陕西省西安市高新一中2018-2019学年高二数学上学期期中试卷 文(含解析)

1
2018—2019学年陕西省西安市高新一
中高二(上)期中数学试题(文科）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．抛物线
的焦点坐标为
A ．
B ．
C ．
D ．
2．圆
的圆心到直线
的距离为1，则
A ．
B ．
C ．
D ．2
3．已知直线的参数方程是，则
直线的斜率为
A ．
B ．
C ．1
D ．
4．已知椭圆：的焦距为4，则m 等
于
A ．4
B ．8
C ．4或8
D ．以上均不对 5．已知向量
，则k 等于
A ．
B ．12
C ．
D ．6
只
装
订
不
密
封
准考证号 考场号 座位号
2
6．已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，
2cos
,08,()6
log ,8,
x
x f x x x π⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩,那么=-))16((f f A ．12- B ．32- C ．12 D ．3
2
7．函数()()2ln 1f x x =+的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左，右焦点为
12,F F ，离心率为e . P 是椭圆上一点,满足212PF F F ⊥，点
Q 在线段1PF 上,且12FQ QP =.若120FP F Q ⋅=,则2
e =
A ．21-
B ．2-2
C ．2-3
D ．52-
二、填空题
9．已知双曲线22
1169
x y -=的左、
右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 的直线l 交双曲线的右支于A 、B 两点，若
||5AB =,则1ABF ∆的周长为
10．若直线与直线平
行,那么实数m 的值为______．
11．圆心在
半径为1的圆的极坐标方程是
______．
12．在
中，内角所对应的边分别为,若
，
，则
的面积为_________.
13．长为2的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上滑动，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是
三、解答题
3
14．已知正项等比数列
的前n 项和为,且
．
求数列的通项公式； 若，求数列
的前n 项和．
15．选修
:坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系
中，曲线的参数方程为
，直线的方程是
，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴
建立极坐标系。

(Ⅰ） 求直线和圆的极坐标方程； (Ⅱ) 已知射线(其中)与圆交于
，射线与直线交于点， 若
，求的值。

16．已知函数()2π22cos 1(0)
6f x sin x x ωωω⎛
⎫=-+-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π．
(1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间．
（2）求()f x 在区间7π0,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值．
17．椭圆C ：
的左、右焦点分别为
、，离心率为,长轴长为4．
求椭圆C 的方程；
设不过原点O 的直线l 与椭圆C 相较于P 、Q 两点，
满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求
面
积的取值范围．
18．数列
满足，求
的值．
19．如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt △FHE ，H 是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效
果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别
落在线段BC，AD上．已知AB＝20米,AD ＝米，记∠
BHE ＝．
（1）试将污水净化管道的长度L 表示为的函数,并
写出定义域；
（2）当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管
道的长度L．
4
2018—2019学年陕西省西安市高新一中
高二(上)期中数学试题（文科）
数学答案
参考答案
1．D
【解析】因为抛物线x2=4y,所以p=2,
所以抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1)．
故选D．
2．A
【解析】试题分析：由配方得
，所以圆心为,因为圆
的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A。

【考点】圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离。

已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
3．D
【解析】
【分析】
由（为参数)得（为参数）,将两式相加，得直线的普通方程，得到直线斜率为
【详解】
根据题意，直线l 的参数方程是，其普通方程为，即，直线l的斜率为；故选：D．
【点睛】
消去参数的方法一般有三种：
（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数
（2）利用三角恒等式消去参数
（3）根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去参数
4．C
【解析】
【分析】
由椭圆的焦距为4,即，所以，又因为椭圆焦点位置有在轴和在轴上两种情况，所以分类讨论得或，得或【详解】
焦点在x 轴上时： ,解得：
焦点在y 轴上时，解得：故选：C．
【点睛】
求椭圆的标准方程时,要先定形(焦点的位置）,再定量计算
5．B
【解析】
【分析】
由题,，，所以
，解得
【详解】
因为，，，
，解得：
，故选：B ．
【点睛】
坐标法求向量的数量积:已知，,
则
6．C
【解析】
试题分析:由题意得，416log )16()16(2-=-=-=-f f ,
故2
1
32cos )4()4())16((=-=-=-=-πf f f f ，故选C ． 考点：分段函数的应用。

7．B
【解析】函数满足()()f x f x -=，所以是偶函数，函数关于y 轴对称，且()00f =，故选B 。

8．C
【解析】由题可得()()212,0,,0,,b F c F c P c a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭则
22221222,,,,2,,3333c b c b b Q F Q F P c a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2224
2122242,2,03333c b b c b F Q F P c a a a ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅=-
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,结合222b a c =-化简得42410e e -+=,解得223e =±，
01e <<，223e ∴=-，故本题选.C
9．26
【解析】
试题分析：根据题意，双曲线图象如图：
｜AF1|-|AF2｜=2a=8 ①
｜BF1|—｜BF2｜=2a=8 ②
而|AB|=5,①+②,得：｜AF1|+|BF2｜=21，∴周长为21+5=26
考点：本题考查了双曲线的定义
点评：此类几何问题常常通过对定义的考查，求出周长,属于基础题．
10．0或
【解析】
因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：（3m－1)x －my－1＝0平行，则斜率相等，或者斜率不存在，m＝0,或者－＝，∴m＝．
11．
【解析】
【分析】
由所求圆的圆心在，半径为1,得圆的标准方程为
，即,由，，且得：
【详解】
由题意，圆的标准方程是：，
展开得：,
由,得：
，
故答案为：．
【点睛】
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式，直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难些，常通过变形，进行整体代换
12．
【解析】分析：由,，利用余弦定
理可得
，结合三角形的面积公式进行求解即可。

