武汉大学大一高数下五年期末考试试题

D
[ey f (y) + y − x] dσ ≥ (e − 1)
பைடு நூலகம்
1 0
f (y) dy. 其中 D = {( x, y)|0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
3
武汉大学 2007 – 2008 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (36 分) 试解下列各题 ⎧ ⎪ ⎪ 2x + y = 0 x y z ⎨ 1. (6 分) 求通过直线 ⎪ 且平行于直线 = = 的平面方程. ⎪ ⎩ 4 x + 2y + 3z = 6 1 2 4
x2 y2 z2 + + 在点 M (1, 2, 3) 处的梯度及方向导数的最大值. 6 12 18
x2 + y2 在点 (0, 0) 处的连续性, 偏导数的存在性.
4. 已知以 2π 为周期的连续函数 f ( x) 的傅里叶系数为 a0 , an , bn (n = 1, 2, · · · ), 求函数 f (− x) 的傅里叶系数.
D
∂2 z . ∂ x ∂y
xy d x dy, 其中 D = {( x, y)| x2 + y2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
0 −1
6. (6 分) 交换积分次序
dx
1− x 2 x +1
√
f ( x, y) dy.
二. (10 分) 求函数 z = x + y +
1 ( x > 0, y > 0) 的极值. xy
x2 + y2 = 0
性. 三. (10 分) 验证变换 x = et 可将微分方程 x2 微分方程
d2 y dy −3 + 2y = tet 的通解. dt dt2
2 2 2
dy d2 y dy d2 y − 2 x + 2 y = x ln x 变 换 为微 分方 程 −3 + 2y = tet ; 并求 dx dt d x2 dt 2
二. (10 分) 函数 z = z( x, y) 由方程 x − az = sin(y − bz) 所确定, a, b 是不全为零的常数, 证明: a
y ∂2 z 三. (12 分) 设 z = x2 f (u), 而 u = , 其中 f (u) 二阶可导, 求 . x ∂ x ∂y
∂z ∂z + b = 1. ∂x ∂y
∑︀
2 xz2 dy dz + y(z2 + 1) dz d x + (9 − z3 ) d x dy, 其中
∑︀
为曲面 z = x2 + y2 + 1 (1 ≤ z ≤ 2),
取下侧. 七. (10 分) 设函数 ϕ( x) 具有连续的二阶导数, 并使曲线积分 求函数 ϕ( x).
L [3ϕ ′
( x) − 2ϕ( x) + xe2 x ]y d x + ϕ′ ( x) dy 与路径无关,
4
武汉大学 2008 – 2009 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (30 分) 试解下列各题
1. (6 分) 求解微分方程 d x dy + x = 0 满足 y| x=0 = 2 的特解 y e
2. (6 分) 求曲面 x2 + 2y2 + 3z2 = 12 在点 (1, −2, 1) 处的切平面方程. 3. (6 分) 已知级数 4. (6 分) 计算
2. 求曲面 S 2 介于 xoy 面与曲面 S 1 之间的那部分曲面面积; ∑︀ 3. 求曲面积分 I = xz dy dz + 2zy d x dz + 3 xy d x dy, 其中 为曲面 S 1 (0 ≤ z ≤ 2) 部分的下侧.
∑︀
七. (10 分) 试确定函数 g( x) 使曲线积分 L [g′′ ( x) + 9g( x) + 2 x2 − 5 x + 1]y2 d x + 7g′′ ( x) dy 与路径无关, g( x) 在全平 面上三阶导数连续, L 为单连通域 G 内自点 (0, 0) 到点 (1, 1) 的任意一条光滑曲线, 并求此曲线积分. 八. (6 分) 设函数 f ( x) 在 [0, 1] 上连续, 且单调增加, 试证
Ω
z2 d x dy dz, 其中 Ω : x2 + y2 + z2 ≤ 1.
∞ ∑︀ n=1
5. 设 lim nα [ln(1 + n) − ln n]un = 3 (α > 0), 试讨论正项级数
n→∞
un 的敛散性. 0.
三. (12 分) 设 u = f (ax − bz, ay − cz) (其中 a2 + b2 + c2
1
武汉大学 2005 – 2006 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (20 分) 试解下列各题
1. 设 L 是正方形区域 | x| + |y| ≤ 1 的边界, 计算曲线积分 2. 求数量场 u( x, y, z) = 1 + 3. 讨论函数 f ( x, y) = √︀
L
ds . | x| + |y|
L [e x
三. (12 分) 设 g( x) 具有连续导数, 曲线积分 1 1. 求满足条件 g(0) = − 的函数 g( x); 2
2. 计算
(1,1) (0,0)
+ g( x)]y d x − g( x) dy 与路径无关,
[e x + g( x)]y d x − g( x) dy 的值.
1 3 5 7 + + + + · · · 收敛, 并求其和. 2 4 8 16 ⎧ ⎪ x2 y ⎪ ⎪ ⎪ , x2 + y2 0 ⎨ 2 x + y2 五. (15 分) 1. 求函数 f ( x, y) = ⎪ 的二阶偏导数 f xy (0, 0); ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0, x2 + y2 = 0
四. (12 分)证明级数
2. 问微分方程 y′′′ − y′′ − 2y′ = 0 的哪一条积分曲线 y = y( x) 通过点 (0, −3), 在这点处有倾角 arctan 6 的切线,
且 y′′ | x=0 = f xy (0, 0).
√︀ ez → − → − → − → − 六. (15 分) 试求向量 F = i + z j + √︀ k 穿过由 z = x2 + y2 , z = 1, z = 2 所围区域的外侧面(不包含上、 x2 + y2 下底)的流量.
