等差数列基本量计算

＋45d＝20＋135＝155.故选 C.
21．(2019·课标全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝－a5.
(1)若 a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围．
解析(1)设{an}的公差为 d.由 S9＝－a5 得 a1＋4d＝0.由 a3＝4 得 a1＋2d＝4.
10
5
=
4
.
解析 令公差为
10 10 1+90 1 100 1
d,则 d=a2-a1=2a1,所以 = 5 +20 = 25 =4.
5
1
1
1
2019
11.等差数列{an}中,若 S1=1,S5=15,则2019 =( D ).
A.2019
B.1
C.1009
D.1010
5×4
解析 因为等差数列{an}中,S1=1,S5=15,所以 S15=5×1+
d＝40.
d＝3.
2
法二：由 S5＝5a3＝40，得 a3＝8.所以 a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝
19，得 d＝3.所以 a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.
14.已知数列{an}是等差数列，若 a1＝2，an＝－26，Sn＝－84，求公差 d；
－26＝2＋（n－1）d，
7
7（a1＋a7）
2 2
所以 2a3＝ a3 ，又 an＞0，所以 a3＝7.因为 S7＝
＝7a4＝63，所以 a4
7
2
＝9.所以 d＝a4－a3＝2，所以 an＝a3＋(n－3)d＝2n＋1.
16.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3＋a5＝4，S15＝60，则 a20＝(
A．4
B．6
7
解析法一：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得
7a1＋21d＝63，
1
a1＋2d＝ （a1＋2d）2，
a1＋2d＝7，
7
即
又因为 an＞0，所以 a3＝a1＋2d＞0，所以
a1＋3d＝9，
a1＋3d＝9，
a1＝3，
所以
所以 an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
d＝2，
2 2
法二：设等差数列{an}的公差为 d.因为{an}是等差数列，且 a1＋a5＝ a3 ，
d，把 a1＝2 代入，得 d＝－3，∴a5＝2＋4×(－3)＝－10.
2
故选 B.
19.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3=5,且 S1,S5,S7 成等差数列,则数列{an}
的通项公式 an=
2n-1
.
解析 设等差数列{an}的公差为 d,因为 a3=5,且 S1,S5,S7 成等差数列,
等差数列基本量计算
一．等差数列的基本概念
当n≥2时an－an－1＝d(d为常数)
(1)定义：数列{an}满足____________________________，
则称数列{an}为等
差数列．
a1＋(n－1)d
(n－m)d
(2)通项公式：an＝__________＝a
(m，n∈N*)．
m＋________
2019×2018
2019 2019×1+
2
d=1,所以2019 =
2019
×1
=1010.
2
d,即 15=5+10d,解得
12.(2019 年全国Ⅰ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.已知 S4=0,a5=5,则
(
A ).
A.an=2n-5
解析 因为
4
B.an=3n-10
2
C.Sn=2n -8n
×1＝25.
2
方法二：设等差数列{an}的公差为 d，因为 a2＋a6＝2a4＝2，所以 a4＝1，所
a4－a1 1－（－2）
10×9
以 d＝
＝
＝1，所以 S10＝10×(－2)＋
×1＝25.
3
2
4－1
10.(2019 年全国Ⅲ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a1≠0,a2=3a1,则
于是 a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为 an＝10－2n.
n（n－9）d
(2)由(1)得 a1 ＝－4d，故 an ＝(n－5)d，Sn＝
.由 a1>0 知 d<0，故
2
Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0，解得 1≤n≤10.所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，
n∈N}．
+ 2 = 5 ,
所以
1 + 7 1 + 21 = 10
1
= 1,
解得 1
所以 an=2n-1.
= 2,
1 + 20,
20.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a4＝11，且 S3，S5，a22 成等差数列，则 S10
＝(
C
)
A．145
B．150
C．155
D．160
3（a1＋a3）
解析设等差数列{an}的公差为 d，因为 a4＝11，所以 S3＝
＝3a2＝3(11
2
－2d)，S5＝5a3＝5(11－d)，a22＝11＋18d，因为 S3，S5，a22 成等差数列，所以 3(11
－2d)＋11＋18d＝10(11－d)，所以 d＝3，a1＝a4－3d＝11－9＝2，所以 S10＝10a1
＝
8－4
2.
