成都列五中学必修第一册第五单元《三角函数》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x = B ．lg y x = C ．()f x x =-
D ．()cos f x x =
2．函数()2sin(2)33
f x x π
=-+的最小正周期为（ ）
A ．
2
π B ．π
C ．2π
D ．4π
3．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）
A ．
14
B ．
2
π C ．
4
π D ．
12
4．已知函数()2
2
sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3
x π
=
对称
C ．()f x 的最小正周期为
2
π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点
5．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫
=+>>-
<< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x =（ ）
A ．sin 6x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
B ．sin 3x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
C ．sin 6x π
π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．sin 3x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
6．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（ ）. A ．1 B ．12
-
C ．
3 D ．
12
7．化简求值1tan12tan 72
tan12tan 72
+-（ ）
A ．3-
B ．3-
C ．
3 D ．3
8．已知函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=>
⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点
与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．4
9．已知1
sin cos 3
αα+=，则sin 2α的值是（ ）. A ．
89
B ．89
-
C ．
17 D ．17-
10．若4cos 5θ=-
，θ是第三象限的角，则
1tan
21tan 2
θ
θ-=+（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．
35
D ．-2
11．已知1cos 2
α=，322π
απ<<，则sin(2)πα-=（ ） A ．3-
B ．
1
2
C ．12
-
D ．
3 12．函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >，0>ω，2
π
ϕ<
)的图象如图所示.为了得到
()cos g x A x ω=-的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（ ）
A ．向右平移
12
π
个单位长度 B ．向右平移
512
π
个单位长度
C ．向左平移
12
π
个单位长度 D ．向左平移
512
π
个单位长度 二、填空题
13．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
成立，则a =_______.
14．已知α、β均为锐角，且2sin 10α=
，()25
cos 5
αβ+=，则cos 2β=_______________
15．若()()2sin 03f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为
4
π，则()()tan 06g x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的最小正周期为______．
16．如下图所示，某农场有一块扇形农田，其半径为100m ，圆心角为
3
π
，现要按图中方法在农田中围出一个面积最大的内接矩形用于种植，则围出的矩形农田的面积为___________2m .
17．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________. 18．方程21
sin 3sin cos 2
x x x +=
在[0,]4π上的解为___________
19．已知α，β，且()()1tan 1tan 2αβ-+=，则αβ-=______． 20．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.
三、解答题
21．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示.
（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值； （2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的单调增区间. 22．已知()sin (sin 3)f x x x x =，ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，
c .
（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若3
()2
f A =
，2a =，求ABC ∆周长的最大值 23．已知m ∈R ，函数2222()1sin cos (2)|sin |3
3
f x x x m x =++-+. （1）若0m =，求()f x 的最大值； （2）若()f x 在02
x π
≤≤时的最小值为
1
2
，求m 的值. 24．设1cos 29βα⎛⎫
-=- ⎪⎝
⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭． （1）求2
β
α-以及
2
α
β-的取值范围．
（2）求cos
2
αβ
+的值．
25．已知α∈(0,
)2
π
，tan α＝
1
2，求tan 2α和sin ()4
πα-的值． 26．已知函数()33
sin 22f x x x =.
（1）若62A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，0A π<<，求A 的值．
（2）先将函数()y f x =的图像上所有点向左平移3
π
个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数y g x 的图像，求函数y g x 的单调递增区间.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据基本初等函数的性质，以及函数奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】
对于A 中，函数()sin f x x =，根据正弦函数的性质，可得函数()sin f x x =在[]1,1-上单调递增，不符合题意；
对于B 中，函数lg y x =，满足()()lg lg f x x x f x -=-==，所以函数lg y x =为偶函数，不符合题意；
对于C 中，函数()f x x =-，根据一次函数的性质，可得函数()f x x =-为奇函数，且在
[]1,1-上单调递减函数，符合题意；
对于D 中，函数()cos f x x =，满足()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以函数
()cos f x x =为偶函数，不符合题意.
故选：C.
2．B
解析：B 【分析】
利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ω
π
=即可求解.
【详解】
22
T π
π=
=， 故函数()2sin(2)33
f x x π
=-+的最小正周期为π，
故选：B
3．B
解析：B 【分析】
根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】
由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象，
可得2114
T
=-=，所以4T =，
又由
24w π=，解得2w π=. 故选：B.
4．B
解析：B 【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】
()
2
2
sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
故最大值为2，A 错
22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故关于3x π=对称，B 对
最小正周期为
22
π
π=，C 错 ()26
x k k Z π
π-
=∈解得()12
2k x k Z π
π=
+
∈，12
x π=和712x π
=都是零点，故D 错.
