2018-2019学年天津市和平区九年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符台题目要求.
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2分）已知点(,1)A a -与(2,)B b 是关于原点O 的对称点，则( )
A ．2a =-，1b =-
B ．2a =-，1b =
C ．2a =，1b =-
D ．2a =，1b =
3．（2分）如果O 的半径为10cm ，点P 到圆心的距离为8cm ，则点P 和O 的
位置关系是( )
A ．点P 在O 内
B ．点P 在O 上
C ．点P 在O 外
D ．不能确定
4．（2分）抛物线①22y x =；②22(1)5y x =+-；③23(1)y x =+；④2(1)5y x =+-．其
中，形状相同的是( )
A ．①②
B ．②③④
C ．②④
D ．①④
5．（2分）用配方法将二次函数289y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为(
)
A ．2(4)7y x =-+
B ．2(4)25y x =--
C ．2(4)7y x =++
D ．2(4)25y x =+-
6．（2分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设
该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )
A ．250(1)182x +=
B ．25050(1)50(1)182x x ++++=
C ．50(12)182x +=
D ．25050(1)50(12)182x x ++++=
7．（2分）如图，Rt ABC ∆有一外接圆， 其中90B ∠=︒，AB BC >，今欲在BC
上找一点P ，使得BP CP =，下是甲、 乙两人的作法：
甲：①取AB 的中点D ：②过点D 作直线AC 的平行线， 交BC 于点P ，则点P
即为所求，
乙：①取AC 的中点E ；②过点E 作直线AB 的平行线， 交BC 于点P ，则点P
即为所求，
对于甲、 乙两人的作法， 下列判断正确的是( )
A ． 两人皆正确
B ． 两人皆错误
C ． 甲正确， 乙错误
D ． 甲错误， 乙正确
8．（2分）若关于x 的一元二次方程(1)0x x ax ++=有两个相等的实数根， 则实
数a 的值为( )
A ．1-
B ． 1
C ．2-或 2
D ．3-或 1
9．（2分）已知1a <-，点1(1,)a y -，2(,)a y ，3(1,)a y +都在函数2y x =的图象上，
则( )
A ．123y y y <<
B ．132y y y <<
C ．321y y y <<
D ．213y y y <<
10．（2分）已知平面直角坐标系中有两个二次函数(1)(7)
y a x x =++及(1)(15)y b x x =+-的图象， 将二次函数(1)(15)y b x x =+-的图象依下列哪一种平移方式后， 会使得此两图象对称轴重叠( )
A ． 向左平移 4 个单位长度
B ． 向右平移 4 个单位长度
C ． 向左平移 11 个单位长度
D ． 向右平移 11 个单位长度
11．（2分）关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21(x a =，m ，b 均为
常数，0)a ≠，则方程2(2)0a x m b +++=的解是( )
A ．10x =，23x =
B ．14x =-，21x =-
C ．14x =-，22
x =
D ．14x =，21x =
12．（2分）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,1)，对称轴为直线1x =-，
下列结论：
①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+>；⑤1c a ->． 其中，正确结论的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在题中的
横线上.
