含两组状态变量等变分歧问题开折的唯一性和稳定性
等变分歧问题开折的(Γ
（ １天水师范学 院 数学 与统计学 院 ， 甘肃 天水 ７ １０ ； ４０ １２天水市气象局 ， 甘肃 天水 ７ １０ ４ ００）
摘 要： 分歧问题开折的研究是一个重要 的内容 ， 利用光滑映射 芽奇点理 论 中的接触等 价理论 ， 定义 了分歧参 数带有
变 映射 芽 ， 记所 有这样 的 （ △）一等 变 映射芽 构成 的集合 为 Ｅ （ △） 当Ｐ ＝ｎ简记为 Ｅ （ １△） 厂， 厂， ， Ｊ， ， ｒ
记 Ｍ （ △）＝ ｛ 厂， ｆ∈Ｅ 厂， ）Ｉ ０ ＝０｝ ． （ △ ） ．
，
定义 １
若映射ｆ∈Ｅ ，， 满足厂０ ， （ △） （ ）＝０ Ｄ ＝０ 其 中Ｄ 厂 ， ， 工表示厂 对 求导， 则称 是状态
Ｒ ，）ｙ∈Ｆ， ０ ， ６∈ △｝ 当ｐ ＝几时简记为 ． ，， ， ， （ △） 由文献 ［ ］ 理 Ｘ Ｉ． ４ 定 Ｉ ８可知， ， 厂， 和 ６ Ｅ （ △）
Ｅ （ △） 厂， 都是有限生成的 （ △）一模． 厂，
把 Ｒ 上 的所有 ， 一等 变性 系线性 映射 芽组 成 的 向量 空 间记为 Ｌ， ）￡ （ Ｒ ）中含单位 ， ， Ｒ ）ｎ Ｇ （ （ 元 的 连 通 分 支 记 为 ｒ Ｒ ） ， 样 可 以定 义 △ ）．令 （ ， （ 。 同 （ 。 Ｊ △） ＝ ｛ ， ， ∈ ｒ （ ＪＡ） ｓ
构成的集合记为 （ △）它是一个有单位元 的交换环 ， 厂， ， 称为（ Ａ） 不变函数芽环． 厂， 一 若映射芽 （
×Ｒ ， ） Ｒ 满 足 ， ，Ａ）＝ ０ 一 （ ６ ， ， ， ）∈ （ ×Ｒ ，） ｙ∈ 厂， ∈ Ａ ， ４ ， （ Ａ ）一等 Ａ） Ｖ（ Ａ Ｒ ０ ， 贝 称 是 厂，
计算机程序设计员复习题含参考答案
计算机程序设计员复习题含参考答案一、单选题（共100题，每题1分，共100分）1.知识产权包括著作权和( )两部分。
A、工业产权B、名誉权C、使用权D、专利权正确答案：A2.计算机程序设计员在工作中要从客观实际出发，不懂不装懂，多向用户学习，切忌( )。
A、客户第一B、一切向钱看C、主观臆断D、服务第一正确答案：C3.( )存储一个对话框模板，模板制定了对话框的特征，包括其大小、位置、风格以及对话框中各种控件等。
A、对话框类B、单模对话框C、对话框函数D、对话框模板资源正确答案：D4.( )协议的作用是提供一个网址的具体情况，它是Internet上最古老的协议之一。
A、FingerB、GopherC、FtpD、Http正确答案：A5.软件管理按时间可划分为生产管理和( )。
A、开发进度管理B、成本管理C、技术管理D、使用维护管理正确答案：D6.( )也称为分支覆盖，是一种较强的逻辑覆盖。
A、判定覆盖B、路径覆盖C、条件覆盖D、条件组合覆盖正确答案：A7.在VC中，如果在Menu Item属性页中选择( )复选框，表示此菜单项是一个多级菜单，并且其右边将会出现一个新菜单框。
A、CheckedB、inactiveC、Pop-upD、Grayed正确答案：C8.按( )来划分，总线可以分为单向和双向两种。
A、信息的传输方向B、数据线的宽度C、总线所处的层次D、用途正确答案：A9.数据独立性是指（）A、数据库的数据依赖于用户的应用程序B、DBMS与DB相互独立C、用户应用程序与数据库的数据相互独立D、用户应用程序与DBMS相互独立正确答案：C10.概要设计的任务是( )。
A、发现并排除软件中的错误，最终把一个高质量的软件系统交付给用户使用B、实现人和计算机的通讯，产生一个机器能执行的源程序C、确定每个模块的数据结构和算法，确定模块的细节D、将软件需求说明转化为软件总体设计，确定软件结构及模块的划分，并确定各模块之间的接口正确答案：D11.( )方法的主要优点包括：与人类习惯的思维方法一致、稳定性好、可重用性好、可维护性好。
第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理
r
O
d
P(r, ) R q
处理方法：电位叠加原理：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q' 的感应电荷， 镜像电荷可采用前面的方法确定q a q, d。 a2 2、为了满足电荷守恒原理。断开接地d线，将电d量为-q'的电荷加 到导体球面上，使这些电荷均匀分布在球面上，使导体球为等势 体，且表面总电荷为零。
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
11
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
7
第3 章
解：用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 1 (
q
q
)
4π0 r 4π0 r 4π0 x2 y2 (z h)
x2 y2 (z h)2
l
2π
r r er
以r 0 为参考点，则电位
r r0
Edr
l 2π
ln
r0 r
l 2π
ln
1 r
C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷 ， 代替圆柱导体上的感应电荷.
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
普诺夫稳定性理论