故选：B 【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T π
ω
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的
判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．
5．C
解析：C 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【详解】
解：由图象可得1A =，再根据3
513
4362
T =-=，可得2T =， 所以22
π
ωπ=
=， 再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯
+=∈，求得6
πϕ=-，
故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 故选：C.
6．B
解析：B 【分析】
根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302
︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.
7．A
解析：A 【分析】
逆用两角差的正切公式先求出tan12tan 72
1tan12tan 72
-+，即可求解.
【详解】 因为(
)tan 1272
-tan12
tan 72
1tan12tan 72
-=+
()tan 60=-=-
所以
()
1tan12tan 721
tan12tan 72tan 60
+==
=--.
故选：A
8．B
解析：B 【分析】
根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】
解：函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263
T ππ
πω
=== 函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低
点的距离是5，
5=，解得2A =.
故选：B. 【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或
()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ω
π
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇
偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．
9．B
解析：B 【分析】
已知条件平方后，利用sin 22sin cos ααα=，直接计算结果. 【详解】 ∵1sin cos 3αα+=
，平方得，)(21
sin cos 9
αα+=，
∴)()(2
2
1sin 2sin cos cos 9αααα++=，∴8
2sin cos 9
αα=-，∴8
sin29
α=-.
故选:B
10．D
解析：D 【分析】
根据4cos 5θ=-
，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入
1tan
21tan 2
θ
θ-+求解. 【详解】
因为θ为第三象限角， 所以
2
θ
可能为二､四象限角，
所以tan 32θ===-， 所以
1tan
1322131tan
2
θ
θ-+==--+. 故选：D.
11．D
解析：D 【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据诱导公式即可求解． 【详解】 解：因为1cos 2
α=
，322π
απ<<，
所以sin 2α==-，
所以sin(2)sin παα-=-=． 故选：D ．
12．B
解析：B 【分析】
先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【详解】 由图知：1A =，
74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，
当712x π=
时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212
k k Z π
ϕππ⨯
+=+∈， 所以()26
k k Z π
ϕπ=-
+∈，又因为2
π
ϕ<
，所以0,6
k π
ϕ==-
，
所以()cos 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，
所以只需要把()cos 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512
π个单位长度得
()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤
⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和
()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平
移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.
二、填空题
13．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数
解析：1 【分析】
利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+的形式：
()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π
8
x =
是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】
解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+， 其中
sin tan a ϕϕϕ=
=
=.
∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
成立， ∴π8x =
是f(x)的图象的对称轴，即π2,82
k k Z π
ϕπ⨯+=+∈, ∴,4
k k Z π
ϕπ=+
∈，
tan 1a ϕ==，
故答案为：1. 【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭
成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.
14．【分析】先由题意得到求出根据由两角差的余弦公式求出再由二倍角公式即可求出结果【详解】因为均为锐角所以又所以所以则故答案为：
解析：4
5
【分析】
先由题意得到，0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，()0,αβπ+∈，求出sin 10
α=
，
()cos αβ+=
()cos cos βαβα=+-，由两角差的余弦公式，求出cos β，再由二倍角公式，即可求出结果.
因为α、β均为锐角，所以0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()0,αβπ+∈，
又sin α=
()cos αβ+=
所以cos 10α==，()sin αβ+==， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++
=
=
， 则2
94
cos 22cos 1155
ββ=-=-=. 故答案为：
4
5
. 15．【分析】先由的最小正周期求出的值再由的最小正周期公式求的最小正周期【详解】的最小正周期为即则所以的最小正周期为故答案为：
解析：8
π
【分析】
先由()f x 的最小正周期，求出ω的值，再由()tan y x ωϕ=+的最小正周期公式求()g x 的最小正周期. 【详解】
()()2sin 03f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，即24ππω=，则8ω=
所以()tan 86g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期为8T π=
故答案为：
8
π
16．【分析】设利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长表示出矩形的面积为借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可【详解】解：如图：做的角平分线交于设则在中由正弦定理可知：则所以矩形农田的面
解析：(100002
【分析】
设EOA θ∠=，利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长，表示出矩形的面积为()
2sin 302sin S R R θθ=-⋅，借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可.
解：如图：做AOB ∠的角平分线交BE 于D ，设EOA θ∠=，则
()
22sin 30DE R θ=-，
150OFE ∠=，在OFE △中，由正弦定理可知：
sin sin150
EF R
θ= ，则2sin EF R θ= 所以矩形农田的面积为：
()22sin 302sin 4sin sin(30)S R R R θθθθ=-⋅=- 2
2
132sin 2cos 2322R R θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
()222sin 2603R R θ=+-
当(
)sin 260
1θ+=时，即15θ=时，S 有最大值为()2
23R
-
又100R =，所以面积的最大值为()
1000023-. 故答案为：()
1000023-.
