2024年“江南十校”高一年级5月份阶段联考数学试卷答案

2024年“江南十校”高一阶段联考数学参考答案
一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C C A B A
B
二、选择题：本大题共3个题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分。

题号
9 10
11
答案BC ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．0
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）
【解析】（1）OA
在OB
方向上的投影向量为：
2
1
(1(
2
||
OA OB
OB
OB
⋅
⋅==
．…………5分（2）因为(1)
OC OA OB
λλ
=-+
，则()
OC OA OB OA
λ
-=-
，
即AC AB
λ
=
，又AC与AB有公共点，所以A B C
、、三点共线；…………9分
222
222
||(1)2(1)
OC OC OA OB OA OB
λλλλ
==-++-⋅
2222
1
4(1)44(1)4(1)4(3
2
λλλλλλλ
=-++-=-+=-+，
当
1
2
λ=时，||
OC
13分16．（15分）
【解析】（1）在平面ABCD内取点O，作OG AD
⊥交AD于点G，作OH AC
⊥交AC于点H，作OI BC
⊥交BC于点I，
因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE 平面ABCD AD
=，
所以OG⊥平面ADE，所以OG AE
⊥，…………4分
同理OH⊥平面ACFE，OI⊥平面BCF，
所以OH AE
⊥，OH CF
⊥，OI CF
⊥
又OG OH O = ，所以AE ⊥平面ABCD ， 同理CF ⊥平面ABCD ，故//AE CF ．
…………8分
（2）连接,EC AF 交于点P ，则四棱锥-E ABCD 与-F ABCD 的公共部分为四棱锥-P ABCD ， 作PQ AC ⊥，则PQ ⊥平面ABCD ，因为2CP CF PE AE ==，所以2
3
PQ CP AE CE ==， 即23PQ =
，又四边形ABCD 的面积为1
()32
AB CD AD +⋅=，
故-12333P ABCD V =⨯⨯=15分
17．（15分） 【解析】（1）因为sin sin a c
A C
=，
则2sin 2sin()1
sin sin tan A B C a C C C +=
===+； …………6分
（2）由
sin sin b c B C =，得：1
sin b C
=，
故111cos 1
222tan sin sin tan 2
C a b c C C C C +++=
+++=++=++ …………10分
因为ABC △为锐角三角形，所以π02
5ππ
062C C ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，即ππ32C <<，所以ππ624C <<，
tan 12
C
<<
，所以周长的取值范围为(32++． …………15分
18．（17分）
【解析】（1）在圆1O 上取点1C 使11//CC BB ，则1CC ⊥圆1O ， 连接1C E ，因为CE MN ⊥，1CE CC C = ，
所以MN ⊥平面1CC E ，则1MN C E ⊥， …………3分 因为1111112A C AC O A O C ====，所以1160EA C ∠=︒， 又13A E =
，则1EC ==，
22
11cos A EC ∠==，
…………5分
取MN 中点F ，则1O F MN ⊥
，111cos cos EO F A EC ∠=∠=
所以111cos O F O E EO F =⋅∠=
，则MN ==9分
（2）取OA 中点G ，11O A 中点1G ，连接11CG CG GG 、
、，则CG AB ⊥，111CG A B ⊥， 记平面11A CB 与平面ACB 的公共交线为l ，
因为11//AB A B ，AB ⊄平面11A CB ，11A B ⊂平面11A CB ，
所以//AB 平面11A CB ，则//AB l ，11//A B l ，
所以1G CG ∠即平面11A CB 与平面ACB 的夹角，…14分 因为11CG GG ==，所以1tan G CG ∠=，
130G CG ∠=︒，即平面11A CB 与平面ACB 的夹角为30︒．
…………17分
19．（17分） 【解析】（1）由
2sin a R A =得1
sin 2
A =，因为ABC △为锐角三角形，所以30A =︒， 由题知1130
B A
C C AB ∠=∠=︒，故1190B AC ∠=︒， …………2分
又111211A B C S C =
△112B C =，且123AB =，同理1AC =， 由2221111AB AC B C +=得2212b c +=， 又2222cos306a b c bc =+-︒=，则bc =
…………6分
1111()()B C C B AC AB AB AC ⋅=-⋅-
cos30cos60cos6001bc b =︒-︒-︒+==． …………9分
（2）因为2221111112cos(60)B C AB AC AB AC A =+-⋅+︒，即222cos(60)12b c bc A +-+︒=， 又2222cos 6a b c bc A =+-=，所以22cos(60)6bc bc A -+︒=，则bc =，
则13sin 1
2tan ABC S bc A A
===
△， …………13分
由
2sin a R A =得[3045]A ∈︒︒，
，所以tan 1]A ∈， 所以ABC S ∈△. …………17分。