数学北师大版八年级下册提公因式法(二)
北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》说课稿2
北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》说课稿2一. 教材分析《提公因式法》是北师大版数学八年级下册第4.2节的内容。
这一节主要介绍提公因式法的方法和应用。
在此之前，学生已经学习了因式分解的基本概念和常用的提公因式法，本节内容是对这些知识的进一步拓展和深化。
本节内容的学习，不仅有助于提高学生解决复杂代数问题的能力，而且对于培养学生的逻辑思维和运算能力也有重要作用。
二. 学情分析根据我对学生的了解，他们在学习了因式分解的基本概念和常用的提公因式法之后，对于提公因式法的方法和应用已经有了一定的了解。
但是，他们在实际应用中，往往会因为对公因式的确定不够准确，导致提公因式法的应用出现错误。
因此，在教学过程中，我需要引导学生准确确定公因式，提高他们的应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握提公因式法的方法和应用。
2.过程与方法目标：通过自主学习和合作交流，提高学生解决复杂代数问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和运算能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：提公因式法的方法和应用。
2.教学难点：准确确定公因式，以及在实际应用中灵活运用提公因式法。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生自主学习和合作交流。
2.教学手段：利用多媒体课件，帮助学生直观理解提公因式法的过程。
六.说教学过程1.导入新课：通过一个具体的代数问题，引发学生对提公因式法的思考，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生自主探究提公因式法的方法和步骤，理解其应用。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解题方法和心得，互相学习和借鉴。
4.教师讲解：针对学生自主学习和合作交流中出现的问题，教师进行讲解和指导。
5.巩固练习：学生进行有关的练习题，巩固所学知识。
6.课堂小结：学生总结本节课的学习内容，教师进行点评和补充。
七.说板书设计板书设计要简洁明了，突出提公因式法的方法和应用。
八下数学第四章因式分解第2节提公因式法(北师大5份)高品质版
练习
说出下列每一个多项式各项的公因式： (公因式是a)
⑴ ax＋ay ⑵ 3mx－6nx2 ⑶ 4a2b＋10ab－2ab2
(公因式是3x)
(公因式是2ab)
⑷ 12xyz－9x2y2－6y2z2
(公因式是3y)
例１
把4x3y－6x2y3z分解因式 （２x2y） 解： 4x3y－6x2y3z =2x2y．2x－ 2x2y ．3y2z = 2x2y ( 2x－3y2z )
3－8n2＋6n分解因式 把－ 2n 例3 分析：如果多项式的第一项系数是负数，一般要先提出 “－”号；
解： －2n3－8n2＋6n = －(2n3＋8n2－6n） =－2n( n2＋4n－3 )
你会分解下列 因式吗？
练习
⑴－5a3－10a2＋15a
⑵－32ma3＋16ma2－24maቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⒈ －2s3＋4s2－6s=－s(2s2＋4s－6)
－2s(s2－2s+3)
⒉－4a2b＋6ab2－8a＝－2ab(2a－3b)－8a －2a(2ab－3b 2 + 4)
小结
1.这节课我们学习了因式分解的第一种方法：提取公因式法； ⒉分解因式时，提取的公因式应是各项系数的 最大公因数 与各项都含有的相同因式的 最低次幂 的积； 3.提取公因式法的一般步骤； 4.添括号法则。
多项式各项的公因式。
㈡什么是提取公因式法？
把一个多项式的各项含有的公因式，提取作为多项式
的一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式
法。
am + bm = m(a + b)
㈢如何提取公因式：
⑴数字因数： 各项系数的最大公因数（当系数是整数时）；
⑵字母因式：
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
提公因式法说课稿
说课稿《提公因式法》姓名：***学校：荥阳市刘河镇初级中学尊敬的各位领导、老师，大家好！我今天说课的内容是：北师大版数学，八年级下册，第二章第二节《提公因式法》。
下面，我将从课标要求、教材分析、学情分析、教法与学法以及学习过程的设计这五方面进行说课。
一、课标要求《标准》中要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出理由或举出反例，能清晰地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑”二、教材分析本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．本课时不仅与单项式乘多项式有着密切的联系，同时是后续学习分式的化简与运算，解一元二次方程的重要基础。
三、学情分析在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．根据以上分析我确定了本课时的学习目标是：1、使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，会准确确定多项式各项的公因式；2、会用提公因式法进行因式分解．重点：会准确确定公因式；会用提公因式法进行因式分解难点：会准确确定公因式四、教法与学法教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择自主学习——合作交流法，就是让学生共同讨论，并用类比推理的方法学习。
