三个方程构成的方程组有解，求常数 a 的值。

2x+3y=6-6a ，3x+7y=6-15a，4x+4y=9a+9
51、当 a、b 知足什么条件时，方程
(2b2-18)x=3与方程组都无解；
52、a、b、 c 取什么数值时， x3-ax2+bx+c 程(x-1)(x-2)(x-3) 恒等？
53、m取什么整数值时，方程组的解：
（1）是正数；
（2）是正整数？并求它的所有正整数解。

54、试求方程组的解。

六、列方程（组）解应用题
55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶 45 千米，就要延迟 30 分钟抵达；若每小时行驶 50 千米，那就能够提早 30 分钟抵达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？
56、某班学生到乡村劳动，一名男生因病不可以参加，还有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一同抬土，两人抬一筐土，其余男生所有挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐 68 个，扁担 40 根，问这个班的男女生各有多少人？
57、甲、乙两人练习赛跑，假如甲让乙先跑10 米，那么甲跑 5 秒钟就能够追上乙；假如甲让乙先跑 2 秒钟，那么甲跑 4 秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？
58、甲桶装水 49 升，乙桶装水 56 升，假如把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰巧是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰巧是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。

59、甲、乙两人在 A 地，丙在 B 地，他们三
人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 110 米，丙每
分钟走 125 米，若丙碰到乙后 10 分钟又碰到甲，
求 A、B 两地之间的距离。

60、有两个比 50 大的两位数，它们的差是10，大数的 10 倍与小数的 5 倍的和的是 11 的倍数，且也是一个两位数，求本来的这两个两位数。

【参照答案】
一、1、√；2、√；3、×；4、×；5、×；
6、×；
7、√； 8、√； 9、×； 10、×； 11、×；12、×；
二、13、D；14、B；15、C；16、A；17、C；18、A；
19、C；20、A；21、A；22、B；23、B；24、A；
三、25、，8，；26、2；27、；28、a=3，b=1；
29、30、； 31、3，-432 、1；33、20；
34、a 为大于或等于 3 的奇数； 35、4:3 ，7:936 、0；
四、 37、； 38、； 39、； 40、；
41、； 42、； 43、； 44、；
45、； 46、；
五、 47、，； 48、a=-149 、11x2-30x+19 ；
50、； 51、， b=±352、a=6,b=11,c=-6 ；53、
（ 1）m是大于 -4 的整数，（ 2）m=-3，
-2 ，0，，，；
54、或；
六、 55、A、B距离为 450 千米，原计划行
驶9.5 小时；
56、设女生 x 人，男生 y 人，
57、设甲速 x 米/ 秒，乙速 y 米/ 秒
58、甲的容量为 63 升，乙水桶的容量为84升；
59、A、B 两地之间的距离为52875 米；
60、所求的两位数为52 和 62。

