高考文科数学高频考点之空间几何体

空间几何体

考点1 空间几何体与三视图

题组一画空间几何体的三视图

调研1 将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为

A B C D

【答案】D

【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条为长方体的两条面对角线，它们在右侧面的投影与右侧面的两边重合，另一条为体对角线，它在右侧面的投影与右侧面的对角线重合，对照各选项，只有D符合.故选D．

调研2 如下左图所示为一个正三棱柱被平面截得的几何体,其中,几何体的俯视图如下右图所示,则该几何体的正视图是

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由直观图和俯视图可知底面是正三角形,则正视图中点的射影是的中点,棱的射影与

平行，即正视图是选项A．

题组二由几何体的三视图还原几何体的形状

调研3 如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是

A．三棱锥B．三棱柱

C．四棱锥D．四棱柱

【答案】A

【解析】构造棱长为4的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P,B分别为相应棱的中点,故选A．

调研4 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的所有棱中，最大值是

A B．3

C．D

【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其棱共有9条，AB＝AD＝BC＝CF＝3，AC＝DF＝BG

＝3＋1＝4，DG＝FG，故该多面体的所有棱中，最大值为

☆技巧点拨☆

1．一个物体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．

2．要熟悉各种基本几何体的三视图．同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．

题组三由几何体的部分视图画出剩余部分的视图

调研5 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为

【答案】D

【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，三棱锥的顶点在底面内的射影在底面棱上，则原几何体如图所示，从而侧视图为D．故选D．

考点2 空间几何体的表面积与体积

题组一柱体、锥体、台体的表面积与体积

调研1 一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是

A ．24

B ．8+

C ．

D ．12

【答案】B

B.

调研2 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60BAD ∠=︒，侧棱PA ⊥底面ABCD ，

2PA =，E 为AB 的中点，则四面体B PEC -的体积为________________．

【答案】3

【解析】

侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ∴是四面体P BCE -的高，

底面ABCD 是边长为2的菱形，

60BAD ∠=，2,120AB BC EBC ∴==∠=，E 为AB 的中点，1,BE ∴=∴三角形BCE 的面积

∴四面体B PEC -的体积等于四面体P BCE -的体积，

学-科网 调研 3 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，111160B A A C A A ∠=∠=，

14,1AA AC AB ===．

（1）求证：1111A B B C ⊥；

（2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积．

【答案】（1）见解析；（2）．

在11OA B △中，∵1160OA B ∠=︒，111A B AB ==，12OA =，

∴2

114212cos603OB =+-⨯⨯⨯︒=，解得1OB =

∴222

1111OA OB A B =+，∴111A B OB ⊥，

又11OB OC O =，1OB ⊂平面11OB C ，1OC ⊂平面11OB C ，

∴11A B ⊥平面11OB C ，

∵11B C ⊂平面11OB C ，∴1111A B B C ⊥．

（2）依题意，111111

2sin60232

ABB A S A B AA =⨯⨯⨯⨯=四边形，

如图，在平行四边形11ABB A 中，过点1B 作11B E AA ⊥于点E ， 过点O 作1OF BB ⊥于点F ，连接1C F ， 则1OFB E 为矩形，∴1OF B E =，

由（1）知1OC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，∴11BB OC ⊥， ∵1BB OF ⊥，1

OC OF O =，1OC ⊂平面1OC F ，OF ⊂平面1OC F ，

∴1BB ⊥平面1OC F ，

∵1C F ⊂平面1OC F ，∴11C F BB ⊥，1113sin602

B E A B ==，

在1Rt OC F △中，1OC =1OF B E ==

，∴1C F ==，

∴1111BCC B S BB C F =⨯=四边形，又114ACC A S =⨯=四边形

∴三棱柱111ABC

A B C ﹣的侧面积S ==

☆技巧点拨☆

求解几何体的表面积或体积的方法：

（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．

（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．

（3）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用．