七年级数学专题训练巧解时钟问题含答案

七年级数学专题训练巧解时钟问题
1. 同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：
(1)三点整时，时针与分针所夹的角是______度；
(2)7点25分时，时针与分针所夹的角是______度；
(3)一昼夜(0点到24点)时针与分针互相垂直的次数有多少次？
[解析] (1)看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示30°，3×30°＝90°；(2)方法
同(1)，2
5
12
×30°＝72.5°；(3)时针与分针垂直时，夹角为90°，先得到经过多少分钟就能垂
直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可．
解： (1)90
(2)72.5
(3)设一次垂直到下一次垂直经过x 分钟，则
6x －0.5x ＝2×90，5.5x ＝180，x ＝ 360
11
.
24×60÷360
11
＝24×60×11
360
＝44(次)．
答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．
2. 在下午2点到3点之间，时钟的时针和分针何时重叠？
[解析] 2点时，分针在时针后60°，一段时间后分针追上了时针(重叠)，即在相同的时间内，分针比时针多跑60°(如图4－T －14)．这道题可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝开始时两者的距离(60°)．
图4－T －14
解： 设2点x 分时，时钟的时针和分针重叠，x 分钟内，时针转过0.5x °，分针转过6x °.
则6x －0.5x ＝60，
解得x ＝120
11
.
答：2点120
11
分时，时钟的时针和分针重叠．
3. 在某地大地震后，许许多多志愿者到灾区投入抗震救灾行列中．志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门她看到钟表上的时针与分针正好是重合的，下午两点多她拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线．问小方是
几点钟去为灾民服务的？几点钟回到家的？共用了多长时间？
[解析] 在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°，时针转动
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
112°.依据这一关系列出方程，可以求出． 解： 设8点x 分时，时针与分针重合，则x －1
12x ＝40，解得x ＝48011.即8点480
11分时
出门．
设2点y 分时，时针与分针方向相反，则y －1
12y ＝10＋30，解得y ＝480
11，即下午2
点480
11
分时回家． 14点48011分与8点48011
分相差6小时．
答：共用了6个小时．
4. 纪璇同学晚上6点多钟开始做作业时，她发现钟表上时针和分针的夹角为120°，做完作业后，
她发现钟表上时针和分针的夹角还是120°，但这时已近晚上7点了．问纪璇同学做作业用了多长时间？(精确到分)
[解析] 6点整时，时针和分针在一条直线上，它们的夹角为180°，开始做作业时，分针在时针后120°，做完作业后，分针追到时针前120°，即在相同的时间内，分针比时针多跑240°(如图4－T －15)．这道题也可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝240°.
图4－T －15
解： 设她做作业用了x 分钟，由题意得
6x －0.5x ＝240.解得x ＝480
11
≈44(分)．
答：她做作业用了约44分钟．
这种解时钟问题的方法你掌握了吗？不妨给自己出道题试试看．
5. 某钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？
[解析] 先求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角；再根据表盘共被分成60小格，每一大格所对角的度数为30°，每一小格所对角的度数为6°，即可求出晚上9时35分20秒时，时针与分针间隔的分钟的刻度，从而求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有的小彩灯个数．
解： 晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角为
9×30°＋35×0.5°＋20÷60×0.5°－(7×30°＋20÷60×6°)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
75 23°，
75 2
3
÷6≈12.6(个)．
故时针与分针所夹的角α内装有12只小彩灯．
专题训练(二)——正方体的展开图
类型之一识别正方体的展开图
1．下列图形是正方体的展开图的是( )
图6－ZT－1
[解析] C A图中四个相连的正方形可围成正方体的侧面，另两个正方形无法围成正方体相对的底面，所以排除选项A.因为B图中含有“凹”字，D图中含有“田”字，所以均被排除．C 图属于“一四一型”，故选C.
2．一个长方体的展开图如图6－ZT－2所示，其表面积是________，体积是________．
图6－ZT－2
[答案] 4ab＋2b2 ab2
[解析] 由展开图可知，这个长方体的6个表面中有2个面是边长为b的正方形，有4
个面是长为a，宽为b的长方形．
3．将如图6－ZT－3所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去________(填序号)．
图6－ZT－3
[答案] 1或2或6
[解析] 根据有“田”字形结构的展开图都不是正方体的展开图，可知应剪去1或2或6.
4．[菏泽中考] 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图6－ZT －4的几何体，其展开图正确的为( )
图6－ZT－4
图6－ZT－5
[解析] B选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合，故选择B.
类型之二根据展开图识别正方体的相对面和相邻面
图6－ZT－6
5．[贵港中考] 如图6－ZT－6是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“共”字一面相对的面上的字是( )
A．美B．丽C．家D．园
[解析] D构成相对面的是“共”与“园”，“建”与“丽”，“美”与“家”，所以选D.
6．一个正方体的展开图如图6－ZT－7所示，每个面上都标注了字母，若从正方体的右面看是面D，面C在后面，则正方体的上面是( )
图6－ZT－7
A．面E B．面F
C．面A D．面B
[答案] A
7．[恩施州中考] 正方体的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图6－ZT－8是其三种不同的放置方式，与数字“6”相对的面上的数字是( )
图6－ZT－8
A．1 B．5 C．4 D．3
[答案] B
8．如图6－ZT－9是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是________．
图6－ZT－9
[答案] 6
[解析] 相对面上的数字分别是1与5，2与6，3与4，它们的和分别是6，8，7，其最小值是6.
