广东省仲元中学等七校联合体2021届高三数学冲刺模拟考试试题 理(含解析)

广东省仲元中学等七校联合体2021届高三数学冲刺模拟考试试题 理
（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合{
|,
{|lg(1)}A x y B x y x ====+，则A B ⋂=（ ）
A. [2,2]-
B. (1,)+∞
C. (1,2]-
D. (,1]
(2,)-∞-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
由题，分别求得集合A 和B ，再求其交集即可.
【详解】由题，对于集合A ，24022x x -≥∴-≤≤，所以集合{}
22A x x =-≤≤ 对于集合B ，101x x +>∴>- ，所以集合{}
1B x x =>- 所以(1,2]A B ⋂=- 故选C
【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.
2.已知复数z 满足(1)i z i +=（i 为虚数单位），则复数Z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
先解出复数并化简z ，找出复数z 在复平面内对应的点，然后判断所在象限即可.
【详解】解：由()1i z i +=，得()()()1111
111222i i i i z i i i i -+=
===+++- 所以复数z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，在第一象限
故选：A
【点睛】本题考查了复数的乘数法运算，复数的几何意义，属于基础题.
3.已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程y bx a =+ ，其中11b =，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ ）万元
A. 60
B. 63
C. 65
D. 69
【答案】B 【解析】 【分析】
根据表中数据求出,x y ，然后根据线性回归方程中系数的求法得到a ，进而得到回归方程，然后求出当6x =时的函数值即为所求． 【
详
解
】
由
表
中
数
据
可
得
1
(12345)3
5
x =⨯++++=，
1
(1015304550)305
y =⨯++++=，
又回归方程y bx a =+中11b =，
∴ˆ301133a y bx
=-=-⨯=-， ∴回归方程为113y x =-． 当6x =时116363y =⨯-=，
所以可估计当投入6万元广告费时，销售额约为63万元． 故选B ．
【点睛】本题考查线性回归方程的求法和其应用，考查计算能力和应用意识，解题的关键是求出系数a ，属于基础题．
4.给出下列说法： ①“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b +
=++的最大值为30； ③命题“0001
,
2x R x x ∃∈+
≥”的否定形式是“1,2x R x x
∀∈+>”． 其中正确说法的个数为（ ） A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】 【分析】
对于①，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于②，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于③，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果. 【详解】对于①，当4
x π
=时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4
x k k Z π
π=+
∈，
所以“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件，所以①正确；
对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义域为[],a b ，所以5b =，
所以函数2
()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确；
对于③，命题“0x R ∃∈，001
2x x +≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x
+<”， 所以③是错误的； 故正确命题的个数为2， 故选C.
【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.
5.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin C
A B
<，则ABC ∆的形状为（ ）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等边三角
形 【答案】A 【解析】 【分析】
将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B 的范围，可得三角形形状. 【详解】因为在三角形中，
sinC
<cosA sinB
变形为sin sin cos C B A < 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +< 化简可得：sin cos 0cos 0A B B <∴< 所以2
B π
>
所以三角形为钝角三角形 故选A
【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.
6.在正方体11ABCD ABC D -中，E F 、分别是11,AB B C 的中点，则异面直线1A E FC 、
所成角的余弦值为（ ）
A.
5
B.
10
C.
2
D.
45
【答案】D 【解析】 【分析】
由题，AD 的中点为M ，易证1//A M FC ，即角1EA M 为所求角，利用余弦定理可得答案. 【详解】在正方体中，取AD 的中点为M ，连接ME ，设正方体的边长为1
因为在正方体中，F 点为11B C 的中点，M 点为AD 的中点，所以1A F 与CM 平行且相等，所以四边形1A FCM 是平行四边形，所以1//A M FC
所以异面直线1A E FC 、所成角也就是11A E A M 、所成的角
所以
1152 ,
A M A E ME
===
所以
1
551
4
442
cos
55
2
4
MA E
+-
∠==
⨯
故选D
【点睛】本题考查了立体几何中异面直线的夹角问题，平移直线到相交是解题的关键，属于较为基础题.