13．（3分）抛物线21(1)22
y x =-+的顶点坐标是 ． 14．（3分）如图，AB 是O 的弦，若110AOB ∠=︒，则A ∠的大小为 （度
)．
15．（3分）已知点P 的坐标为(2,3)-，将其绕原点顺时针旋转90︒后得到的点的
坐标是 ．
16．（3分）生物兴趣小组的同学， 将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一
件， 全组共赠送了 210 件， 则全组共有 名同学 ．
17．（3分）()I 圆中最长的弦是 ；
（Ⅱ） 如图①，AB 是O 的弦，8AB =，点C 是O 上的一个动点， 且
45ACB ∠=︒，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点， 则MN 长度的最大值是 ；
（Ⅲ） 如图②，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，4AB =，D 是边BC 上
的一个动点， 以AD 为直径画O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．
18．（3分）如图， 平行四边形钢板上有一圆洞， 现需将该钢板 （阴 影部分）
分成面积相等的两部分， 如果限定只能用一条直线， 能否做到： （选 填“能”或“不能” )． 若填“能”， 请说明这条直线过哪两个点；若填“不能”， 请简要说明理由： ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证
明过程。

19．（8分）解下列方程
()(3)30I x x x -+-=
2()3510II x x -+=
20．（8分）如图， 在O 中，AB BC =，60ACB ∠=︒．
（Ⅰ） 求证：ABC ∆是等边三角形；
（Ⅱ） 求AOC ∠的大小 ．
21．（10分）已知AB 是O 的直径， 弦CD AB ⊥于点E ．
()I 如图①， 若8CD =，2BE =，求O 的半径；
（Ⅱ） 如图②， 点G 是AC 上一点，AG 的延长线与DC 的延长线交于点F ，
求证：AGD FGC ∠=∠．
22．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m 长的篱笆围成
一个面积为250m 的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．
23．（10分）某商场将每台进价为 3000 元的彩电以 3900 元的销售价售出， 每
天可销售出 6 台， 这种彩电每台降价100(x x 为整数） 元， 每天可以多销售出3x 台 ．
()I 降价后每台彩电的利润是 元， 每天销售彩电 台， 设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元， 试写出y 与x 之间的函数关系式， 并写出x 的取值范围 （保 证商家不亏本） ；
（Ⅱ） 销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？
（Ⅲ） 每台彩电的销售价是多少时， 彩电的销售量和营业额均较高？
24．（10分）已知OBF ∆是直角三角形，90BFO ∠=︒，30BOF ∠=︒，AOB ∆是
等边三角形，4OB =，点A 与点F 位于直线OB 的异侧．
()I 如图①，求BF 及OF 的长；
（Ⅱ）点P 是直线OF 上的一个动点，连接AP ，以点A 为旋转中心，把AOP ∆逆
时针旋转，使边AO 与AB 重合，得ABD ∆．
①如图②，求在点P 运动过程中，使点D 落在线段OF 上时OP 的长；
②求在点P 运动过程中，使点P 落在线段OF 上，且OPD ∆的面积等于
4
时OP 的长（直接写出结果即可）．
25．（10分）如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线232
y x bx c =
++与x 轴交于(1,0)A -，(2,0)B 两点， 与y 轴交于点C ．
（Ⅰ） 求该抛物线的解析式及点C 的坐标； （Ⅱ） 直线2y x =--与该抛物线在第四象限内交于点D ，与x 轴交于点F ，连
接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，求证：AGF CGD ∆≅∆； （Ⅲ） 直线(0)y m m =>与该抛物线的交点为M ，N （点M 在点N 的左侧） ，
点M 关于y 轴的对称点为点M '，点H 的坐标为(1,0)，若四边形NHOM '的面积为53
，求点H 到OM '的距离d ．
2018-2019学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符台题目要求.