由浅入深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索，合作交流，这有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
学法分析：学生结合导学案，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
北师大版八年级下册数学[提公因式法(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习提公因式法（基础）【学习目标】1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、（2016•石家庄校级模拟）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．6a 2b 2=3ab •2abB ．2x 2+8x ﹣1=2x （x +4）﹣1C ．a 2﹣3a ﹣4=（a +1）（a ﹣4）D ．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．【答案】C.【解析】A 、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；B 、右边结果不是积的形式，不符合题意；C 、a 2﹣3a ﹣4=（a +1）（a ﹣4），符合题意；D 、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．故选：C ．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解,等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：【变式】（2014•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）A.a 2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21B.a 2+4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）C.（a ﹣3）（a+7）=a 2+4a ﹣21D.a 2+4a ﹣21=（a+2）2﹣25【答案】B.类型二、提公因式法分解因式2、(1)多项式2363x xy -+的公因式是________；(2)多项式324168mn m m --的公因式是________；(3)多项式()()()x b c a y b c a a b c +--+----的公因式是________；(4)多项式2(3)(3)x x x -+-的公因式是________．【答案】(1)3 (2)4m (3)b c a +- (4)3x -【解析】解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m ．公因式为4m .(3)公因式是（b c a +-），为一个多项式因式．(4)多项式可变形()()233x x x ---，其公因式是3x -．【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式． 举一反三：【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A ．2x y -B ．22x x +C ．2x y 2+D ．2x xy y 2-+ 【答案】B ；3、若()()()232p q q p q p E ---=-，则E 是（ ）A ．1q p --B ．q p -C ．1p q +-D ．1q p +-【答案】C ；【解析】解：()()23p q q p ---=()()21q p p q -+-．故选C ．【总结升华】观察等式的右边，提取的是()2q p -，故可把()2p q -变成()2q p -，即左边＝()()21q p p q -+-.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．举一反三：【变式】把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是（ ）A ．1m +B ．2mC ．2D ．2m +【答案】D ；解：()()()111m m m +-+-，＝()()111m m -++，＝()()12m m -+．4、（2015春•新沂市期中）分解因式：3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）.【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果．【答案与解析】解：原式=3x （a ﹣b ）+6y （a ﹣b ）=3（a ﹣b ）（x+2y ）．【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）A ．()222129343abc a b c abc ab -=-B ．()2233632x y xy y y x x y -+=-+C ．()2a ab ac a a b c -+-=--+D ．()2255x y xy y y x x +-=+【答案】C ；解：A.()222129343abc a b c abc abc -=-，故本选项错误；B.()2233632x y xy y y x x -+=-+，故本选项错误；C.()2a ab ac a a b c -+-=--+，正确；D.()22551x y xy y y x x +-=+-，故本选项错误． 类型三、提公因式法分解因式的应用5、若0232=-+x x ，求x x x 46223-+的值.【答案与解析】解： 由0232=-+x x ，得232x x +=()3222642342240x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，()3222623x x x x x +=+，这样就能由已知整体代入求值了.。
