正弦定理的5种证明方法

正弦定理的5种证明方法
在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为，则这就是正弦定a b c 、、,sin sin sin a b c A B C
==理．
在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．证法一 三角形高法
是⊿ABC 的边上的高；
sin ,sin a B b A c 是⊿ABC 的边上的高；
sin ,sin a C c A b 是⊿ABC 的边上的高．
sin ,sin b C c B a 根据这个几何意义，定理证明如下：
作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．
sin sin a B b A =所以
，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C
=因此.sin sin sin a b c A B C == 证法二 三角形外接圆法
是⊿ABC 的外接圆直径． 根据这个几何意义，定理证明如下：,,sin sin sin a b c A B C
作锐角三角形ABC 的外接圆直径CD ，连结DB ．根据同弧
所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，
∠A=∠D, ∠DBC=90°,（为⊿ABC 的外接圆半2CD R =R 径）．
所以，所以．sin sin 2CB a A D CD R ==
=2sin a R A
=同理．2,sin b R B =2sin c R C
=因此．2sin sin sin a b c R A B C ===
证法三 三角形面积法
是三角形ABC 的面积．1sin ,2ab C 1sin ,2bc A 1sin 2
ac B 根据这个几何意义,定理证明如下：
作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．
sin a B 所以三角形ABC 的面积．11sin 22
S AB CD ac B =
= 同理 所以 1sin ,2S ab C =1sin ,2S bc A =1sin 2bc A =1sin 2ac B 1sin ,2
ab C =同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C ==证法四 向量的数量积法
把变形为．sin ,sin a B b A cos(),cos()2
2a B b A ππ
--则在锐角三角形ABC 中,作高CD,则分别是向量cos(),cos()22a CD B b CD A ππ-- 与向量的数量积．,CB CA CD 利用这个几何意义，定理证明如下：
作锐角三角形ABC 的高CD ．因为=,所以0==(),
AB CB CA - AB ∙CD CB CA - ∙CD 所以，所以,CB CD CA CD ∙=∙ cos()cos()22
a CD B
b CD A ππ-=- 即sin sin .
a B
b A =所以
，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C
=因此．sin sin sin a b c A B C ==证法五 如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,
利用坐标法．
　证明如下：
　以C 为原点,以射线CA 为轴的正半轴建立平面直角坐标系,
x ）
且使点B 落在轴的上方,则AC 边上的高即为B 点的纵坐标.
x 根据三角函数的定义, B 点的纵坐标．
sin h a C =所以三角形ABC 的面积．11sin 22S bh ab C =
=同理 ．1sin ,2S ac B =1sin 2
S bc A =所以111sin sin sin ,222
bc A ac B ab C == 同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C
==这种证法之所以避开分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义,前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.。