18．(2018·课标全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，
则 a5＝(
B
)
3×2
A．－12
B．－10
C．10
D．12
3a1＋
d
解析 ∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，3S3＝S2＋S4，a1＝2，∴3×
2
4×3
＝a1＋a1＋d＋4a1＋
a2=a1+d=1,Sn=na1+
(−1)
2
d=
(+1)
4
.
7. [2020年上海卷]已知 {
1 +2 +⋯+9
10
解析 由
1
2
+
10
1
+
10
=
=
27
.
8
9 ，得
1 + = 0. 即
1
=
1 +2 +⋯.+9
−.
10
=
8.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=4,S4=22,an=28,则 n=(
3.若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差
为
2d
.
4.若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
5.若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差
为
md
的等差数列.
等差数列基本量的求法
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，
所以 an=-4d+(n-1)d=(n-5)d,令(n-5)d=0(d≠0),解得 n=5.
3. 已知两个数列 ,
⋅
则 2 1
2 ⋅1
1 , 2 , 3 , 与 , 1 , 2 , 都是等差数列，且
≠ ,
3
= ________.
4
解析 因为
2−
1
1
4
1
3
= ( − ), 2 − 1 = ( − ), 所以
B.52
C.54
D.56
的公差为 d,则 a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=16,
解得 d=4,所以 a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=3×(2+16)=54.
2.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a3+a9=a10-a8.若 an=0,则 n
=
5
.
解析 因为 a3+a9=a10-a8,所以 a1+2d+a1+8d=a1+9d-(a1+7d),解得 a1=-4d,
D ).
D.10
9, 则
9．(2020·课标全国Ⅱ，文)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1＝－2，a2＋a6
25
＝2，则 S10＝________．
解析
方法一：设等差数列{an}的公差为 d，则由 a2＋a6＝2，得 a1＋d＋a1
10×9
＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得 d＝1，所以 S10＝10×(－2)＋
C．10
C
)
D．12
a3＋a5
解析由题意得 a4＝
＝2，S15＝15a8＝60，则 a8＝4，所以 a20＝a4＋4(a8－a4)
2
＝2＋4×(4－2)＝10.故选 C.
17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S8＝a8＝8，则公差 d＝(
1
A.
4
1
B.
2
C．1
D
)
D．2
a8－a4
解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7.Sn=2n -2n
+ 6 = 0,
1 = -3,
所以
所以 an=2n-5.
+
4
=
5,

=
2,
1
1
13.已知数列{an}是等差数列，若 a2＋a5＝19，S5＝40，求 a10；
a1＋d＋a1＋4d＝19，
a1＝2，
5×4
解析法一：由已知可得 5a1＋
解得
所以 a10＝a1＋9d＝29.
A.3
=
27
= _________.
8
91 + ×9×8(−1 )
1
} 是公差不为零的等差数列，且 1
B.7
C.9
(22-4 2 )
=3,a1=a2-d=42
解析 因为 S4=a1+a2+a3+a4=4a2+2d=22,所以 d=
3=1,an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.由 3n-2=28,得 n=10.
①
解析 －84＝2n＋n（n－1）d，
②
2
由①得(n－1)d＝－28，代入②式，得
n
14
－84＝2n＋ ·(－28)，解得 n＝7.所以 d＝－ .
2
3
2
15.已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，且满足 a1＋a5＝ a32，S7＝63.求数
7
列{an}的通项公式．
2
a1＋a1＋4d＝ （a1＋2d）2，
的前 5 项和为
4.在等差数列{an}中,a1=1,a5=13,则数列
5
2 −1
2 −1
5
解析 数列{an}的前 5 项和为2(a1+a5)=2(1+13)=35.
3
4
= .
35
.
5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a8=12,S8=40,则数列{an}的公差
2
d=
.
8( 1+ 8)
解析 因为 S8=
=40,所以 a1+a8=10,因为 a8=12,所以
2
8- 1
a1=-2,所以 d=
=2.
8-1
6. 已知 {
} 为等差数列，
( + 1)
= _______________.
4
为其前 项和.若
1
=
1
,
2 2
=
1
2
3, 则 2
= ______，
1
1
2
解析 设等差数列{an}的公差为d,则2a1+d=a1+2d,将a1= 代入得d= ,所以
知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d
是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=16,则 a4+a5+a6 等于( C ).
A.50
解析 设等差数列
n（n－1）
（a1＋an）n
na1＋
d
2
(3)前 n 项和公式：Sn＝______________＝___________．
2
(4)a，b
a＋b
的等差中项为________．
2
二 等差数列的常用性质
1.通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,m∈N*).
2.若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an .