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法 不稳定
如果对于某个实数>0和任一实数>0,不管这个实数多么小,由 s 内出发的状态轨线,至少有一个轨线越过s ,则称这种平衡状 态xe不稳定，
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
球应域sx (()t限)制着初的(t始边;x状界0,态。t0x)0的取值，球域s()规定了系统自由 响
非线性系统的稳定性
雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系 统及时变系统稳定性的分析的方法，雅普诺夫给出了对任 何系统都普遍适用的稳定性的一般定义，
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
系统状态的运动及平衡状态
状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为
x f [x,t]
1-1
式中：x—n维状态矢量；f—与x同维的矢量函数；是 x i和时间
表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的，
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四 种情况：雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、 不稳定，
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
雅普诺夫意义下稳定 如果系统对于任意选定的实数>0,都存在另一实数 ,t0 >0,使当：
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 x e ，对所有t，
使得：
f (xe,t) 0
(1-3)
成立，则称 x e 为系统的平衡状态。
说明:
1 对于任一个系统,不一定都存在平衡状态.
2 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不一定是唯一的.
3 当平衡态的任意小邻域内存在系统的别的平衡态时,称此平
1.2 雅普诺夫稳定性及判别方法
李雅普诺夫关于稳定性的定义
✓
线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
✓
经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下哈尔滨工程大学
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学绪论单元测试1.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
A:对 B:错答案:错2.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
A:对 B:错答案:对3.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
A:对 B:错答案:对4.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
A:对 B:错答案:对5.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）。
A:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法 B:随机系统理论中的Kalman滤波技术 C:最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划 D:最优控制理论的产生答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法;随机系统理论中的Kalman滤波技术;最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划第一章测试1.输入输出描述是描述系统输入变量和输出变量关系的模型。
A:对 B:错答案:对2.状态空间描述能完全表征系统的一切动力学特征。
A:对 B:错答案:对3.系统的状态是指能够完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。
A:对 B:错答案:对4.系统的状态空间描述是唯一的。
A:错 B:对答案:错5.坐标变换是指将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。
A:错 B:对答案:对6.当状态空间描述中的A矩阵有相同的特征值时，一定不能将其化成对角规范形。
A:错 B:对答案:错7.并联组合系统的传递函数矩阵为各并联子系统的传递函数矩阵之和。
A:对 B:错答案:对8.若两个子系统输出向量的维数相同，则可实现反馈连接。
稳定性
e f ( xe , t ) 0 t [t0 , ) 平衡状态：状态空间中满足 x
即平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。
的一个状态。
不唯一性，零平衡状态，孤立平衡状态，对平衡状态的约定。 受扰运动：自治系统由初始状态扰动x0引起的一类状态运动。 实质上就是系统的零输入响应。