7.函数
ln||
()
x
x
f x
e
=的大致图象是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数解析式代值进行排除即可.
【详解】解：由()x
ln x
f x=
e
，得()
f1=0，()
f1=0
-
又()
1
f e=0
e
e
>，()1
f e=0
e
e-
->
结合选项中图像，可直接排除B，C，D
故选：A
【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.
8.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A.
1213
B.
1314
C.
2129
D.
1415
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB '中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2
x
x =
+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+
在Rt ACB '中，列勾股方程得：()2
2252x x +=+，解得214x =
所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21
214P 2122924
x x ===++ 故选：C.
【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.
9.已知如图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的棱的长度中，最大的是（ ）
A. 23
B.
1
2
x x C. 5 D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
先由三视图可知该几何体是一个四棱锥，分别求出其各棱长，即可确定结果.
【详解】
由三视图可知该几何体是
一个四棱锥，其直观图如图所示， 其中PA PB AB AD BC CD 2======，
22PD 22PA AD =+=；22PC 22PB BC +=，
所以最长的棱的长度为2故选B
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，根据三视图还原几何体即可，属于常考题型.
10.若0,
0a b >>，二项式6()ax b +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分
22a
b
xdx xdx +⎰
⎰的最小值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】 【分析】
由二项式定理展开项可得1ab =，再
220
22a
b
xdx xdx a b +=+⎰
⎰利用基本不等式可得结果.
【详解】二项式()6
ax+b 的展开式的通项为6616r r r r
r T C a b x --+= 当63,3r r -==时，二次项系数为333
6201C a b ab =∴=
而定积分
220
2222a
b
xdx xdx a b ab +=+≥=⎰
⎰
当且仅当a b =时取等号 故选B
【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.
11.已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，
它们的离心率分别为12e e 、，则2212
11
e e +=（ ）
A.
32
B. 2
C.
52
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
分别由椭圆和双曲线的定义表示出AB 和BC 的长，再利用勾股定理化简可得结果. 【详解】如图
由题，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的半实轴为2a ，根据椭圆和双曲线定义：
122,2AB BC a BC AB a +=-=
可得1212,BC a a AB a a =+=- 设2AC c =
在直角三角形ABC 中，由勾股定理可得
22212124()()c a a a a =-++
即222
122a a c +=
即
2212
11
+=e e 2 故选B
【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，主要考查了定义以及离心率，熟悉定义和性质是解题的关键，属于中档偏上题目.
12.已知函数()(2)3,(ln 2)
()32,(ln 2)x
x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为
(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ）
A. 1,
2
e -⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B. (,1]-∞
C. 1,12e -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D. [ln 2,1]
【答案】C 【解析】 【分析】
求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果. 【详解】当ln2x ≥时，()()()
'12x
f x x e =---，
令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(]
,2e -∞+， ∴ln2m 1≤≤
又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即
1x ln22
e
-≤<， ∴
1e
22
m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选C.
【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知向量⃗(2,1),(6,)a b x =-=，且a b ‖，则a b -=______．
【答案】【解析】
由题得222603(4,2)4(2)x x a b a b +=∴=-∴-=-∴-=
+-=,故填
14.已知定义在R 上的函数()f x 满足：函数(-1)y f x =的图象关于点（1，0）对称，且
BC AP λ=时恒有()()2f x f x +=，
当[0,1]x ∈时，()1x
f x e =-，求(-2017)(2018)f f += ______．
【答案】1e - 【解析】
因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图像关于原点对称，所以函数()y f x =是奇函数，因为0x ≥时恒有()()2f x f x +=，所以
()()20172018f f -+=10(2017)(0)(1)(0)(1)(1)1f f f f e e e -+=-+=--+-=-故填
1-e.