【点睛】
本题考查在扇形中求矩形面积的最值，属于中档题. 思路点睛：
（1）在扇形中求矩形的面积，关键是设出合适的变量，一般情况下是以角度为变量； （2）合理的把长和宽放在三角形中，利用角度表示矩形的长和宽； （3）对三角函数合理变形，从而求出面积.
17．9【分析】根据扇形的弧长是6圆心角为2先求得半径再代入公式求解【详解】因为扇形的弧长是6圆心角为2所以所以扇形的面积为故答案为：9
解析：9 【分析】
根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式1
2
S lr =求解. 【详解】
因为扇形的弧长是6，圆心角为2， 所以632
l r α=
==，
所以扇形的面积为11
63922
S lr ==⨯⨯=， 故答案为：9.
18．【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论【详解】由得得∴又∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为的形式然后
解析：
12
π
【分析】 由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论． 【详解】
由2
1sin cos 2x x x =得1cos 21222
x x -+=，得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴26
x k π
π-
=，,212
k x k Z ππ
=
+∈， 又0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴12x π=． 故答案为：12
π
．
【点睛】
方法点睛：本题考查求解三角方程，解题方法：
（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为sin()x k ωϕ+=的形式，然后由正弦函数的定义得出结论．
（2）用换元法，如设sin x t =，先求得方程()0f t =的解0t ，然后再解方程0sin x t =．
19．【分析】将原式打开变形然后根据正切的差角公式求解【详解】即即即故答案为：【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用常见的变形形式有：（1）；（2） 解析：()+4
k k Z π
π-
∈
【分析】
将原式打开变形，然后根据正切的差角公式求解. 【详解】
()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2αβαβαβ-+=-+-=，
即tan tan 1tan tan βααβ-=+，
tan tan 11tan tan βα
αβ
-∴
=+，即()tan 1βα-=，
()π4k k Z βαπ∴-=
+∈，即()+4
k k Z π
αβπ-=-∈. 故答案为： ()+4
k k Z π
π-∈.
【点睛】
本题考查正切的和差角公式的运用，常见的变形形式有： （1）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+++⋅⋅； （2）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ-=---⋅⋅.
20．【分析】由图象求得再根据求得从而求得函数解析式再根据由函数图象的对称轴为直线x=t 求解【详解】由图象知：即则由五点法得所以即因为所以所以又因为所以函数图象的对称轴为直线x=t 则所以解得当k=0时t 取
解析：
12
π 【分析】 由图象
5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，求得ω，再根据506
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求得φ，从而求得函数解析式，再根据()()2f x f t x =-，由函数()f x 图象的对称轴为直线x =t 求解. 【详解】 由图象知：5556124
T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即T π=， 则22T
π
ω=
=， 由“五点法”得552sin 06
3f ππφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以
()53k k Z πφπ+=∈，即()53k k Z π
φπ=-∈， 因为2
π
φ<，
所以3
π
φ=
，
所以()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 又因为()()2f x f t x =-，
所以函数()f x 图象的对称轴为直线x =t ， 则()2sin 223f t t π⎛⎫
=+
=± ⎪⎝
⎭
，
所以23
t π
+()2
k k Z π
π=+
∈，
解得()212
k t k Z ππ
=
+∈， 当k =0时，t 取到了最小正值为12
π. 故答案为：12
π. 【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min
:2
f x f x b A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T
πω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.
三、解答题
21．（1）T π=，2ω=，3
π
ϕ=；（2）,412ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 【分析】
（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．
（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π
=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调
性． 【详解】
解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<的部分图象，
可得
32134123πππ
ω=-，解得2ω=，∴最小正周期22
T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+ 因为函数过13,112π⎛⎫
⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523
k k Z π
ϕπ=-
+∈ 因为2
π
ϕ<
，所以3
π
ϕ=
．所以()sin(2)3f x x π
=+
（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π
=+，在区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上，
所以2[3
6
x π
π
+
∈-
，
5]6π，令2632x πππ
-≤+≤，解得412
x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
求三角函数的解析式时，由2T
π
ω=
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
22．（1）2,6
3k k π
πππ⎡⎤++
⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；（2）23
+. 【分析】
（1）首先利用降幂公式和辅助角公式化简函数()1sin 226f x x π⎛
⎫=
-+ ⎪⎝
⎭，再求函数的单调递增区间；（2）先求角A ，再根据余弦定理和基本不等式求周长的最大值. 【详解】
（1）()2111sin cos (cos22)sin(2)2226
f x x x x x x x π
==-=-+， ∴()f x 在32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤+
≤+
上单调递增， ∴2[,]6
3
x k k π
π
ππ∈+
+
，k Z ∈ （2）()13sin(2)262f A A π=
-+=，得32262A k k Z ππ
π+=+∈，，即23
A k ππ=+，0A π<<，则23
A π
=
， 而2a =，由余弦定理知：2222cos 4a b c bc A =+-=，有
22
()()444b c b c bc ++=+≤+
，所以03
b c <+≤当且仅当b c =时等号成立， ∵周长2l a b c b c =++=++，
∴周长最大值为2+【点睛】
思路点睛：已知一边及一边所对角求解三角形面积或周长的最大值时，可利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求所需的两边和或乘积的最值，代入三角形周长或面积公式，求得结果.