北师大版初二数学下册《2提公因式法》教案
2 提公因式法》教案第 1 课时教学目标1、经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式.2、会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况) .教学重难点教学重点：用提公因式法把多项式分解因式. 教学难点：探索多项式因式分解方法的过程.教学过程一、创设情景，导出问题张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品，他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10 本，4元一瓶的墨水10 瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9 折出售，问共需多少钱？(让学生独立完成，然后选取两种比较多用的方法展示) 关于这一问题两位同学给出了各自的做法：方法一：16X10X90%+5< 10X90%+4< 10刈0%=144+45+36=225 (元)方法二：16X10X90%+< 10X90%+4< 10<90%=1< 90% (16+5+4) =225 (元) 请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？答案：第二位同学(第二种方法)更好，因为第二种方法将因数10 <90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量.二、探索交流，概括概念1 、议一议：( 1 )多项式ab+bc 各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+ x 呢？多项式mb2+nb-b 呢？( 2)将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流. 2、讨论概括：(1)多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式，如b就是多项式ab+bc的公因式.同样，多项式3X2+X各项都含有相同的公因式x,多项mb2+ nb-b各项都含有相同的公因式b.(2)如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.三、巩固应用,拓展研究例：将下列各式分解因式：2 3 2 3 3 2(1) 3x+6；(2)7x -21x ；(3)8a b -12ab c+abc ；(4) -24x -12x +28x.2 答案：(1) 3x+6=3x+3 X2=3 (x+2 ); (2) 7x-21x=7xx-7x 3=7x (x -3);3 2 3 2 2 2 2(3) 8a b - 12ab c+abc=ab -8a b -ab -12b c+ab c=ab (8a b - 12b c+c );3 23 2 2 2(4) -24x 3-12x 2+28= -( 24x 3+12x 2-28) =-(4x?6x 2+4x?3x -4x?7) =-4x (6x 2+3x -7)想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？(进一步体会分解因式与整式乘法的互逆关系)四、练习巩固，促进迁移 1 、写出下列多项式的公因式：( 1 ) ma+mb ( 2) 4kx-8ky ( 3) 5y 3+20y 2 ( 4) a 2b-2ab 2+ab2、把下列各式分解因式：( 1 ) 3x 2-6xy+x ( 2) -4m 3 + 1 6m 2-26m3、利用分解因式计算：(1) 33X0.48+85X 0. 48-18 >0.48(2) 7. 18X2. 25+28. 5X). 225-2. 03X2. 25五、回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？ (通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完 善学生的认知结构，加深对所学知识的理解 . )第 2 课时教学目标1 、会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况)2、进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法教学重难点重点：用提公因式法把多项式分解因式. 难点：掌握多项式因式分解方法的过程 .教学过程一、课前热身，复习回顾 想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？ 做一做：1 、下列用提取公因式法分解因式正确的是(3 2 2 A 、a +2a +a=a ( a +2a )C 、6( x-2)+x ( 2-x )=(x-2)( x+6)2、 ( -3)2005+ ( -3)2004等于 _________ . 通过提问和几个练习使学生回忆上节课的内容，为本节课的学习作好准备、应用拓展，深化研究 把下列各式分解因式：(1)a (x-3)+2b (x-3)；(2)5(x-y )3+10(y-x )2.) 2 2 2 B 、-x y+4x y -7xy=-xy ( x-4xy+7) 2 D 、a ( a-b ) +ab (a-b )=( a+ab )( a-b ).)答案：(1) a (x-3) +2b (x-3) = (x-3) (a+2b);3 2 3 2 3 2 2(2)5(x-y) 3+10(y-x) 2=5(x-y) 3+10[-(x-y) ]2=5(x-y) 3+10(x-y) 2=5(x-y) 2(x-y+2) (此题是上节课的延伸，公因式由前节课的单项式过渡到多项式，难度逐渐提高，符合学生的认知规律. )第(1)小题在教学时引导学生把(x-3)看作一个整体，从而解决公因式是多项式的情况；第( 2)小题是在第( 1 )小题的基础上，进一步解决符号问题，教学时要引导学生正确理解(x-y )与(y-x)，(x- y) 2与(y-x) 2的关系.