二元一次方程组练习题100 道（卷二）
一、选择题：
1．以下方程中，是二元一次方程的是（）
A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．+4y=6D．4x=
2．以下方程组中，是二元一次方程组的是
（）
A．
3．二元一次方程5a－11b=21（）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解D．有且只有两解
4．方程 y=1－x 与 3x+2y=5 的公共解是（）
A．
5．若│ x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）
A．－ 1B．－ 2C．－ 3D．
6．方程组的解与 x 与 y 的值相等，则 k 等于（）
7．以下各式，属于二元一次方程的个数有（）
①x y+2x－y=7；② 4x+1=x－y；③ +y=5；④x=y；⑤ x2－y2=2
⑥6x－2y⑦ x+y+z=1⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1B．2C．3D．4
8．某年级学生共有246 人，此中男生人数y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人， ?则下边所列的方程组中切合题意的有（）
A．
二、填空题
9．已知方程 2x+3y－4=0，用含 x 的代数式表示 y 为： y=_______；用含 y 的代数式表示 x 为： x=________．
10．在二元一次方程－ x+3y=2 中，当 x=4 时， y=_______；当 y=－1 时， x=______．
11．若 x3m－3－2yn－1=5 是二元一次方程，则m=_____，n=______．
12．已知是方程 x－ky=1 的解，那么
k=_______．
13．已知│ x－1│+（2y+1）2=0，且 2x－ky=4，则 k=_____．
14．二元一次方程x+y=5 的正整数解有
______________．
15．认为解的一个二元一次方程是
_________．
16．已知的解，则m=_______，n=______．
三、解答题
17．当 y=－3 时，二元一次方程3x+5y=－ 3和3y－2ax=a+2（对于 x，y 的方程） ?有同样的解，求 a 的值．
18．假如（ a－2）x+（b+1）y=13 是对于 x，y 的二元一次方程，则 a，b 知足什么条件？
19．二元一次方程组的解x，y 的值相等，
求k．
20．已知 x，y 是有理数，且（│ x│－ 1）2+（2y+1）2=0，则 x－y 的值是多少？
21．已知方程x+3y=5，请你写出一个二元
一次方程，?使它与已知方程所构成的方程组的
解为．
22．依据题意列出方程组：
（1）明显到邮局买 0.8 元与 2 元的邮票共
13 枚，共花去 20 元钱， ?问明显两种邮票各买
了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼
中放 4 只，则有一鸡无笼可放； ?若每个笼里放
5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少
个笼？
23．方程组的解能否知足 2x－y=8？知足 2x
－y=8 的一对 x，y 的值是不是方程组的解？
24．（开放题）能否存在整数 m，使对于 x
的方程2x+9=2－（m－2）x 在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x 的解吗？
答案：
一、选择题
1．D 分析：掌握判断二元一次方程的三个必
要条件：①含有两个未知数；②含有未知数的
项的次数是 1；③等式两边都是整式．
2．A 分析：二元一次方程组的三个必要条
件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次
数为 1；③每个方程都是整式方程．
3．B 分析：不加限制条件时，一个二元
一次方程有无数个解．
4．C 分析：用清除法，逐一代入考证．
5．C 分析：利用非负数的性质．
6．B
7．C 分析：依据二元一次方程的定义来判定，?含有两个未知数且未知数的次数不超出 1
次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是
二元一次方程．
8．B
二、填空题
9．10．－ 10
11．，2 分析：令3m－3=1，n－1=1，∴m=，n=2．
12．－ 1 分析：把代入方程x－ky=1 中，得
－2－3k=1，∴ k=－1．
13．4 分析：由已知得x－1=0，2y+1=0，
∴x=1，y=－，把代入方程 2x－ky=4 中，
2+k=4，∴ k=1．
14．解：
分析：∵ x+y=5，∴ y=5－x，又∵ x，y 均为正整数，
∴x为小于 5 的正整数．当 x=1 时， y=4；当x=2 时， y=3；
当x=3，y=2；当 x=4 时， y=1．
∴x+y=5 的正整数解为
15．x+y=12 分析：以 x 与 y 的数目关系组建方程，如 2x+y=17， 2x－y=3 等，
本题答案不独一．
16．14 分析：将中进行求解．
三、解答题
17．解：∵ y=－3 时， 3x+5y=－3，∴
3x+5 ×（－ 3）=－3，∴ x=4，
∵方程 3x+5y=?－ ?3?和 3x－2ax=a+2 有同样的解，
∴3×（－ 3）－ 2a×4=a+2，∴ a=－．
18．解：∵（ a－2）x+（b+1）y=13 是对于x，y 的二元一次方程，
∴a－2≠0，b+1≠0，?∴a≠2，b≠－ 1
分析：本题中，若要知足含有两个未知数，
需使未知数的系数不为 0．
（?若系数为 0，则该项就是 0）
19．解：由题意可知x=y，∴ 4x+3y=7 可化为4x+3x=7，
∴x=1，y=1．将 x=1，y=?1?代入 kx+（k－1）y=3 中得 k+k－1=3，
∴k=2 分析：由两个未知数的特别关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式取代，化“二元” 为“一元” ，进而求得两未知数的值．
20．解：由（│ x│－ 1）2+（2y+1）2=0，可得│ x│－ 1=0 且 2y+1=0，∴ x=±1，y=－．
当x=1，y=－时， x－y=1+=；
当x=－1，y=－时， x－y=－1+=－．
分析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为 0，
则这两非负数（│ x│－ 1）2 与（ 2y+1）2都等于 0，进而获得│ x│－ 1=0，2y+1=0．
21．解：经验算是方程 x+3y=5 的解，再写一个方程，如 x－y=3．
22．（ 1）解：设 0．8 元的邮票买了 x 枚，2 元的邮票买了 y 枚，依据题意得．
（2）解：设有 x 只鸡， y 个笼，依据题意得．
23．解：知足，不必定．
分析：∵的解既是方程x+y=25 的解，也满足2x－y=8，?
∴方程组的解必定知足此中的任一个方程，但方程 2x－y=8 的解有无数组，
如 x=10，y=12，不知足方程组．
24．解：存在，四组．∵原方程可变形为
－mx=7，
∴当 m=1时， x=－7；m=－1 时， x=7；
m=?7时， x=－1；m=－7 时 x=1．
二元一次方程应用题
题型一：配套问题
1．某服饰厂生产一批某种样式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只. 现计划用 132 米这类布料生产这批秋装 ( 不
考虑布料的消耗 ) ，应分别用多少布料才能使做
的衣身和衣袖恰巧配套？
题型二：年纪问题
2．甲对乙说：“当我的年纪是你此刻的年纪时，你才 4 岁”．乙对甲说：“当我的年纪是你此刻的年纪时，你将 61 岁”．请你算一算，甲、乙此刻各多少岁？
题型三：百分比问题
3．有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，此刻要熔制含银30%的合金 100 千克，甲、乙两种合金各应取多
少？
题型四：数字问题
4．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 5，假如把这两个数字的地点对调，那么所得的新数与原数的和是 143，求这个两位数 .
题型五：古算术问题
5．巍巍古寺在山林，不知寺内若干僧。