23．（1）2；（2）12
±. 【分析】
（1）先代入0m =，然后对sin x 正负讨论，化简出函数解析式，然后再求出最大值即可，
（2）根据x 的范围即可化简函数解析式，然后再根据x 的范围即可判断函数什么时候取得最小值，进而可以求出m 的值． 【详解】
解：（1）0m =，则函数2
22()1sin cos |sin |33
f x x x x =++-，
当sin [0x ∈，1]时，2()1cos f x x =+， 当cos 1x =时，max ()2f x =，
当sin [1x ∈-，0)时，22
44()1sin cos 1sin 1sin 33f x x x x x =++=++-
2222
(sin )239
x =--+，
所以当sin 0x =时，max ()2f x =， 综上，函数()f x 的最大值为2； （2）当02
x
π
时，22
22()1sin cos (2)sin 33f x x x m x =++-+
222212sin cos sin 2sin 2m x x x m x =-+=--+
224(sin )2x m m =-+++，
所以当sin 1x =时，2
min 1()212
f x m =-+=
， 所以2
14m =
，即12
m =±， 故m 的值为1
2
±． 【点睛】
关键点点睛：本题考查了三角函数求最值以及含参数求最小值的问题考查了学生的运算能力，属于基础题．解题关键是对sin x 按正负分类讨论，去掉绝对值符号后利用三角函数性质求最值．
24．（1）2
2
π
β
απ<-
<，02
2
α
π
β<
-<
；（2 【分析】 （1）由,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
以及不等式知识求出,24βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
,242αππβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
,再根据1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
0,22α
πβ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
． （2）根据cos cos 2
22αβ
βααβ⎡⎤
+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式可求得结果.
【详解】 （1）,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
,242α
ππ⎛⎫∴
∈ ⎪⎝⎭，0,24βπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
， ,224α
ππ⎛⎫
∴-
∈-- ⎪⎝⎭
，,024βπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，
,24β
παπ⎛⎫∴-
∈ ⎪⎝⎭，,242α
ππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
, 又1cos 29βα⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23
αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，
所以
2
2
π
β
απ<-
<，02
2
α
π
β<
-<
.
（2）cos
cos 2
22αβ
βααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪
⎝
⎭且,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
sin 29βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 又
2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
，
cos 23αβ⎛⎫∴-==
⎪⎝⎭，
12cos
293αβ
+∴=-+=
【点睛】
关键点点睛：将所求角拆成两个已知角进行求解是解题关键.
25．an 2α＝43，sin ()4πα-
＝10
-
. 【分析】 先由tan α＝
12可得tan 2α＝43，再由sin cos αα
＝1
2，结合角的范围可得sin α和cos α的值，再由in ()4
π
α-的展开求解即可.
【详解】
∵tan α＝12，∴tan 2α＝22tan 1tan a a -＝
1
22114
⨯
-＝43
. 且sin cos αα
＝1
2，即cos α＝2sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1.
而α∈(0,)2
π
，∴sin α
，cos α
. ∴sin ()4
π
α-
＝sin αcos
4π－cos αsin 4π
×2
×2
＝－10. 26．（1）512
A π=或1112A π=；（2）,,422k k k πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】
（1
）化简得())6
f x x π
=-
6A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
（2）先求出函数()g x 的解析式，再求函数的单调递增区间. 【详解】
（1
）())6
f x x π
=-
）
所以26A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即sin 6A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
又0A π<<，所以56
6
6
A π
π
π
-<-
<
， 所以6
4
A π
π
-=
或
3
4
π， 所以512
A π=或1112A π
= （2）
(
)2,6f x x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
将函数()y f x =的图像上所有点向左平移
3
π
个单位得到
)])362y x x πππ
=+-=+，再把所有点的横坐标缩短为原来的1
2
，纵坐标不
变，得到函数()442g x x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭的图像，
令242k x k πππ-+≤≤，k Z ∈, 所以4
22
k k x π
ππ
-
+
≤≤， 所以递增区间为,,422k k k πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣⎦
Z . 【点睛】
方法点睛：求函数sin()y A wx h φ=++的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.。