三、巩固应用，拓展研究1 、把下列各式分解因式：( 1 ) 3x2-6xy+x ( 2) -4m3+16m2-26m答案：(1) 3x2-6xy+x=x (3x-6y+1 ) ( 2) -4m3+16m2-26m=-2m(2m2-8m+13)2、把下列各式分解因式：(1) 4q(1-p) 3+2(p-1) 2( 2) 3m( x-y) -n( y-x)( 3) m( 5ax+ay-1 ) -m( 3ax-ay-1 )答案：(1) 4q(1-p) 3+2(p-1) 2=2(1-p) 2(2q-2pq+1 )(2)3m( x-y) -n( y-x) =( x-y)(3m+n )(3)m(5ax+ay-1 ) -m(3ax-ay-1 ) =2am(x+y)3、计算：(1)已知a+b=13，ab=40，求a2b+ab2的值•(2)1998+1998 2-19992.答案：(1) a b+ab =ab (a+b ),当a+b=13 时，原式=40 X13=52O.(2) 1998+1998 2- 1 999 2= - 1 999 .四、回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？(通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解. )。
4.2+提公因式法+同步练习++2023--2024学年北师大版八年级数学下册
4.2 提公因式法同步练习2023--2024学年北师大版八年级数学下册第一课时今日复习1.多项式各项都含有的因式叫这个多项式各项的2.一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：(1)各项整数系数的最大公约数；(2)各项相同的因式；(3)相同因式的指数取最低次幂.名师点拨1.确定公因式的方法：(1)若多项式是整数系数，则取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；(2)取各项相同的字母因式；(3)取相同字母因式的最低指数作为字母因式的指数.2.提公因式法因式分解的一般步骤：(1)找出公因式(关键)；(2)提出这个公因式，并把原多项式除以公因式所得的商作为另一个因式，写出分解结果.3.提公因式时，注意符号的变化.课时三级达标A级双基过手1.(1)把多项式a²-9a分解因式得(2)因式分解:a²+ ab-a= .2.(1)因式分解: −3ab²−3a²b=(2)把8x²y−2xy分解因式得(3)将多项式2x²+6x³分解因式得3.因式分解:(1)6ax-12ay+18az= ;(2)−2x²+18x²y−4xy²=.4.(1)计算:54×99+45×99+99= .(2)已知 ab=-2,a+b=3,则a²b+ab²的值是 .5.多项式8a³b²+12a³bc−4a²b中，各项的公因式是 ( )A. a²bB.−4a²b²C.4a²bD.−a²b6.多项式−36a²bc−48ab²c+12abc的公因式是 ( )A.6abcB.-12abcC.12a²b²c²D.−6a²b²c²7.用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是 ( )A.2n²−mn+n=2n(n−m)B.2n²−mn+n=n(2−m+1)C.2n²−mn+n=n(2n−m)D.2n²−mn+n=n(2n−m+1)8.下列因式分解正确的是 ( )A.2x²−xy−x=2x(x−y−1)B.−xy²+2xy−3y=−y(xy−2x−3)C.x(x−y)−y(x−y)=(x−y)²D.x²−2x+1=x(x−2)+19.分解因式:(1)2x²−4x;(2)8m²n+2mn;(3)a²x²y−axy²;(4)3x³−3x²+9x;(5)−24x²y−12xy²−28y³;(6)−4a³b³+6a²b−2ab.10.因式分解:(1)3x²y−6xy;(2)5x²y³−25x³y²;(3)−4m³+16m²−26m;(4)10ab²c+6ac²+2ac;(5)−2x²−12xy²+8xy³;(6)−3ma³+6ma²−12ma.B级能力提升11.(1)单项式8x²y²,12xy³,6x²y²的公因式是 .(2)已知a=2,x+2y=3,则3ax+6ay=12.(1)计算:29×20.25+36×40.5-2.025×10= .(2)计算:23×2.718+59×2.718+18×2.718= . 13.(1)已知m²+m=3,则−4m³−4m(m−3)= .(2)已知x⁴−5x³+nx−16有因式(x-1),则n= .14.(1)已知|x+y+1|+| xy-3|=0,求代数式xy³+x³y的值.(2)已知x+y=3,x²+y²−3xy=4,求x³y+xy³的值.C级综合拓展15.x²+2x−3=(x+3)(x−1)，这说明多项式x²+2x−3有一个因式为(x-1)，我们把x=1代入此多项式，发现x=1能使多项式x²+2x−3的值为0.利用上述阅读材料求解：(1)若(x-3)是多项式x²+kx+12的一个因式，求k的值；(2)若(x-3)和(x-4)是多项式x³+mx²+12x+n的两个因式，试求m，n的值；(3)在(2)的条件下，把多项式x³+mx²+12x+n因式分解.第二课时今日复习1.(x-y)2n = (y-x)2n(填“+”或“-”号,n为正整数); (x−y)²ⁿⁿ¹=(y−x)²ⁿⁿ¹(填“+”或“-”号,n为正整数).2.当公因式为多项式时，只需运用整体思想将公因式视为一个整体，即可运用提公因式法进行因式分解.名师点拨1.因式分解作为数学中的一种恒等变形，给我们解决某些问题提供了一种重要方法，尤其是整体思想的运用，使看似复杂而难以下手的问题解决起来非常方便、快捷.2.把幂的底数由相反数化成原数的方法：“奇变，偶不变.”如：(b−a)²=(a−b)²,(b −a)³=−(a−b)³,(b−a)²ⁿ=(a−b)²ⁿ,(b−a)²ⁿⁿ¹=−(a−b)²ⁿⁿ¹.3.