15.已知关于实数x ，y 的不等式组2190
802140x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
构成的平面区域为Ω，若(x,y)∀∈Ω，
使得2
(x 1)-+2
(y 4)m -恒成立，则实数m 的最小值是______．
【答案】[20,)+∞ 【解析】 【
分析】
由(),x y ∀∈Ω，使得()()2
2
14x y m -+-≤恒成立可知，只需求出()()2
2
14x y -+-的最
大值即可，再由()()2
2
14x y -+-表示平面区域内的点与定点()1,4距离的平方，因此结合平面区域即可求出结果.
【详解】作出约束条件2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
所表示的可行域如下：
由(),x y ∀∈Ω，使得()()2
2
14x y m -+-≤恒成立可知，只需求出()()2
2
14x y -+-的最
大值即可；令目标函数()()22
z 14x y =-+-，则目标函数表示平面区域内的点与定点
()M 1,4距离的平方，由图像易知，点B 到M 的距离最大.
由214080
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩得()B 2,10，所以()()22
2110437max z =-+-=.
因此37m ≥，即m 的最小值为37. 故答案为37
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需分析清楚目标函数的几何意义，即可结合可行域来求解，属于常考题型.
16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且,a b a c >>．ABC ∆的外接圆半径为1，
24y x =,若边BC 上一点D 满足3BD DC =，且090BAD ∠=，则ABC ∆的面积为______
3【解析】
∵△ABC 的
外接圆半径R 为1，3a =
∴由正弦定理
22sin a
R A
==， 可得：3 ∵边BC 上一点D 满足BD=3DC ，且∠BAD=90°， ∴A=120°，∠CAD=30°， BD=
343
34
CD=14134 ∴如图，由正弦定理可得：3
3333
42113sin 22324
b c b c =∴=∠=∠==∠，
所以222
9311232()42219
c c c c c =+-⨯⨯-∴=
所以1333129332281938
ABC S c c ∆=⨯⨯== 9
338
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知数列{}n a 为正项等比数列，满足3a 4=，且546,3,a a a 构成等差数列，数列{}n b 满足
2n 2n 1b 1og a 1og a n +=+
（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}c n 满足1
41
n n c s =
-，求数列{}n c 的前n 项和T n ．
【答案】（Ⅰ） 1
2n n a -=，21n b n =- ；（Ⅱ）21
n n
T n =
+ 【解析】 【分析】
(Ⅰ)先设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，根据34a =，且546,3,a a a 构成等差数列，求出q ，即可得出{}n a 的通项公式，再由221log log n n n b a a +=+，可得出{}n b 的通项公式； (Ⅱ)先由等差数列的前n 项和公式求出n S ，再由裂项相消法求出n T 即可. 【详解】解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，由题意，得
256466a a a q q +=⇒+= 解得2q =或3q =-（舍）
又3141a a =⇒=所以 1112n n n a a q --==
221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-
(Ⅱ)()()1212122
n n n n n b b S n ⎡⎤+-+⎣
⎦=
==． ∴21
11141
22121n c n n n ⎛⎫
=
=
- ⎪--+⎝⎭
，
∴11111
112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前n 项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求解，属于常考题型.
18.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，且1AD PD ==，平面P CD⊥平面ABCD ，
PDC 120︒∠=，点E 为线段PC 的中点，点F 是线段AB 上的一个动点．
（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）设二面角C DE F --的平面角为θ，试判断在线段AB 上是否存在这样的点F ，使得
tan 23θ=||
||
AF FB 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 1
2
AF FB
=
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；
（Ⅱ）先证明DA ，DC ，DG 两两垂直，再以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设()1,,0F m ，用m 表示出平面DEF 的法向量，进而表示出cos θ，由tan 23θ=. 【详解】解：（Ⅰ）
四边形ABCD 是正方形，∴BC DC ⊥.
∵平面PCD ⊥平面,ABCD 平面PCD ⋂平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面PCD . ∵DE ⊂平面PDC ，∴BC DE ⊥.
∵AD PD DC ==，点E 为线段PC 的中点，∴PC DE ⊥. 又∵PC CB C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC .
