例谈用函数思想求解方程与不等式

例谈用函数思想求解方程与不等式
彝良县第一中学徐家永
摘要：函数是数学中的重点和难点，它惯穿整个数学中。

随着函数知识的不断深化，逐步形成了函数思想，且将这种思想方法迁移到数学的其他分支中去。

为了加深对函数的理解，本文用数形结合的函数思想谈谈如何求解方程与不等式的解集。

关键词：函数方程不等式函数思想函数意义
函数在数学教学中既是一个重点，又是一个难点，它是中学数学中的一个重要的概念和核心内容，它惯穿整个数学领域中。

初中阶段重点研究函数的概念、图象和性质，而函数图象和性质的运用贯穿整个高中数学，它是高中数学的一条主线。

随着函数知识的不断深化，逐步形成了函数思想，并且将这些重要思想方法迁移到数学的各分支中去。

所以，学好函数，是为今后学好数学打下坚实的基础。

函数是方程与不等式的扩展，它们有着密切的联系，任意两者都可以相互转化，通过转化，将问题换个说法，以便理解题意，便于问题的解决。

所以，在初中阶段，要学好函数，必须搞清函数与方程、不等式的关系。

现在本文就谈一谈初中数学中，函数与方程、函数与不等式
的关系。

1 函数与方程的关系
从形式上看，函数y=ax2+bx+c（ab≠0）可变形为ax2+bx+c-y=0（ab≠0）。

所以函数就是关于x、y的二元方程（不定方程），所有满足此方程的x、y的值在平面直角坐标系中形成了一个图象，称为函数图象。

所以函数就是关于x、y的二元方程（不定方程）。

函数y=ax2+bx+c（ab≠0）图象上的点就是关于x、y的二元方程ax2+bx+c-y=0（ab≠0）的实解。

为了方便，我们把含变量x的式子记为g（x）或者f（x）。

则相应的函数记为y= g（x）或者y= f（x）。

问题：“当x取何值时，函数y= f（x）的值为0？”与“当函数y= f（x）的值为0时，求x的值？”是两个说法不同而意思完全相同的问题。

所以，方程f（x）=0的实解是函数y= f（x）的值为0时x的值。

所以，从图象上来看，方程f（x）= 0的解是函数y= f（x）的图象与x轴的交点的横坐标。

同样，求方程g（x）= f（x）的解，就是求函数y= f（x）与y = g（x）的函数值相等的x的值。

所以方程g（x）= f（x）的实解，就是函数y = f（x）与y = g（x）在同一平面直角坐标系中的图象的交点坐标的横坐标。

图(1) 当x=m或x=n时，函数y= f（x）与y= g（x）的值都相等，所以m、n是方程f（x）= g（x）的两个实根。

图(2) 不论x为何值时，函数y= f（x）与y= g（x）的值都不相等，所以方程f（x）=g（x）无实根。

图(3) 当x=m时，函数y= f（x）与y= g（x）的值相等，所以m是方程f（x）= g（x）的一个实根。

图(4) 当x=m或x=n或x=e时，函数y= f（x）与y= g（x）的值相等，所以m 、n 、e是方程f（x）= g（x）的三个实根。

例1方程①2x-5=0 ②3x2 - 4x +1= 0 的解
5，方程
不难得到方程①的实根x =
5。

下面我们看看
②的实根x1 = 1，x2 =
3
它们的相应函数的系。

令y=2x – 5 y=3x2– 4x +1
而方程①的函数意义：“当x取何值时，
5
函数y= 2x+5的值为0？”所以当x =
2
时，y=2x–5的值为0。

如图（5），
方程②的函数意义：“当x取何值时，
函数y= 3x2–4x+1的值为0？”
5时，y=3x2–4x+1的值为0。

如图（6）所以，当x 1 = 1、x2 =
3
12
例2求解方程①x – 7 = –
x
②4x2 + 3x + 1 = 3x2 + x
分析：我们把原方程化为整式方程的一般式后，
容易解出方程①的两个根：
x 1 = 3 x2 =4
方程②的两个根：x 1 = x2 = –1。