当多项式的各项中出现“多项式因式”时，应先统一字母的顺序.课时三级达标A级双基过手1.在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立.(1)m-n= (n-m);(2)n+m= (m+n);(3)-m-n= (m+n);(4)(x−y)²=(y−x)²;(5)(x−y)³=(y−x)³;(6)−x²−y²=(x²+y²).2.(1)多项式4a(x−y)−6a²(x−y)中各项的公因式是 .(2)因式分解:3m(a-b)+9n(b-a)=(3)因式分解:12x(a+b)-4y(a+b)=3.(1)将3x(a-b)-9y(b-a)因式分解,应提的公因式是 .(2)把多项式m³(n−2)³−m²(2−n)²分解因式得4.(1)若(m+n)³−mn(m+n)=(m+n)⋅A,则 A表示的多项式是 . (2)多项式4(x−y)³−6(y−x)²的公因式是 .5.多项式x²y(a−b)−y(b−a)提公因式后，余下的部分是 ( )A.x²+1B. x+1C. x²-1D.x²y+y6.把(x−y)²−(y−x)分解因式为 ( )A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)7.下列因式分解正确的是 ( )A. mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1)B.6(p+q)²−2(p+q)=2(p+q)(3p+q−1)C.3(y−x)²+2(x−y)=(y−x)(3y−3x+2D.3x(x+y)−(x+y)²=(x+y)(2x+y)8.代数式15a³b³(a−b),5a²b(b−a),−120a³b³(a²−b²)的公因式是 ( )A.5ab(b-a)B.5a²b²(b−a)C.5a²b(b−a)D.120a³b³(b²−a²)9.因式分解:(1)3x(a-b)-6y(b-a);(2)2(a−3)²−a+3;(3)(a+b)²+(a+b)(a−3b);(4)2a(x−2y)²−3b(2y−x)³;(5)(a−b)²−(b−a);(6)x²(a−1)+x(1−a)10.因式分解:(1)(a+b-c)(a-b+c)-(b+c-a)(c-a-b);(2)(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)²;(3)(x+y)²(x−y)−(x+y)(x−y)²;(4)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q).B级能力提升11.(1)因式分解:(x+2)x-x-2=(2)因式分解: (4x²−2xy)+2x(y−2x)²=12.因式分解：(1)(x+y)²−x−y=;(2)2(a-3)³-a+3= .13.(1)因式分解: a²(x−2a)²−2a(2a−x)³=(2)因式分解:(m+1)(m-1)+m-1=14.先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题.1+x+x(x+1)+x(x+1)²=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)²(1+x)=(1+x)³.(1)上述分解因式的方法是，共运用了次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+⋯+x(x+1)²⁰²⁵,则需应用上述方法次，结果是(3)因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2++x(x+1)n(n为正整数).C级综合拓展15.阅读理解:已知2x²+x−5=0,求代数式6x³+7x²−13x+11的值.分析：先据2x²+x−5=0求出2x²+x的值，再将6x³+7x²−13x+11化简为含有2x²+x的代数式，然后整体代入即可求出所求的结果.【解】:2x²+x−5=0,∴2x²+x=5.原式=6x³+3x²+2x²+x+2x²−14x+11=3x(2x²+x)+(2x²+x)+2x²−14x+1]=15x+5+2x²−14x+11=2x²+x+16=21.请你根据对上述解答过程的理解，解答下列问题：已知x²+3x−1=0,求x³+5x²+5x+ 18的值.。
4.2 提公因式法 第1课时 北师大版数学八年级下册教案
4.2提公因式法（第1课时公因式是单项式的因式分解）教学目标1.学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.2.通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.教学重点难点重点：理解公因式的意义.难点：会用提公因式法因式分解.教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式.教师：多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？学生：都含有相同的因式依次为b, x,b.探究新知探究点一公因式的定义把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.活动2（学生交流，教师点评）【问题2】（师生互动）教师：尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.学生：ab+bc＝b（a+c），3x2+x＝x（3x+1），mb2+nb-b＝b(mb+n-1).【思考】如何找3x 2– 6 xy的公因式分析：系数：3，6的最大公约数是3.字母：相同的字母x.指数：相同字母x的最低次幂.解：3x 2– 6 xy的公因式是3x.探究点二确定公因式的方法活动3（学生交流，教师点评）确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.