闵行区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(解析版)-精选

2019上海市闵行区高考数学一模试卷
一、填空题
1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则?U A＝．
2．（3分）＝．
3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝．
4．（3分）方程＝0的解为．
5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝．
6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是（用数字表示）
7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是．
9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为．
10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝．
11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．
12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．
|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：
①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）
②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；
③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1
④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．
则其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）
二、选择题
13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分必要条件
14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）
A．b?β，且b∥αB．b?a
C．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交
15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）
A．a＝b B．a＜b
C．a＞b D．a与b的大小关系不确定
16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则?的取值范围（）
A．[﹣2，2] B．[﹣] C．[﹣] D．[﹣] 三、解答题
17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．
（1）求该三棱柱的表面积；
（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．
（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；
（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点
＝0，求点M的坐标．
19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．
老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．
（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；
（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两
倍？
20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．
（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；
（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；
（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数
g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．
21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．
（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，
b n+1＝（n∈N*）．
①若a1＝1，求b1的取值范围；
②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；
（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．
2019年上海市闵行区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则?U A＝（0，3）．
【考点】1F：补集及其运算．
【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．
【分析】可求出集合A，然后进行补集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|x≤0，或x≥3}；
∴?U A＝（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【点评】考查描述法的定义，以及补集的运算．
2．（3分）＝．
【考点】6F：极限及其运算．
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】由，，可得＝＝．【解答】解：＝．
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了极限及其运算，属简单题．
3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝2﹣i．
【考点】A5：复数的运算．
【专题】34：方程思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算性质即可得出．
【解答】解：（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），∴（1﹣2i）（1+2i）z＝（1﹣2i）（4+3i），∴5z＝10﹣5i，可得z＝2﹣i．
故答案为：2﹣i．
【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（3分）方程＝0的解为log25 ．
【考点】OM：二阶行列式的定义．
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．
【分析】利用行列式展开法则列出方程，从而能求出结果．
【解答】解：∵方程＝0，
∴2x﹣2﹣3＝0，
解得x＝log25．
故答案为：log25．
【点评】本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝256 ．
【考点】87：等比数列的性质．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，解可得q4的值，又由a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，
若a1+a2＝1，则a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，
解可得：q4＝16，
则a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2）＝256，
故答案为：256．
【点评】本题考查等比数列的性质，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．
6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是﹣80 （用数字表示）
【考点】DA：二项式定理．
【专题】11：计算题．
【分析】在（1﹣2x）5的展开式中，令通项x的指数等于3，求出r，再求系数
【解答】（1﹣2x）5的展开式的通项为T r+1＝C5r（﹣2x）r，令r＝3，得x3的项的系数是C53（﹣2）3＝﹣80
故答案为：﹣80
【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用，属于基础题．
7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．【考点】IU：两条平行直线间的距离．
【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式d＝，求出他们之间的距离．
【解答】解：两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，即两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：4x+2y+2＝0，
它们之间的距离为d＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d＝应用，注意未知数的系
数必需相同，属于基础题．