详解：因为
，
，
所以由余弦定理得：
，即，
因此
的面积为
,故答案为
.
点睛:本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题。

对余弦定理一定要熟记两种形式：
（1)；(2)，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的
三角函数值,以便在解题中直接应用.
13．4
3
【解析】
试题分析：如图2AB =，要使AB 中点M 到y 轴距离最小，则||||BF AE +最小,即||||AF BF +最小，而在ABF ∆中，||||||AF BF AB +≥，,,A B F 共线时取等号，即当线段
AB 过焦点时AB 中点M 到y 轴距离最小，最小值为
||||113
12444
AE BF +-=-=.
x
y
–1
1
–1
1
F
E
F
O A B
考点：抛物线的定义与性质. 14．（1）; （2)。

【解析】 【分析】
（1）由得，两式相减得，又因为,，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列,
（2），考虑使用分组转换求和法求数列的前n项和
所以
．
【详解】
时
得，，
又，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
；
,
．
【点睛】
已知，求的步骤：
1。

当时，
2。

当时，
3.对时的情况进行检验，若适合的通项公式则可以合并,若不适合则写成分段形式
15．(1），.
（2).
【解析】
【分析】
将代入分别求出直线和圆的极坐标方程
解得，,然后代入求解
【详解】
(Ⅰ）将代入直线的直角坐标方程，
得,即.
圆的直角坐标方程为,所以圆的极坐
标方程为
（Ⅱ)由题意得
则,解得，又因为，所以
【点睛】
本题考查了直线方程与曲线方程的普通方程转化为极坐标方程，以及直线和曲线的位置关系，只要按照法则代入即可求出结果，在求解长度时运用参量计算较为简单.
16．（1）1
ω=，单调递增区间
ππ
π,π
36
k k
⎡⎤
-++
⎢⎥
⎣⎦
, ()
k Z
∈;(2）最大值为1,最小值为3
-
【解析】试题分析：
（1）利用降幂公式降幂后，再由两角差的正弦公式和两角和的正弦公式化函数为一个三角函数形式，然后利用周期公式可得ω,结合正弦函数的单调性可得增区间；
(2）由（1)可得函数在区间
7
0,
12
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上的单调性，从而可得最大值和最小值。

试题解析：
（1）∵()2
π
sin22cos1
6
f x x x
ωω
⎛⎫
=-+-
⎪
⎝⎭
ππ
sin2cos cos2sin cos2
66
x x x
ωωω
=-+
31
cos2
22
x x
ωω
=+
π
sin2
6
x
ω
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
∴2π
π2T ω
=
=， ∴1ω=． 在πππ
2π22π2
62
k x k -+≤+
≤+中， 即ππ|ππ36x k x k ⎧⎫
-+≤≤+⎨⎬⎩⎭为单调递增区间．
（2）由（1)得()π26f x sin x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
∵7π
012
x ≤≤
， ∴ππ4π2663
x ≤+≤， ∴当ππ262x +=时，即π
6
x =时， ()max 1f x =，
当π4π263x +
=时，即7π12x =时, ()min 32
f x =-． 17．（1)； (2). 【解析】 【分析】
（1）根据离心率和长轴,求出a ，b 即可；
（2)设出直线的方程,将直线方程与椭圆方程联立,消去x 得到关于y 的二次方程，利用韦达定理得到关于两
个交点的坐标的关系，将直线OP,OQ 的斜率用坐标表示,据已知三个斜率成等比数列,列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k 的值,利用判别式大于0得到m 的范
围,将△OPQ 面包用m 表示,求出面积的范围．
【详解】
由得，，
椭圆C 的方程为:
由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0,故可设直
线l 的方程为：，，，
由,消去y
得:
则
且，，
故,因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列,
所以,即
，又，
所以，即，
由于直线OP，OQ 的斜率存在，且，得
,
设d为点O到直线l 的距离，则
,
所以的取值范围是
【点睛】
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑：利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数取值范围；利用已知参数范围求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；利用求函数值域得方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围
18．。

【解析】
【分析】
由题意可得=，运用累乘法得到a n,以及数列的求和方法：错位相减法，计算可得所求值．【详解】
数列满足,
可得,
即有
,
设
，
，
两式相减可得
，
化简可得，
则．
【点睛】
已知数列的递推关系求通项公式时，出现
，用累乘法求通项公式;数列求和时,数列的通项公式形如，用错位相减法求和19．（1），; （2）
或时，L 取得最大值为米．。

【解析】
【分析】
（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t,根据函数 L=在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当时，即或时，L取得最大值为米．
【详解】
由题意可得，,，由于，，
所以，，
，
即，
设，则，由于，
由于在上是单调减函数,
当时，即或时，L 取得最大值为
米．
【点睛】
三角函数值域得不同求法:
1。

利用和的值域直接求
2。

把所有的三角函数式变换成
的形式求值域
3。

通过换元,转化成其他类型函数求值域
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them.
I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。