又∵DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面PCD ，∵//AD BC ，∴AD ⊥平面PCD . 在平面PCD 内过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，
∴AD DG ⊥，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，
以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.
因为1AD PD ==，120PCD ∠=，∴3PC =.
∵AD ⊥平面PCD ， 则()0,0,0D ，()0,1,0C ，130,2P ⎛- ⎝⎭ 又E 为PC 的中点，130,4E ⎛ ⎝⎭
，
假设在线段AB 上存在这样的点F ，使得tan 23θ=设()1,,0(0)F m m >，
130,4DE ⎛= ⎝⎭
，()1,,0DF m =，
设平面DEF 的法向量为()1,,n x y z =， 则11
0,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
∴0
13
04
x my y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令3y =，则1,3z x m =-∴=-，则()
1331n m =-- AD ⊥平面PCD ，∴平面PCD 的一个法向量()21,0,0n =,tan 23θ=则
13cos θ=
∴122313cos cos ,13
331
m n n m θ-==
=
++. 0m >，解得1
3
m =，∴
12AF FB = 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟记面面垂直
的判定定理即可证明结论成立；对于空间角的处理，常用空间向量的方法，属于常考题型.
19.随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成22
⨯列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户．
①求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；
②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望．
附表及公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++()()()()
2
2
()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】
试题分析：（1）第（1）问，先求2K 观测值公式中的基本量，再代入公式即可. (2)第（2）问第1小问，直接利用对立事件的概率公式解答，第（2）小问，根据二项分布，写出分布列求出期望. 试题解析：
（1）由图中表格可得22⨯列联表如下：
将22⨯列联表中的数据代入公式计算得
()
()()()()
()2
2
210045153010 3.03 3.84125755545
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=
=
≈<++++⨯⨯⨯，
所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关． （2）视频率为概率，在我市“骑行达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“骑行达人”的概率为
35，女“骑行达人”的概率为2
5
． ①抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为
44
32528155625
p ⎛⎫⎛⎫=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
②记抽出的女“骑行达人”人数为Y ，则500X Y =．由题意得2~4,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
()42355i
i
P Y i -⎛⎫
⎛⎫∴== ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
（0,1,2,3,4i =）
，∴ Y 的分布列为
∴ X 的分布列为
所以()28455
E Y =⨯
=， 所以X 的数学期望()()500800E X E Y ==元．
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，焦点分别为12F F ，，点P 是椭圆C
上的点，12PF F ∆面积的最大值是2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若
OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，
请说明理由．
【答案】（Ⅰ） 22
142
x y += （Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意得到,a b c ，的方程组，求出,a b 的值，即可得出椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，易求出四边形OMDN 的面积；当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合判别式和韦达定理，可表示出弦长MN ，再求出点O 到直线MN 的距离，根据OM ON OD +=和点D 在曲线C 上，求出k m 、的关系式，
最后根据OMDN S MN d =，即可得出结果.
【详解】解：
（Ⅰ）由222
22c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22
142x y +=.
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 的
．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程
22
14
2y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222
124240k x kmx m ⇒+++-= (
)
22
8420k m
∆=+->，2121222
424
,1212km m x x x x k k
--+==++ ()12122
2212m y y k x x m k +=++=
+
MN =点O 到直线MN
的距离是d =由,OM ON OD +=得22
42,1212D D
km m
x y k k -=
=++ 因为点D 在曲线C 上，所以有2
2
22421212142
km m k k -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=整理得22122k m +=
由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为
OMDN
S MN d === 由22122k m +=
得OMDN S =故四边形OMDN
． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.
21.设函数22()ln x e k f x k x x x
=++（k 为常数，e=2.71828…为自然对数的底数）． （1）当0k ≥时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在()0,3内存在三个极值点，求实数k 的取值范围．
【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,).+∞（2）322
(,)(,)322
e e e e --⋃--. 【解析】
试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对k 进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数()f x 在()0,3内存在三个极值点的条件从而得到实数k 的取值范围.
