学高中数学第二章函数函数的奇偶性与简单的幂函数函数的奇偶性教案北师大版必修第一册

第二章函数
第４．１节函数的奇偶性
函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;
奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

一．教学目标：
１．理解函数的奇偶性及其几何意义；
２．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
３．学会判断函数的奇偶性；
二. 核心素养
１．数学抽象：奇函数，偶函数的概念理解
２．逻辑推理：通部分函数图像的特性，让学生总结它们的共同特点，所具有的共性，从而引出奇函数，偶函数的概念，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质.
３．数学运算：判断函数的奇偶性
４．直观想象：通过奇偶函数的性质，可以直观想象函数的图像的大体画法；同学们也可以通过某函数图像，也可以直观的分析函数的奇偶性
５．数学建模:本节内容主要讲了奇偶函数，最主要体现的函数图像的对称性，体验数学研究严谨性，感受数学对称美
教学重点
函数的奇偶性及其几何意义
教学难点
判断函数的奇偶性的方法与格式
PPT
１．知识引入
例１画出函数f （x ）=x ３的图象，并观察它的对称性.
解 先列表（如表２—２）,然后描点、连线，得到函数f （x ）=x ３的图象（如图２ — １４）.
（如表２—２）
因为对任意的x ，都有,（—x ）３=—x ３,即f （—x ）=—f （x ）
所以函数 f （x ）=x ３的图象关于原点对称.
我们还知道，
对任意的x ，都有 （—x ）２ =x ２.
因此,对函数g （x ） =x ２来说，总有g （—x ） =g （x ），
所以函数g （x ） =x ２的图象关于y 轴对称（如图２—１５） x ... —２ —１
—１/
２
0 １/２ １ ２ ... f （x ）=x
３ ...
—8 —１ —１/8 0 １/8 １ 8 ...
２． 奇函数，偶函数的概念概述： 奇函数：一般地，设函数f （x ）的定义域是A ,如果当x A ∈时，有 x A -∈，且f （—x ）=—f （x ），那么称函数f （x ）奇函数.奇函数的图象关于原点对称。

偶函数： 设函数f （x ）的定义域是A ,如果当x A ∈时，有x A -∈,且f （—x ）=f （x ）,那么称函数f （x ）偶函数.偶函数的图象关于y 轴对称
1. 当函数f （x ）是奇函数或偶函数时，称 f （x ） 具有奇偶性.奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称，如（—a,a ）或[—a,a]
２ 在研究函数时，如果知道它是奇函数或偶函数，就可以先 研究它在非负区间上的性质，然后再利用对称性便可知它在非 正区间上的性质，从而减少工作量.
３．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
例２根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（１） f （x ） =—２x ５
（２）g （x ）=x ４+２； （３） 21()h x x =； ⑷ 1()2
m x x =+. 解（１）依题意知函数f （x ）=２x ５的定义域为R,且对任意的x R ∈,有
f （—x ） = —２（—x ）５=２x ５，—f （x ） =—（—２x ５）=２x ５
即 f （—x ） = —f （x ）.
重点强调
所以函数f （x ）=—２x ５是奇函数.
（２）依题意知函数g （x ）=x ４+２的定义域为R,且对任意的 x R ∈,有
g （—x ）=（—x ）４十２=x ４十２,
即 g （—x ）=g （x ）.
所以函数g （x ）=x ４十２是偶函数.
（３） 依题意知函数2
1()h x x =的定义域为 {|0}x x ≠，且对任意的{|0}x x x ∈≠,有 2211()()h x x x
-==- h （—x ）=h （x ）
所以函数 21()h x x =
是偶函数. (4) 根据定义知，如果一个函数是奇函数或偶函数，它的定义域是关于原点对称的.而函数1()2m x x =+ 的定义域为{|2}x x ≠-,它不关于原点对称，所以函数1()2
m x x =+既不 是奇函数，也不
题型一：奇偶性的判断
１．判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2
432)(x x x f += ⑶、1
)(2
3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=
解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数
⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数
２：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x
x x f 的奇偶性。

.)(),()()
()()()(,0,0)
()()(,0,0)
(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==
题型二：利用定义解题
1. 已知函数1().21
x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =___ 12_____ 2. 若函数f （x ）=x ２+（m —１）x 在区间[２n —１,n]为偶函数，则m+n=__４/３_
型三：利用奇偶性求函数值
１．已知8)(3
5-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f —２6 . ２．已知
42()6g x ax bx =+-且(3)27g =，那么(3)g -= ２7
题型四：利用图像解题
１．设奇函数f（x）的定义域为[—５,５].若当x∈[0,５]时, f（x）的图
-⋃
象如右图,则不等式()0<x f的解是(2,0)(2,5)
(-∞上是减函数，且f（２）=0，则使得f（x）<0的x ２．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在]0,
的取值范围是（ D ）
Ａ．（—,２）Ｂ．（２,+）Ｃ．（—,—２）（２,+）Ｄ．（—２,２）
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．。