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、不是中心对称图形，故此选项错误；
B 、不是中心对称图形，故此选项错误；
C 、不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D ．
2．（2分）已知点(,1)A a -与(2,)B b 是关于原点O 的对称点，则( )
A ．2a =-，1b =-
B ．2a =-，1b =
C ．2a =，1b =-
D ．2a =，1b =
【解答】解：点(,1)A a -与点(2,)B b 是关于原点O 的对称点，
2a ∴=-，1b =，
故选：B ．
3．（2分）如果O 的半径为10cm ，点P 到圆心的距离为8cm ，则点P 和O 的
位置关系是( )
A ．点P 在O 内
B ．点P 在O 上
C ．点P 在O 外
D ．不能确定
【解答】解：点P 到圆心的距离为8cm ，小于O 的半径10cm ， ∴点P 在O 内．故选A ．
4．（2分）抛物线①22y x =；②22(1)5y x =+-；③23(1)y x =+；④2(1)5y x =+-．其
中，形状相同的是( )
A ．①②
B ．②③④
C ．②④
D ．①④
【解答】解：22y x =的二次项系数是2，22(1)5y x =+-的二次项系数是2，
23(1)y x =+的二次项系数是3，2(1)5y x =+-的二次项系数是1，
22y x ∴=与22(1)5y x =+-的形状相同，
故选：A ．
5．（2分）用配方法将二次函数289y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为(
)
A ．2(4)7y x =-+
B ．2(4)25y x =--
C ．2(4)7y x =++
D ．2(4)25y x =+-
【解答】解：289y x x =--
281625x x =-+-
2(4)25x =--．
故选：B ．
6．（2分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设
该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )
A ．250(1)182x +=
B ．25050(1)50(1)182x x ++++=
C ．50(12)182x +=
D ．25050(1)50(12)182x x ++++=
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50(1)x +、250(1)x +，
25050(1)50(1)182x x ∴++++=．
故选：B ．
7．（2分）如图，Rt ABC ∆有一外接圆， 其中90B ∠=︒，AB BC >，今欲在BC
上找一点P ，使得BP CP =，下是甲、 乙两人的作法：
甲：①取AB 的中点D ：②过点D 作直线AC 的平行线， 交BC 于点P ，则点P
即为所求，
乙：①取AC 的中点E ；②过点E 作直线AB 的平行线， 交BC 于点P ，则点P
即为所求，
对于甲、 乙两人的作法， 下列判断正确的是( )
A ． 两人皆正确
B ． 两人皆错误
C ． 甲正确， 乙错误
D ． 甲错误， 乙正确
【解答】解： 如图， 甲的作法错误 ． 乙的作法正确 ．
AE EC =，AC 是直径，
∴点E 是圆心，
EP AB ⊥，AB BC ⊥，
EP BC ∴⊥，
∴PB PC =，
故选：D ．
8．（2分）若关于x 的一元二次方程(1)0x x ax ++=有两个相等的实数根， 则实
数a 的值为( )
A ．1-
B ． 1
C ．2-或 2
D ．3-或 1
【解答】解： 原方程可变形为2(1)0x a x ++=．
该方程有两个相等的实数根，
∴△2(1)4100a =+-⨯⨯=，
解得：1a =-．
故选：A ．
9．（2分）已知1a <-，点1(1,)a y -，2(,)a y ，3(1,)a y +都在函数2y x =的图象上，
则( )
A ．123y y y <<
B ．132y y y <<
C ．321y y y <<
D ．213y y y <<
【解答】解：1a <-，
110a a a ∴-<<+<，
即点1(1,)a y -，2(,)a y ，3(1,)a y +都在y 轴左侧，
2y x =的图象在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，
321y y y ∴<<．
故选：C ．
10．（2分）已知平面直角坐标系中有两个二次函数(1)(7)
y a x x =++及(1)(15)y b x x =+-的图象， 将二次函数(1)(15)y b x x =+-的图象依下列哪一种平移方式后， 会使得此两图象对称轴重叠( )
A ． 向左平移 4 个单位长度
B ． 向右平移 4 个单位长度
C ． 向左平移 11 个单位长度
D ． 向右平移 11 个单位长度 【解答】解：2(1)(7)8y a x x a x a x
=++=++，2(1)(15)1415y b x x bx bx b =+-=--，
∴二次函数(1)(7)y a x x =++的对称轴为直线4x =-，
二次函数(1)(15)y b x x =+-的对称轴为直线7x =，
4711--=-，
∴将二次函数(1)(15)y b x x =+-的图形向左平移 11 个单位， 两图形的对称轴
重叠 ．
故选：C ．
11．（2分）关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21(x a =，m ，b 均为
常数，0)a ≠，则方程2(2)0a x m b +++=的解是( )
A ．10x =，23x =
B ．14x =-，21x =-
C ．14x =-，22x =
D ．14x =，21x =
【解答】解：关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =，(a ，m ，
b 均为常数，0)a ≠，
∴把2x +当做第一个方程中的x ，则方程2(2)0a x m b +++=可变形为
2[(2)]0a x m b +++=
则22x +=-或21x +=，
解得1224x =--=-，2121x =-=-．
∴方程2(2)0a x m b +++=的解是14x =-，21x =-，
故选：B ．
12．（2分）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,1)，对称轴为直线1x =-，
下列结论：
①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+>；⑤1c a ->． 其中，正确结论的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解答】解：①由图象可知：1x =时，0y <，
0y a b c ∴=++<，故①正确；
②由图象可知1x =-时，1y >，
1y a b c ∴=-+>，故②正确； ③由图象可知：02b a
<， 0ab ∴>，
又1c =，
0abc ∴>，故③正确；
④由图象可知：(0,0)关于1x =-对称点为(2,0)-
∴令2x =-，0y >，
420a b c ∴-+>，故④错误；
⑤由图象可知：0a <，1c =，
11c a a ∴-=->，故⑤正确；
故选：C ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在题中的
横线上.