试题解析：
(1) 函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()()
2423222x x x x e kx x e xe k k f x x x x x -+-=-'+=. 由0,0k x ≥>可得0x e kx +>，所以当()0,2x ∈时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>.
故()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞
（2）由（1）知，当0k ≥时，函数()f x 在()0,2内单调递减，在()2,3内单调递增，故()f x 在()0,3内仅存在一个极值点2x =；
当0k <时，令0x x
e e kx k x +=⇒-=，()x e g x x =，依题函数y k =-与函数()x
e g x x =，()0,3x ∈的图象有两个横坐标不等于2的交点.
()()
21x e x g x x ='-，当()0,1x ∈时，()0g x '<，则()g x 在()0,1上单调递减，
当()1,3x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()1,3上单调递增；
而()()()23
1,2,3.23
e e g e g g === 所以当2323e e k <-<即3232e e k -<<-时，存在12023x x <<<<使得x
e k x
-=， 且当()10,x x ∈时()0f x '<，当()1,2x x ∈ ()0f x '>，当()22,x x ∈时()0f x '<，当()2,3x x ∈时()0f x '>，此时()f x 存在极小值点12,x x 和极大值点2； 同理，当22e e k <-<即22e k e -<<-时，存在3402x x <<<使得x
e k x
-=，此时()f x 存在极小值点1,2x 和极大值点2x .
综上，函数()f x 在()0,3内存在三个极值点时，实数k 的取值范围为
322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 点睛：本题的难点在第（2）问，主要是对函数x
y e kx =+的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了.解答数学问题，要善于抓住主要问题，再突破.
22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C
的极坐标方程为22cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为(cos sin )3ρθθ-=.
（Ⅰ）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线2l 过点(1,0)P -与曲线C 交于不同两点A ，B ，AB 的中点为M ，1l 与2l 的交点为N ，求||||PM PN ⋅.
【答案】（Ⅰ）C: ()()22
129x y -++= ；直线1l 的直角坐标方程30x y --= （Ⅱ）8
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果；
（Ⅱ）先写出直线2l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，得到PM ，再由直线2l 的参数方程代入30x y --=，得到PN ，进而可得出结果.
【详解】（Ⅰ）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+； 即()()22129x y -++= ()1:cos sin 3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=
（Ⅱ）直线2l 的参数方程1x tcos y tsin αα=-+⎧⎨
=⎩（t 为参数）， 将其代入曲线C 的普通方程并整理得()24cos sin 10t t αα---=，
设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则
()124cos sin t t αα+=-
因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为
()122cos sin 2t t αα+=-， 设N 点的参数分别为3t ，把1x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=⎩
代入30x y --=整理得34cos sin t αα=- 所以12342cos sin 82cos sin t t PM PN t αααα
+⋅=⋅=-⋅=-. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.
23.若关于x 的不等式|22||21|0x x t +---在实数范围内有解．
（Ⅰ）求实数t 的取值范围；
（Ⅱ）若实数t 的最大值为a ，且正实数m,n,p 满足23m n p a ++=，求证：
123m p n p
+++ 【答案】（Ⅰ） 3t ≤ （Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】 （Ⅰ）不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解，也即是2221x x t +--≥成立，求出2221x x +--最大值即可；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到3a =，因此()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式
()(
)2
121141223223m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++≥ ⎪⎣⎦++++⎝⎭来证明.
【详解】解：（Ⅰ）因为22210x x t +---≥所以2221x x t +--≥ 又因为()222122213x x x x +--≤+--=
所以3t ≤
（Ⅱ）由（1）可知，3a =,则 方法一：()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣
⎦++++⎝⎭ ()
41221141433223m p n p m p n p ⎛⎡⎤++ =+++≥++=⎢⎥ ++⎣⎦⎝ 123m p n p
∴+≥++ 方法二：利用柯西不等式()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
2
1
33≥= 123m p n p
∴+≥++ 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型.。