⎧ ⎪ x=u+v ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 六. (20 分) 设旋转抛物面 S 1 的参数方程为: ⎪ y = u − v u, v 为参数, 曲面 S 2 的方程为: x2 + (y − 1)2 = 1. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ z = u2 + v2 1. 验证曲面 S 1 的直角坐标方程为 z = 1 2 ( x + y2 ); 2
0), f 的三阶偏导数连续且 f x′2 + fy′2 x y z 1. 证明曲面 f (ax − bz, ay − cz) = 0 上任意一点处的切平面都与直线 = = 平行; b c a ∂3 u 2. 求 . ∂ x ∂y ∂z ∑︀
四. (9 分) 设曲面
是旋转抛物面 z = 5 − (y2 + x2 ) 上 1 ≤ z ≤ 5 部分的外侧, 计算曲面积分:
二. (40 分) 计算下列各题 1. 应用拉格朗日乘数法求直线 x + y − 1 = 0 距原点最近的点.
2. 求幂级数
∞ ∑︀ 1 1 x2n+1 的收敛区间, 和函数 S ( x) 以及级数 的和. n n=1 2n + 1 n=1 4 (4n + 2) ∞ ∑︀
3. 求曲面 z = xy 包含在圆柱 x2 + y2 = 1 内的部分的面积. 4. 计算三重积分
四. (10 分) 试将函数 f ( x) = x arctan x 展成 x 的幂级数. 五. (10 分) 设 f ( x, y, z) = x3 − xy2 − z, (1) 求 f ( x, y, z) 在点 P0 (1, 1, 0) 处的梯度及方向导数的最大值; (2) 问: f ( x, y, z) 在哪些点的梯度垂直于 x 轴. 六. (10 分) 计算曲面积分 I =
x2 + y2 平行于平面 2 x + 2y − z = 0 的切平面方程. 2 √︀ x2 + y2 d x dy, 其中 D = {( x, y)|0 ≤ y ≤ x, x2 + y2 ≤ 2 x}. 3. (8 分) 计算二重积分 2. (8 分) 求曲面 z =
D
4. (8 分) 设 z = f ( x, y) 由 z − y + xe z−y− x = 0 确定, 求 dz. 5. (8 分) 将函数 f ( x) = 6. (8 分) 计算
2
六. (7 分) 计算 e−y dy
0
1
8−y2
2
2
8−y2
2
√
e− x d x .
2
2
武汉大学 2006 – 2007 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (12 分) 试解下列各题
1. 求证幂级数
∞ n+1 ∑︀ xn 在收敛域内的和函数为: f ( x) = (1 + x)e x . n= 0 n !
C
1. 求满足条件 lim 2. 计算
(1,1) (0,0)
x →0
f ( x) 1 = 的函数 f ( x); x 3
[3 x2 + y(e x + 2 f ( x))] d x + [ f ′ ( x) + f ( x)] dy 的值. √ √ e− x d x + e−y dy
2−y2 1 y
八. (8 分) 将正数 a 分为正数 x, y, z 之和, 使得 u = xm yn z p 最大, 其中 m, n, p 为已知正数.
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武汉大学 2009 – 2010 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (48 分) 计算下列各题 → − → − → − → − → − − − − − − 1. (8 分) 设向量 → a + 3 b 与 7→ a − 5 b 垂直, → a − 4 b 和 7→ a + 2 b 垂直, 求非零向量 → a , b 之间的夹角.
四. (12 分) 设有函数 f ( x, y, z) = ze−( x +y +z ) , ∂3 f ∂f , ; 1. 求 ∂y ∂y∂z∂ x 2. 求三重积分 f ( x, y, z)dv, 其中 Ω : 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4, y ≥ 0, z ≥ 0.
Ω
五. (15 分) 设有旋转抛物面方程: z = 2 − ( x2 + y2 ), 1. 在旋转抛物面位于第一卦限部分上求一点, 使该点处的切平面与三坐标面围成的四面体的体积最小; ∂V 2. 设 V = ln(4 − z)3 − 24(ln x + ln y), 其中 x = x(y, z) 由方程 z + x2 + y2 = 2 所确定, 求 |(1,1,3) . ∂z
I=
∑︀
[ x + tan( xy)] dy dz + [y + sin(yx)] dz d x + z d x dy.
五. (12 分) 设函数 f ( x) 具有二阶连续导数, 对平面内的任意分段光滑简单闭曲线 C, 有曲线积分
[3 x2 + y(e x + 2 f ( x))] d x + [ f ′ ( x) + f ( x)] dy = 0.
D ∞ (−1)n n4 ∑︀ 的敛散性, 若收敛, 是条件收敛还是绝对收敛? 2n n= 1 ∞ ∑︀ n=1
an ( x − 1)n 在 x = −1 处收敛, 试讨论此级数在 x = 2 处的敛散性.
x2 d x dy, 其中 D 是由 y = 2 − x2 , y = x2 所围成的区域.
5. (6 分) 判别级数
2. 求函数 g( x) = x + 1 (−2 < x < 2) 的傅里叶级数的系数. ⎧ ⎪ x2 y ⎪ ⎪ ⎪ ; ⎨ 2 x + y2 二. (15 分) 讨论函数 f ( x, y) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0, x2 + y2 0
在点 (0, 0) 处偏导数的存在性, 方向导数的存在性, 可微
− − → − − → 2. (6 分) 在两边向量为 AB = {0, 4, −3}, AC = {4, −5, 0} 的 ∆ABC 中， 求 AB 边上的高 h. 3. (6 分) 求曲面 x2 + y2 + z2 = 6 在点 (1, −2, 1) 处的切平面方程和法线方程. 4. (6 分) 设 z = e xy + y2 ln x, 求二阶偏导数 5. (6 分) 计算二重积分