8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是[2，4] ．
【考点】34：函数的值域．
【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．
【分析】写出分段函数解析式，作出图形，数形结合得答案．
【解答】解：数f（x）＝|x﹣1|（x+1）＝．
作出函数的图象如图：
由图可知，b＝3，a∈[﹣1，1]，
则a+b∈[2，4]．
故答案为：[2，4]．
【点评】本题考查函数的值域，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为12 ．
【考点】LN：异面直线的判定．
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】结合正方体的结构特征，利用列举法能求出在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数．
【解答】解：在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，
与直线AC1异面的直线有：
A1D1，DD1，CD，A1B1，BC，BB1，B1D1，B1C，D1C，BD，A1D，A1B，
共12条．
故答案为：12．
【点评】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知
识，考查推理能力与计算能力，是基础题．
10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝0 ．
【考点】HR：余弦定理．
【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】由余弦定理和三角形面积公式得sin C﹣cos C＝1，结合平方关系得答案．
【解答】解：∵4S＝（a+b）2﹣c2，
∴4×ab sin C＝a2+b2﹣c2+2ab，
由余弦定理得：2ab sin C＝2ab cos C+2ab，
∴sin C﹣cos C＝1，又∵sin2C+cos2C＝1，
∴sin C cos C＝0，又∵在△ABC中，sin C≠0，
∴cos C＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式、平方关系，考查计算能力．
11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．
【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．
【分析】首先解决，结合两角差的余弦可以得到的模，即对应点的轨迹，进而得
到对应点的轨迹，问题得解．
【解答】解：∵，
∴
＝2+2cos（α﹣β）
＝3，
令，
则||＝，
∴D点轨迹为以原点为原心，半径为的圆，
令，
则||＝||＝1，
∴C点轨迹是以原点为原心，
半径为的两个圆及其之间的部分，
∴最大值为，
即||最大值为．
故答案为：．
【点评】此题考查了向量的模与点的轨迹，三角公式等，难度不大．
12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．
|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：
①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）
②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；
③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1
④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．
则其中正确的结论是①②③④（写出所有正确结论的序号）
【考点】2K：命题的真假判断与应用；8H：数列递推式．
【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由常数列，结合新定义可得a n＝0，可判断①；由等差数列的定义和单调性，可判
断②；
由等比数列的定义和单调性可判断③；
假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，根据第二数学归纳法可
判断④．
【解答】解：①，若数列{a n}是常数列，由|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}，
可得max{a1，a2，…，a n﹣1}＝0，则a n＝0（n∈N*），故①正确；
②，若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝|d|，
若d＞0，即有数列递增，可得d＝a n，即数列为常数列，不成立；
若d＜0，可得数列递减，可得﹣d＝a1成立，则d＜0，故②正确；
③，若数列{a n}是公比为q的等比数列，若q＝1可得数列为非零常数列，不成立；
由|a2﹣a1|＝a1，可得a2＝0（舍去）或a2＝2a1，即有q＝2＞1，a1＞0，则数列递增，
由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝a n﹣1，可得a n﹣a n﹣1＝a n﹣1，可得a n＝2a n﹣1，则q＞1，故③正确；
④，假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，
则|a i+1﹣a i|＝max{a1，a2，…a i}＝a i，因此a i+1是a i的倍数，
假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，
则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a i，a i+1…，a i+k﹣1}，故a i+k是a i的倍数，假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，
则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a1，a i+1，…，a i+k﹣1}，因此，a i+k也是a i的倍数，
由第二数学归纳法可知，对任意n≥i，a n都是a i的倍数，
又存在正整数T，对任意正整数n，都有a T+n＝a n，故存在正整数m≥i，a m＝a1，故a i是a1的倍数，
但a i＞a1，故a1不是a i的倍数，矛盾，故a i是数列{a n}的最大值．故④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查数列新定义问题，考查等差数列和等比数列的定义的运用，考查举例法
和数学归纳法的运用，属于综合题．
二、选择题
13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】首先找出＞﹣1的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断
即可．
【解答】解：＞﹣1?a＜﹣1或a＞0，
∵a＜﹣1?a＜﹣1或a＞0，
a＜﹣1或a＞0推不出a＜﹣1，
∴“a＜﹣1”是“＞﹣1”的充分非必要条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解
决本题的关键．
14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）
A．b?β，且b∥αB．b?a
C．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】以正方体ABCD﹣A1B1C1D1为载体，能求出结果．
【解答】解：由a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，知：
在A中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，
C1D1?平面ABCD，且C1D1∥AB，
∴b?β，且b∥α有可能成立，故A错误；
在B中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，
C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，
∴b?a有可能成立，故B错误；
在C中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，
C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，
∴b∥α，且b∥β有可能成立，故C错误；
在D中，b与α，β都相交不可能成立，故D成立．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知
识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）
A．a＝b B．a＜b
C．a＞b D．a与b的大小关系不确定
【考点】4R：反函数．
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】问题转化为函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点．【解答】解：依题意得：函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点，即＝x2，x2＝＝≥a2，
∴b2＞a2，∴b＞a，
故选：B．
【点评】本题考查了反函数．属基础题．
16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则?的取值范围（）
A．[﹣2，2] B．[﹣] C．[﹣] D．[﹣] 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】11：计算题；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．