xou (t ) Φ(t; x0 , t0 ) t [t0 , )
0
且‖x‖→∞，有V(x) →∞ 系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。
小范围渐近稳定的判别定理
结论10：对连续时间非线性时变自治系统
f ( x, t ) t [t0 , ) x
若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态 空间原点的一个吸引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω和所有t∈[t0,∞)满足如下条件： (ⅰ) V(x,t)为正定且有界； (ⅱ) V ( x, t ) dV ( x, t ) / dt 为负定且有界； 则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为一致渐近稳定。
试确定该系统平衡状态的稳定性。 解：由平衡状态方程得
2 2 x 2 x1 ( x1 x 2 ) 0 2 2 x x ( x x 2 1 2) 0 1
解得唯一的平衡状态为x1=0, x2=0, 即xe=0, 为坐标原点。 选取一正定的标量函数
V ( x) x1 x2
征来判断系统的稳定性。
大范围渐近稳定的判别定理
结论7：对连续时间非线性时变自治系统
f ( x, t ) t [t0 , ) x x=0为系统平衡状态，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数
V(x,t)，V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件： ⅰ）V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数(‖x‖)和 (‖x‖)， (0)＝0， (0)＝0，使对所有t∈[t0,∞)和x0有：
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换定义（或直接假设）及d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
系统稳定性判别方法
绘制根轨迹的基本规则
绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一 些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们 更准确、更迅速的绘制根轨迹。
一．根轨迹的对称性
实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为 实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。
二．根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点对应于 K1 0 时特征根在Ｓ平面上 的分布位置，而根轨迹的终点则对应于 K1 时， 特征根在Ｓ平面上的分布位置。
1
0
s
0
1
s
0111
s
s 1
1s 1
s
1 1
可见传函的极点在-1处位于左半平面，故系统输出稳定。
李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法是从能量观点进行稳定性分析，当一个系
统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰弱，到达平衡 状态时，能量将得到最小值，那么这个平衡状态是渐进稳定的。 反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个 平衡状态就是不稳定的，如果系统的储能既不增长也不消耗，那 么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。
1、奈奎斯特稳定判据的基本形式表明，如果系统开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴jω上既无极点又无零点，那么有 Z=P-N
P是开环传递函数在右半s平面上的极点数。
N是当角频率由ω=0变化到ω=+∞时 G（jω）的轨迹沿逆时针 方向围绕实轴上点(-1，j0)的次数。如果Z=0，则闭环控制系统 稳定；Z≠0，则闭环控制系统不稳定。
对于给定的一个系统，如果能找到一个正定的标量函数V(x)， 根据该函数导数来确定能量随时间的变化。
标量函数的符号性质：设V(x)是向量x的标量函数，且在x=0 处，恒有 V(0)=0，那么在所有定义域中的任何非零向量x， 若V(x)>0，则V(x)正定；若V(x)≥0，则V(x)半正定。若V(x)<0， 则V(x)负定；若V(x)≤0，则V(x)半负定；若V(x)>0或V(x)<0， 则V(x)不定
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.已知线性定常系统如下所示，下面说法错误的是（）【图片】参考答案:引入状态反馈后，不改变系统的能观测性。
2.串联组合系统的传递函数矩阵为各串联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:错误3.在最优控制问题中，如果系统的性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数，则称为线性二次型最优控制问题，简称LQ（Linear Quadratic）问题。