9．一个正方体相对的两个面上的点数和都等于7，在图6－ZT－10所示的两个展开图的各空白面分别画上适当的点数．
图6－ZT－10
解：如图6－ZT－11所示．
图6－ZT－11
10．立方体的六个面上标着连续的整数，它的展开图如图6－ZT－12所示，若相对的两个面上所标数的和相等，求这六个数的和．
图6－ZT－12
解：由图可知，六个连续的整数必定包括4，5，6，7，因此六个连续的整数可能是2，3，4，5，6，7或3，4，5，6，7，8或4，5，6，7，8，9.由于相对面上的数字之和相等，且4，5，7是相邻面，所以六个数只可能是以上第三种，此时相对面是4与9，5与8，6与7.它们的和为13×3＝39.
专题训练(三)——线段或角的计算
类型之一线段的和差倍分计算
1．如图7－ZT－1，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8 cm，BC ＝2 cm，则MC的长是( )
图7－ZT －1
A ．2 cm
B ．3 cm
C ．4 cm
D ．6 cm
[解析] B 由图可知AC ＝AB －BC ＝8－2＝6(cm )．∵点M 是AC 的中点，∴MC ＝1
2AC
＝3(cm )．
2．将一把刻度尺如图7－ZT －2所示放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm )，刻度尺上的“0 cm ”和“8 cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则x 的值为( )
图7－ZT －2
A ．4.2
B ．4.3
C ．4.4
D ．4.5
[解析] C 由图可知x ＝8－3.6＝4.4.
3．如图7－ZT －3所示，C ，D 是线段AB 上的两点，已知BC ＝14AB ，AD ＝1
3AB ，AB
＝12 cm ，则DC 的长为________．
图7－ZT －3
[答案] 5 cm
[解析] 因为BC ＝12×14＝3，AD ＝12×13
＝4， 所以DC ＝12－(4＋3)＝5(cm )．
4．已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝3 cm ，则线段AC ＝____________．
[答案] 5 cm 或11 cm
[解析] (1)如图7－ZT －4①，当点C 在线段AB 上时，AC ＝AB －CB ＝8－3＝5(cm )；
图7－ZT －4
(2)如图6－ZT －1②，当点C 在线段AB 的延长线上时，AC ＝AB ＋BC ＝8＋3＝11(cm )． 所以AC ＝5 cm 或11 cm .
5．已知：如图7－ZT －5，B ，C 为线段AB 上的两点，且AB ＝12BC ＝13
CD ，AD ＝18. (1)求BC 的长；
(2)图中共有多少条线段？求所有线段的长度的和．
图7－ZT －5
解： (1)设AB ＝x ，则BC ＝2x ，CD ＝3x.
于是x ＋2x ＋3x ＝18，解得x ＝3.所以BC ＝2x ＝6.
(2)图中共有6条线段，它们是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，
这些线段的长度的和为3AD ＋BC ＝3×18＋6＝60.
类型之二 角的和差倍分计算
6．已知∠AOB ＝90°，OC 是它的一条三等分线，则∠AOC 等于( )
A ．30°或60°
B ．45°或60°
C ．30°
D ．45°
[解析] A 一个角的三等分线共有2条．
7．若一个角的余角比它的补角的12
少20°，则这个角为( ) A ．30° B ．40° C ．60° D ．75°
[解析] B 设这个角为x °，则依题意可列方程90－x ＝12(180－x)－20， 解得x ＝40.所以选B .
8.在直线AB 上任取一点O ，过点O 作射线OC ，OD ，使∠COD ＝90°，当∠AOC ＝30°时，∠BOD 的度数是( )
A ．60°
B ．120°
C．60°或90°D．60°或120°
[解析] D如图7－ZT－6(1)所示，∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD＝180°－30°－90°＝60°；如图7－ZT－6(2)所示，∠AOD＝90°－∠AOC＝90°－30°＝60°，∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－60°＝120°.故选D.
图7－ZT－6
9．一副三角板如图7－ZT－7所示放置，则∠AOB＝________．
图7－ZT－7
[答案] 105°
10．如图7－ZT－8，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，∠AOD＝120°.则∠BOD＝________°，∠AOC ＝________°.
图7－ZT－8
[答案] 100 60
[解析] ∠BOD ＝56∠AOD ＝56
×120°＝100°， ∠AOC ＝12∠AOD ＝12
×120°＝60°. 11．如图7－ZT －9，∠AOB ＝90°，OD 平分∠BOC ，∠AOC ＝2∠1，则∠1＝________度．
图7－ZT －9
[答案] 67.5
[解析] ∵OD 平分∠BOC ，
∴∠BOC ＝2∠1.
∵∠AOC ＝2∠1，
∴∠BOC ＝∠AOC ＝12×(360°－∠AOB)＝12
×(360°－90°)＝135°， ∴∠1＝12
∠BOC ＝67.5°. 12．如图7－ZT －10，点O 在直线BC 上，∠1与∠2互余，OE 平分∠AOC ，∠1＝27°20′.求∠2，∠3的度数．
图7－ZT －10
解： 因为∠1与∠2互余，
所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′. 因为OE 平分∠AOC ，
所以∠3＝12(180°－∠1)＝12
×(180°－27°20′)＝76°20′.。