【分析】首先去绝对值，得到曲线，并发现垂直关系，从而找到向量的射影，得解．【解答】解：去绝对值整理后知，曲线为菱形BCDE，
易知CD⊥AN，BE⊥AN，
故当点M在曲线上运动时，
在上的射影必在FN上，
且当M在CD上时得到最大值，在BE上时得到最小值，
最大值为＝＝2，
最小值为﹣2，
故选：A．
【点评】此题考查了曲线方程，数量积，射影等，难度适中．
三、解答题
17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．
（1）求该三棱柱的表面积；
（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．
【分析】（1）该三棱柱的表面积S＝2S△ABC+3，由此能求出结果．
（2）取AC中点E，连结DE，C1E，则DE∥AB，从而∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C1D所成角的大小．
【解答】解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，
∴该三棱柱的表面积：
S＝2S△ABC+3
＝2×+3×2×2
＝12+2．
（2）取AC中点E，连结DE，C1E，
∵D为棱BC的中点，∴DE∥AB，DE＝＝1，
∴∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角（或所成角的补角），
DC1＝EC1＝＝，
cos∠C1DE＝＝＝，
∴∠C1DE＝arccos，
∴异面直线AB与C1D所成角的大小为arccos．
【点评】本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、
线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．
（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；
（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点
＝0，求点M的坐标．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）根据抛物线的定义可得；
（2）设出直线l：y＝2x+b，并代入抛物线，根据韦达定理以及x1x2+y1y2＝0解得b，然后求得M（4，0）．
【解答】解：（1）由抛物线的定义得：1﹣（﹣＝3，解得：p＝4，
所以抛物线C的方程为：y2＝8x；
（2）p＝2时，抛物线C：y2＝4x，
设直线l：y＝2x+b，并代入抛物线C：y2＝4x得：4x2+（4b﹣4）x+b2＝0，
△＝（4b﹣4）2﹣16b2＞0，解得
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝1﹣b，x1x2＝，
∵?＝x1x2+y1y2＝x1x2+（2x1+b）（2x2+b）＝5x1x2+2b（x1+x2）+b2
＝+2b（1﹣b）+b2＝0，解得b＝0或b＝﹣8
当b＝0时，M（0，0）不在x轴正半轴上，舍去；
当b＝﹣8时，M（4，0）
故点M的坐标为（4，0）
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合．属中档题．
19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．
老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．
（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；
（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两
倍？
【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．
【分析】（1）对照图象可求出a，ω，φ以及ABC的解析式；
（2）先根据对称性求出DEF段的解析式，再令函数值等于24，解出x＝60，可得．
【解答】解：（1）a＝12﹣4＝8，＝24﹣12＝12，
∴T＝48，ω＝＝，
由×24+φ＝可得φ＝，
∴f（x）＝8sin（x+）+20
＝8cos x+20，x∈[0，24]．
（2）由题意得DEF的解析式为：y＝8cos[（68﹣x）]+20，
由8cos[（68﹣x）]+20＝24，得x＝60，
故买入60﹣44＝16天后股价至少是买入价的两倍．
【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．
20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．
（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；
（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；
（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数
g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．
【考点】3E：函数单调性的性质与判断；52：函数零点的判定定理．
【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）由新定义直接化简即可得到F（x）的解析式，判断单调性可得f（x）的性质；（2）命题为假命题，可举指数函数；
（3）由新定义结合单调性和导数，解不等式可得k的范围，运用正弦函数的图象和性质，
讨论k的范围，即可得到所求零点个数．
【解答】解：（1）f（x）＝x2+2，F（x）＝（x+1）2+2﹣x2﹣2＝2x+1，
F（x）在R上递增，可知f（x）具有性质A；
（2）命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：f（x）＝0.5x，
F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝﹣0.5x+1在R上递增，f（x）具有性质A；
（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，
可得F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝k（x+1）2+（x+1）3﹣kx2﹣x3＝3x2+（3+2k）x+1+k
在x≥0递增，可得﹣≤0，解得k≥﹣；
由t＝sin x（0≤t≤1），可得g（x）＝0，即f（t）＝t，
可得kt2+t3＝t，t＝0时显然成立；
0＜t≤1时，k＝，
由在（0，1]递减，且值域为[，+∞），
k＝0时，t＝0或1，sin x有三解，3个零点；
当k＝时，t＝1，即sin x＝1，可得x＝，1个零点；
当k＞时，f（t）＝t，t有一解，x两解，即两个零点；
当﹣≤k＜，且k≠0时，f（t）＝t无解，即x无解，无零点．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用新定义，考查函数的单调性，以及分类
讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．
21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．
（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，
b n+1＝（n∈N*）．
①若a1＝1，求b1的取值范围；
②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；
（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．
【考点】8H：数列递推式．
【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据基本不等式的性质以及“拟等比数列”的定义进行求解证明即可
（2）根据等差数列的通项公式以及前n项和公式，推导首项和公差d的范围，结合{c n}是“拟等比数列，建立不等式关系进行求解即可
【解答】解：（1）①∵a＞0，b＞0，且a＞b，a1＝，b1＝＜1，
∴b1∈（0，1）．
②由题意得a1＝＞＝b1，
∴当n∈N*且n≥2时，a n﹣b n＝＞0，
∴对任意n∈N*，都有a n+1﹣b n+1＝＜﹣＝（a n﹣b n），
即存在p＝，使得有a n+1﹣b n+1＜p（a n﹣b n），
∴数列数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；
（2）∵c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，
∴，?，??，由c1＞0得d＜0，从而解得﹣2018＜＜﹣2017，
又{c n}是“拟等比数列”，故存在p＞0，使得c n+1≤p c n成立，
1°当n≤2018时，c n＞0，
p≥＝＝1+＝1+，
由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，
由图象可知1+在n≤2018时递减，故p≥＝1+∈（，），2°当n≥2019时，c n＜0，
p≤＝＝1+＝1+，
由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，
由图象可知1+在n≥2019时递减，故p≤1，
由1°2°得p的取值范围是[1+，1]．
【点评】本题考查递推数列的应用，利用“拟等比数列”的定义结合等差数列的前n项和公式进行递推是解决本题的关键．查了推理能力与计算能力，运算量较大，有一定的难度．。