13．（3分）抛物线21(1)22
y x =-+的顶点坐标是 (1,2) ． 【解答】解： 因为21(1)22
y x =-+是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知， 顶点坐标为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
14．（3分）如图，AB 是O 的弦，若110AOB ∠=︒，则A ∠的大小为 35 （度
)．
【解答】解：OA OB =，
A B ∴∠=∠，
110AOB ∠=︒，
180110352
A ︒-︒∴∠==︒， 故答案为：35．
15．（3分）已知点P 的坐标为(2,3)-，将其绕原点顺时针旋转90︒后得到的点的
坐标是 (3,2) ．
【解答】解： 如图，P 的坐标为(2,3)-，绕原点顺时针旋转90︒得到的点Q ， ∴根据旋转过程知道Q 的坐标为(3,2)．
故答案为：(3,2)．
16．（3分）生物兴趣小组的同学， 将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一
件， 全组共赠送了 210 件， 则全组共有 15 名同学 ．
【解答】解： 设全组共有x 名同学，
(1)210x x -=，
解得，15x =或14x =-（舍 去）
故答案为： 15 ．
17．（3分）()I 圆中最长的弦是 直径 ；
（Ⅱ） 如图①，AB 是O 的弦，8AB =，点C 是O 上的一个动点， 且
45ACB ∠=︒，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点， 则MN 长度的最大值是 ；
（Ⅲ） 如图②，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，4AB =，D 是边BC 上
的一个动点， 以AD 为直径画O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．
【解答】解： （Ⅰ） 直径是圆中最长的弦，
故答案为： 直径；
（Ⅱ） 如图 1 ，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，
12
MN BC ∴=， ∴当BC 取得最大值时，MN 就取得最大值， 当BC 是直径时，BC 最大， 连接BO 并延长交O 于点C '，连接AC '，
BC '是O 的直径，
90BAC ∴∠'=︒．
45ACB ∠=︒，8AB =，
45AC B ∴∠'=︒，
sin 452
AB BC ∴'===︒
MN ∴=最大．
故答案为：
（Ⅲ） 由垂线段的性质可知， 当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时， 直径AD 最
短，
如图 2，
连接OE ，OF ，过O 点作OH EF ⊥，垂足为H ，
在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，4AB =，
AD BD ∴== 由圆周角定理可知1602
EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒，
∴在Rt EOH ∆中，sin EH OE EOH =∠==
由垂径定理可知2EF EH ==
18．（3分）如图， 平行四边形钢板上有一圆洞， 现需将该钢板 （阴 影部分）
分成面积相等的两部分， 如果限定只能用一条直线， 能否做到： 能 （选 填“能”或“不能” )． 若填“能”， 请说明这条直线过哪两个点；若填“不能”， 请简要说明理由： ．
【解答】解： 作一条过圆心与平行四边形对角线交点的直线即把该图形平分， 如
下图
故答案为： 能；对角线的交点和圆心 ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证
明过程。

19．（8分）解下列方程
()(3)30I x x x -+-=
2()3510II x x -+=
【解答】解：()(3)30I x x x -+-=，
(3)(1)0x x -+=，
30x -=或10x +=，
解得：13x =，21x =-．
2()3510II x x -+=，
3a =，5b =-，1c =，△2(5)43113=--⨯⨯=，
55236
x ±∴==⨯，