【例1】多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.答案：D【即学即练】多项式6ab2-8a4b3c中各项的公因式是_________.答案：2ab2探究点三提公因式法活动4（学生交流，教师点评）【例2】因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .分析：将原式各项提取公因式即可得到结果.解：(1) 8a3b2+12ab3c＝4ab2(2a2+3bc).（2）-24x3-12x2+28x＝-(24x³+12x²-28x)＝-(4x·6x²+4x·3x-4x·7)＝-4x(6x²+3x-7).【题后总结】(学生总结，老师点评)提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式.【总结】提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.【思考】提公因式法因式分解的步骤?(小组交流，教师点评)【总结】第一步，找出公因式；第二步，提取公因式，即用公因式去除这个多项式,所得的商式作为另一个因式，将多项式化为两个因式的积.【即学即练】计算：(1)39×37-13×91；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14.分析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可.解：(1)39×37-13×91＝3×13×37-13×91＝13×(3×37-91)＝13×20＝260；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14＝20.15×(29+72+13-14)＝2015.【方法总结】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便.课堂练习1.多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式是()A.−3xyB.3yzC.3xzD.−3x2.多项式mx+n可分解为m(x−y)，则n表示的整式为()A.mB.myC.−yD.−my3.将3x(a−b)−9y(a−b)因式分解，应提的公因式是()A.3x−9yB.3x+9yC.a−bD.3(a−b)4.(−2)2 017+(−2)2 018的值为()A.2B.−2C.−22 017D.22 0175.将多项式−6a3b2−3a2b2+12a2b3因式分解时，应提取的公因式是()A.−3a2b2B.−3abC.−3a2bD.−3a3b3参考答案：1.A解析：因为−9x2y＝−3xy·3x，3xy2＝−3xy·(−y)，−6xyz＝−3xy·2z，所以多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式为−3xy.2.D解析：∵m(x−y)＝mx−my，∴n＝−my.故选D.3.D解析：各项系数的最大公约数是3，相同的因式是a−b，所以应提的公因式是3(a−b).4.D解析：(−2)2 017+(−2)2 018＝(−2)2 017×(1−2)＝22 017.故选D.5. A解析：各项系数的最大公约数是−3，相同字母的最低指数次幂是a2b2，所以应提取的公因式是−3a2b2.故选A.课堂小结(学生总结，老师点评)一、公因式把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.二、确定公因式的方法三、提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.布置作业教材第96页习题4.2板书设计2提公因式法第1课时公因式是单项式的因式分解一、公因式的定义【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是() A.abc B.3a2b2 C.3a2b2c D.3ab例2因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .二、提公因式法1.定义2.步骤。
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
北师大版八年级下册数学第四章 因式分解第3节《公式法(2)》参考教案
4.3.2 公式法（二）●教学目标（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.●教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.●教学方法观察—发现—运用法●教具准备投影片两张第一张（记作§4.3.2 A）第二张（记作§4.3.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.投影（§4.3.2 A）项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.［生］（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；（3）是；（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一.（6）是.2.例题讲解［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m +n）+9.［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax 2+6axy+3ay 2=3a （x 2+2xy+y 2）=3a （x+y ）2（2）－x 2－4y 2+4xy=－（x 2－4xy+4y 2）=－［x 2－2·x·2y+（2y ）2］=－（x －2y ）2Ⅲ.课堂练习a.随堂练习1.解：（1）是完全平方式x 2－x+41=x 2－2·x·21+（21）2=（x －21）2 （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.