364 只碗，看看用尽不差争。

三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。

请问先生明算者，算来寺内若干僧。

诗句的意思是：寺内有三百六十四只碗，假如三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，恰巧够用，寺内共有和尚多少个？
题型六：行程问题
6．甲乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖沓机从两地同时出发相向而行， 1 小时 20 分后相遇。

相遇后，拖沓机持续行进，汽车在相遇处逗留 1 小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖沓机，这时汽车、拖沓机从开始到此刻各自行驶了多少千米？
题型七：工程问题
7．某城市为了缓解缺水状况，实行了一项饮水工程，就是把 200 千米之外的的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为 50 天，甲、乙两队合作了 30 天后，乙队因还有任务需要走开 10 天，于是甲队加迅速度，每日多修了 0.6 千米， 10 天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持此刻的速度不变，乙队也比本来多修 0.4 千米，结果按期达成。

问甲乙两队原计划每日各修多少千米？
题型八：方案决议问题
8．已知某电脑企业有 A 型、B 型、C型三种型号的电脑，其价钱分别为 A型每台 6000 元，B 型每台 4000 元， C型每台 2500 元，我市东坡中学计划将 100500 元钱所有用于从该电脑企业购进此中两种不一样型号的电脑共 36 台，请你设计出几种不一样的购置方案供该校选择，并说明原因。

9．某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上
直接销售，每吨收益为 1000 元，经粗加工后销售，每吨收益可达 4500 元，经精加工后销售，
每吨收益涨至 7500 元．当地一家农工商企业收
获这类蔬菜 140 吨．该企业加工厂的生产能力
是：假如对蔬菜进行粗加工，每日可加工 16 吨；假如进行精加工，每日可加工 6 吨，但两种加工方式不可以同时进行．受季节等条件限制，企业一定在 15 天以内将这批蔬菜所有销售或加工完
毕．为此，企业研制了三种加工方案：方案一：
将蔬菜所有进行粗加工．方案二：尽可能多地对
蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市
场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰巧用 15 天达成．你认
为选择哪一种方案赢利最多？为何？。