1x ∴=2x =， 20．（8分）如图， 在O 中，AB BC =，60ACB ∠=︒．
（Ⅰ） 求证：ABC ∆是等边三角形；
（Ⅱ） 求AOC ∠的大小 ．
【解答】（Ⅰ） 证明：AB BC =，
AB BC ∴=，又60ACB ∠=︒，
ABC ∴∆是等边三角形；
（Ⅱ）ABC ∆是等边三角形，
60ABC ∴∠=︒，
2120AOC ABC ∴∠=∠=︒．
21．（10分）已知AB 是O 的直径， 弦CD AB ⊥于点E ．
()I 如图①， 若8CD =，2BE =，求O 的半径；
（Ⅱ） 如图②， 点G 是AC 上一点，AG 的延长线与DC 的延长线交于点F ，
求证：AGD FGC ∠=∠．
【解答】()I 解： 如图①， 连接OD ，
设O 的半径为r ，则2OE r =-， AB 是O 的直径， 弦CD AB ⊥，
142
DE DC ∴==， 在Rt OED ∆中，222OD OE DE =+，即222(2)4r r =-+，
解得，5r =，即O 的半径为 5 ；
（Ⅱ） 证明： 如图②， 连接AD ， AB 是O 的直径， 弦CD AB ⊥，
∴AD AC =，
ADC AGD ∴∠=∠，
四边形ADCG 是圆内接四边形，
ADC FGC ∴∠=∠，
FGC AGD ∴∠=∠．
22．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m 长的篱笆围成
一个面积为250m 的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．
【解答】解：设矩形与墙平行的一边长为xm ， 则另一边长为1(20)2
x m -． 根据题意，得1(20)502
x x -=， 解方程，得10x =．
当10x =时，1(20)52
x -=． 答：矩形的长为10m ，宽为5m ．
23．（10分）某商场将每台进价为 3000 元的彩电以 3900 元的销售价售出， 每
天可销售出 6 台， 这种彩电每台降价100(x x 为整数） 元， 每天可以多销售出3x 台 ．
()I 降价后每台彩电的利润是 (39001003000)x -- 元，
每天销售彩电 台， 设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元， 试写出y 与x 之间的函数关系
式， 并写出x 的取值范围 （保 证商家不亏本） ；
（Ⅱ） 销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？
（Ⅲ） 每台彩电的销售价是多少时， 彩电的销售量和营业额均较高？
【解答】解： （Ⅰ） 由题意：
每台彩电的利润是(39001003000)x --元， 每天销售(63)x +台，
则(39001003000)(63)y x x =--+
230021005400x x =-++；(09)x <<
故答案为：(39001003000)x --，(63)x +；
（Ⅱ）2230021005400300( 3.5)9075y x x x =-++=--+．
当3x =或 4 时，9000y =最大值；
（Ⅲ） 当3x =时， 彩电单价为 3600 元， 每天销售 15 台， 营业额为
36001554000⨯=元，
当4x =时， 彩电单价为 3500 元， 每天销售 18 台， 营业额为
3500186300⨯=元，
所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是 9000 元，
此时每台彩电的销售价是 3500 元时， 能保证彩电的销售量和营业额较高 ．
24．（10分）已知OBF ∆是直角三角形，90BFO ∠=︒，30BOF ∠=︒，AOB ∆是
等边三角形，4OB =，点A 与点F 位于直线OB 的异侧．
()I 如图①，求BF 及OF 的长；
（Ⅱ）点P 是直线OF 上的一个动点，连接AP ，以点A 为旋转中心，把AOP ∆逆
时针旋转，使边AO 与AB 重合，得ABD ∆．
①如图②，求在点P 运动过程中，使点D 落在线段OF 上时OP 的长；
②求在点P 运动过程中，使点P 落在线段OF 上，且OPD ∆OP 的长（直接写出结果即可）．
【解答】解：()I 如图①中，
在Rt BOF ∆中，90F ∠=︒，30BOF ∠=︒，4OB =， 1
22
BF OB ∴=
=，OF == （Ⅱ）①如图②中，