（3）是完全平方式41m 2+3 m n+9n 2 =（21 m ）2＋2×21 m×3n+（3n ）2 =（21 m +3n ）2 （4）不是完全平方式2.解：（1）x 2－12xy+36y 2=x 2－2·x·6y+（6y ）2=（x －6y ）2;（2）16a 4+24a 2b 2+9b 4=（4a 2）2+2·4a 2·3b 2+（3b 2）2=（4a2+3b2）2（3）－2xy－x2－y2=－（x2+2xy+y2）=－（x+y）2;（4）4－12（x－y）+9（x－y）2=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2=（2－3x+3y）2b.补充练习投影片（§4.3.2 B）这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.Ⅴ.课后作业习题4.51.解：（1）x 2y 2－2xy+1=（xy －1）2;（2）9－12t+4t 2=（3－2t ）2;（3）y 2+y+41=（y+21）2; （4）25m 2－80 m +64=（5 m －8）2;（5）42x +xy+y 2=（2x +y ）2; （6）a 2b 2－4ab+4=（ab －2）22.解：（1）（x+y ）2+6（x+y ）+9=［（x+y ）+3］2=（x+y+3）2;（2）a 2－2a （b+c ）+（b+c ）2=［a －（b+c ）］2=（a －b －c ）2;（3）4xy 2－4x 2y －y 3=y （4xy －4x 2－y 2）=－y（4x2－4xy+y2）=－y（2x－y）2;（4）－a+2a2－a3=－（a－2a2+a3）=－a（1－2a+a2）=－a（1－a）2.3.解：设两个奇数分别为x、x－2,得x2－（x－2）2=［x+（x－2）］［x－（x－2）］=（x+x－2）（x－x+2）=2（2x－2）=4（x－1）因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除.Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a3b－4a2b2+ab3=ab（4a2－4ab+b2）=ab（2a－b）2●板书设计参考练习把下列各式分解因式1.－4xy－4x2－y2;2.3ab2+6a2b+3a3;3.（s+t）2－10（s+t）+25;4.0.25a2b2－abc+c2;5.x2y－6xy+9y;6.2x3y2－16x2y+32x;7.16x5+8x3y2+xy4参考答案：解：1.－4xy－4x2－y2=－（4x2+4xy+y2）=－（2x+y）2;2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;5.x2y－6xy+9y=y（x2－6x+9）=y（x－3）2;6.2x3y2－16x2y+32x=2x（x2y2－8xy+16）=2x（xy－4）2;7.16x5+8x3y2+xy4=x（16x4+8x2y2+y4）=x（4x2+y2）2.。
北师大版八年级下册数学第4章第2节提公因式法课件
二 探索发现
因式分解：ma mb mc
解: ma mb mc m(a b c)
公因式
提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可 以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这
种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
合作探究
用心观察，找到答案
多项式 8x+12y 8ax+12ay 8a3bx+12a2b2y
公因式
4 4a 4a2b
9x2-6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
例1: 找 3x2 – 6 x3y 的公因式。
3
定系数
x
定字母
2
定指数
所以，公因式是3x2 。
你知道吗？
药方：__7_a_b__1_4_a_b_x___49_a_b_y____7_a_b_(_1__2x 7y)
（4）4a2b 6ab2 8a 2ab(2a 3b) 8a
病因：提__取__部__分__公__因__式__后__，__式__子__不__是__乘积形式 药方：4_a_2_b___6_a_b_2 __8_a___2_a_(_2_a_b___3_b_2_ 4)
随堂练习
把下列各式因式分解： 1 (1)x(a＋b)＋y(a＋b)；
(2)3a(x－y)－(x－y)； (3)6(p＋q)2－12(q＋p)； (4)a(m－2)＋b(2－m)； (5)2(y－x)2＋3(x－y)； (6)mn(m－n)－m(n－m)2
解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)． (2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)． (3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)． (4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)． (5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)＝(x－y)[2(x－y)＋ 3]＝(x－y)(2x－2y＋3)． (6)mn(m－n)－m(n－m)2＝mn(m－n)－m(m－n)2＝m(m－n) [n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n)＝m(m－n)(2n－m)．
北师大版八年级数学下册提公因式法课件(第2课时25张)
导入新知
4.2 提公因式法/
2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数.