用函数的观点来分析：
方程①的相应函数y= x – 7与
12。

而方程①的函数意义是“当x
y= –
x
12的
为何值时，函数y= x – 7与y = –
x
值相等。

”
12的值如图（7），所以，x = 3或x = 4，函数y = x – 7与y = –
x
相等。

方程②的相应函数y= 4x2 + 3x + 1 与
y= 3 x2 + x。

而方程②的函数意义是“当x
为何值时，函数y= 4x2 + 3x + 1 与y= 3 x2
+ x的值相等”。

如图（8），所以，x =1时，
函数
y= 4x2 + 3x + 1 与y= 3 x2 + x
的值相等。

由例2可看出，例1中的两个方程的右边也可写成它相应的
函数y = 0（即x轴），同样可用例2的方法理解。

综上可知，方程的根的个数，就是它相应的函
数的交点个数或者是它相应的函数与x轴的交
点个数。

反过来
一个函数与x轴的交点个数又如何判断呢？
一次函数与x轴一定有交点，反比例函数与坐标轴无交点，在此不作讨论。

下面看看二次函数：
y = ax2 + bx + c（a ≠0 ）
与x轴的交点个数。

我们先看它相应的二次方程
ax2 + bx + c=0（a ≠0 ）
的根的情况：
（1）Δ> 0时，方程ax2 + bx + c=0（a ≠0 ）有两个不相等的实根。

（2）Δ= 0时，方程ax2 + bx + c=0（a ≠0 ）有两个相等的实根。

（3）Δ< 0时，方程ax2 + bx + c=0（a ≠0 ）无实根。

所以，当Δ> 0时，有两个实数x，使y = 0。

即函数y = ax2 + bx + c（a ≠0 ）与x轴有两个交点(如图9)。

当Δ= 0时，有一个实数x，使y = 0。

即函数y = ax2 + bx + c（a ≠0 ）与x轴有一个交点(如图10)。

当Δ< 0时，找不到一个实数x，使y = 0。

即函数y = ax2 + bx + c（a ≠0 ）与x轴没有交点(如图11)。

利用二次函数的图像和性质，解决一元二次方程根的分布问题，往往比直接用根与系数关系要简洁得多．
3 函数与不等式的关系
函数的单调性的判断与证明、求函数的定义域、值域就是将函数问题向不等式转化。

如“当x取何值时，函数y= f（x）的值大于0？”就是“求不等式f（x）>0的解集”。

反过来“求不等式f（x）>0的解集”就是“求函数y = f（x）的值大于0”的所有x值。

“求不等式f（x）>g（x）的解集”就是“函数y=f（x）的值比函数y =g（x）的值大的所有x的值”。

图(12) 不等式f（x）>0的解集：x <m或x > n
图(13) 不等式f（x）<g（x）的解集：m < x < n
图(14) 不等式f（x）≤ g（x）的解集：x ≥ m
图(15) 不等式f（x）< g（x）的解集：无解
例3 求不等式2x+1>0的解集
分析：由上述结论知不等式2x+1>0的函数意义是“当x 取何值时，函数y = 2x+1的值全为正。

”
解：令不等式2x+1>0相应的函数y =
2x+1，如图(16)
1时，函数值y > 0。

当x > -
2
1时，函数值y = 0。

当x = -
2
1时，函数值y < 0。

当x < -
2
1
所以2x+1 > 0的解集为x > -
2
例3 求不等式x2 - 2x > x - 2的解
集
分析：写出此不等式相应的函数y = x2 - 2x 和y = x – 2。

按例2的方法先求出两函数的交点。

即x2 - 2x = x - 2的两根：
x1 = 1 x2 = 2
所以，函数y = x2 - 2x 和y = x –
2的交点的坐标横为1和2，如图（17）。

的函数值大于y = x – 2的函数值的
x的范围是x<1或x>2.
利用二次函数的图像和性质，解
决一元二次不等式问题，往往比直接用因式分解要简洁得多。

一个函数综合题，往往可以将方程、不等式以及其他知识综合到一起，全面考查学生的函数观点，数形结合、分类讨论等价转化
的数学思想以及应用换元、化归、归纳、猜想等手段处理数学问题的能力。

参考资料：
1、唐兴中等价转化的几种常见方法《数学教学通讯》2003.4
2、人教版初中《代数》教材《函数及其图象》 2007.8
3、高校出版社《初中数学教学法》 2001.3。