AOB ∆是等边三角形，
4OA OB AB ∴===，60OAB AOB ∠=∠=︒
由旋转可知：60PAD OAB ∠=∠=︒，AP AD =， APD ∴∆是等边三角形，
90AOD AOB BOF ∠=∠+∠=︒，
OA PD ∴⊥，
OP OD ∴=，30PAO DAO ∠=∠=︒，
tan 303
OP OA ∴=︒=
． ②如图③中，过点B 作BE OA ⊥于点E ，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，延长EB 交
DH 于点G ，则BG DH ⊥．
设BD OP x ==，
在Rt DBG ∆中，60DBG ∠=︒，
sin 60DG BD x ∴=︒=
．
2DH x ∴=+．
OPD ∆的面积等于
4，
∴13(2)224
x x +=，
240x +=，
解得：3x -=或3
-（舍去）．
OP ∴=． 25．（10分）如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线232y x bx c =
++与x 轴交于(1,0)A -，(2,0)B 两点， 与y 轴交于点C ． （Ⅰ） 求该抛物线的解析式及点C 的坐标； （Ⅱ） 直线2y x =--与该抛物线在第四象限内交于点D ，与x 轴交于点F ，连
接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，求证：AGF CGD ∆≅∆； （Ⅲ） 直线(0)y m m =>与该抛物线的交点为M ，N （点M 在点N 的左侧） ，
点M 关于y 轴的对称点为点M '，点H 的坐标为(1,0)，若四边形NHOM '的面积为53
，求点H 到OM '的距离d ．
【解答】解： （Ⅰ）抛物线232y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(2,0)B 两点， ∴302620
b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩， 解得323
b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，
∴该抛物线的解析式233322y x x =--． 令0x =，则3y =-，
(0,3)C ∴-；
（Ⅱ） 证明：直线EF 的解析式为2y x =--， ∴当0y =时，2x =-， (2,0)F ∴-，2OF =， (1,0)A -，
1OA ∴=，
211AF ∴=-=，
由2333222y x x y x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩解得112343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，2213x y =⎧⎨=-⎩， 点D 在第四象限，
∴点D 的坐标为(1,3)-， 点C 的坐标为(0,3)-， //CD x ∴轴，1CD =， AFG CDG ∴∠=∠，FAG DCG ∠=∠， 在AGF ∆与CGD ∆中 AFG CDG AF CD
FAG DCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()AGF CGD ASA ∴∆≅∆； （Ⅲ）抛物线的对称轴为122
b x a =-
=，直线(0)y m m =>与该抛物线的交点为M ，N ， ∴点M 、N 关于直线12x =对称， 设(,)N t m ，则(1,)M t m -， 点M 关于y 轴的对称点为点M '， (1,)M t m '∴-，
∴点M '在直线y m =上， //M N x '∴轴，
(1)1M N t t '∴=--=， (1,0)H ，
1OH M N '∴==，
∴四边形OM NH '是平行四边形，
设直线y m =与y 轴交于点P ，
四边形OM NH '的面积为53
， 513OH OP m ∴⨯=⨯=，即53
m =， 53
OP ∴=， 当23353223
x x --=时， 解得143x =-，273
x =， ∴点M 的坐标为4(3-，5)3
， 4(3M '∴，5)3，即43PM '=，
Rt OPM '∴∆中，3
OM '==
， 四边形OM NH '的面积为53
， 53OM d '∴⨯=，
41
d ∴=．。