最大公约数
相同的字母 最低次幂
例如，多项式 − 的公因式为:
思考：
（1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？
（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
素养目标
4.2 提公因式法/
(4)( − ) = +
() − − =
− + ；(6)-s2+t2=
视察：以上各多项式有什么特点？
− ；
( − ) ；
− （s2-t2）.
只有符号不同
探究新知
结论1
4.2 提公因式法/
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下
判断方法：
(1)当相同字母前的符号相同时,两个多项式相等.
课堂检测
4.2 提公因式法/
基础巩固题
1. 下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ A ）
A. − +
B. ( − ) − ( − )
C. −
D. + − ( + )
2. 把多项式 ( − ) +( − ) 分解因式结果正确的是（ B ）
(3)( + ) −( + )；
(4) − + − ；
(5)( − ) +( − )；
(6) − − ( − ) .
解：
(3)( + ) − + = ( + )( + − )；
(4) − + − = ( − )( − )；
如: − 和− + ，即 − = − + ；
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第四章 因式分解
提公因式法（二）
青铜峡市第三中学 马玉忠 一、教学目标
1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项 的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
二、教学重难点
教学重点:用提公因式法把多项式分解因式
教学难点:探索多项式因式分解方法的过程
三、教学过程
本节课设计了七个教学环节：回顾与思考——例题讲解——做一做——例题讲解——反馈练习——问题解决——小结思考．
第一环节 回顾与思考：复习提公因式法及注意事项
活动内容：把下列各式因式分解：
把下列各式分解因式： (1) mn mn 282+ (2) ab b a 52-+9b
(3) ma ma ma 126323-+- (4) x x x 84223-+-
活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．以演板的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤。
第二环节 探索新知（ 例题讲解）
活动内容：因式分解：（1）a （x –3）+2b （x –3） （2）()()2
211+++x y x y
活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x–3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x–3），而第二题公因式是y(x+1),并能顺利地进行因式分解．
第三环节练一练
1、x(a+b)+y(a+b)
2、3a(x-y)-(x-y)
3、6(p+q)2-12(q+p)
4、a(m-2)+b(2-m)
做一做
活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a= （a–2）
（2）y–x= （x–y）
（3）b+a= （a+b）
（4）（b–a）2= （a–b）2
（5）–m–n= （m+n）
（6）–s2+t2= （s2–t2）
活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．
此时由学生归纳所得规律：
（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；
（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．
第四环节例题讲解
活动内容：将下列各式因式分解：
（1）a（x–y）+b（y–x）（2）3（m–n）3–6（n–m）2
活动目的：
有了前面所得规律，学生易观察到多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；再把相同的多项式作为公因式提取出来．进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．
第五环节反馈练习
活动内容：
2、把下列各式因式分解：
（1）x （a+b ）+y （a+b ） （2）3a （x –y ）–（x –y ）
（3）6（p+q ）2–12（q+p ） （4）a （m –2）+b （2–m ）
（5）2（y –x ）2+3（x –y ） （6）mn （m –n ）–m （n –m ）2
活动目的：学生对于符号问题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．
第六环节 问题解决：
活动内容：某大学有三块草坪，第一块草坪面积为()22m b a +，第二块草坪面积为 ()2m b a a +，第三块草坪面积为()2bm b a +，求这三块草坪的总面积。
活动目的：通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．
第七环节 小结思考
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
活动目的：学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，掌握类比等数学思想方法．
通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解．
作业练习：课本第98页习题4．3第1，2题．。