参考答案:错误4.用不大的控制能量，使系统输出尽可能保持在零值附近，这类问题称为输出调节器问题。
参考答案:正确5.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:正确6.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:正确7.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:正确8.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错误9.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）参考答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法._最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划。
_随机系统理论中的Kalman 滤波技术。
10.内部稳定性表现为系统的零初态响应，即在初始状态恒为零时，系统的状态演变的趋势。
参考答案:错误11.系统矩阵A所有特征值均具有负实部是线性时不变系统渐近稳定的充要条件。
参考答案:正确12.从物理直观性看，能观测性研究系统内部状态“是否可由输入影响的问题”。
参考答案:错误13.由系统结构的规范分解所揭示，传递函数矩阵一般而言只是对系统结构的不完全描述，只能反映系统中的能控能观测部分.参考答案:正确14.下面论述正确的是（）参考答案:李亚普诺夫意义下渐近稳定等同于工程意义下稳定。
中考数学中的折叠问题
中考数学中的折叠问题在中考数学中，折叠问题是一种常出现的问题，它主要考察学生的空间想象能力和对几何图形的理解。
这种问题通常以一个二维图形经过折叠变为三维图形的方式出现，需要学生运用逻辑推理和空间想象能力来解答。
折叠问题主要分为两类：一类是折叠前后的形状变化问题，另一类是折叠后立体图形的三视图问题。
前者主要考察的是学生对于空间图形的变换和对称的理解，而后者则更注重学生的空间想象能力和对立体图形的认知。
解决折叠问题，首先需要理解折痕的含义。
折痕是二维图形折叠成三维图形时的痕迹，也是三维图形展开为二维图形时的路径。
在解决折叠问题时，需要找出图形中的对称点、线段和角度，并理解它们在折叠后的变化。
对于三视图问题，则需要通过观察和分析立体图形的各个面，尝试从不同的角度去看待问题。
例如，一个长方形纸片折叠后可以得到一个正方形纸片，这个过程可以通过平移和旋转来实现。
在这个问题中，学生需要理解长方形和正方形的关系，以及折叠过程中哪些元素发生了变化，哪些元素保持不变。
又比如，一个三角形纸片折叠后可以得到一个立体图形，这个过程中需要对三角形的一些基本性质进行深入的理解。
解决折叠问题时，首先需要明确问题的类型，然后针对不同类型的问题采取不同的解题策略。
对于形状变化问题，可以通过画图的方式帮助理解；对于三视图问题，可以通过将立体图形转化为平面图形的方式来寻找答案。
同时，建议学生在平时的学习中多进行一些类似题目的练习，以增强自己的空间想象能力和逻辑推理能力。
中考数学中的折叠问题是一种考察学生空间想象能力和逻辑推理能力的问题。
解决这类问题需要学生对几何图形的性质有深入的理解，并能够灵活运用这些性质去解决问题。
也需要学生有一定的空间感知能力和逻辑推理能力。
因此，建议学生在平时的学习中多进行练习，提高自己的解题能力。
折叠最值模型是指将一个平面图形沿着一条直线折叠，使得折叠后的图形在直线的一侧，并且使得折叠后的图形在直线两侧的部分对称。
现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述
H[t0 ,)
yc
1
yc
u
t t0 0
容易得到其解
yc
(t )
e
1t
yc
(0)
t
e1
(t
)u(
)d
显然，若其初始条件
yc
0
(0)
不能确定，则不能
唯一地确定其输出。
1.非零初始条件与脉冲输入
零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初 始时刻没有能量储备。
注意：在建立线性系统的输入—输出描述时， 必须假设系统的初始条件为零。
单变量线性时变系统输入－输出关系： y L(u)
用符号 g(t,τ) 表示该系统的单位脉冲响应，即
g(t,τ)L( (t ))
注意： g(t,τ) 是双变量函数; τ— 代表δ函数作用于系统的时刻； t — 代表观测其输出响应的时刻。
结论1：对单变量线性时变系统，u(t)为其输 入变量，g(t,τ)为其单位脉冲响应，在初始
y
kp
u
s3 1s 2 2s 3
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复 杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采用。
若系统在t0时刻是非松弛的，输出 y[t0 ,) 并不能单
单由 u[t0 ,) 所决定，即关系式 不成立。考察简单的一阶系统：
y[t0 ,)
初始条件不为零时，可以将非零的初始条件等 效成在初始时刻的一个脉冲输入。
单位脉冲函数（δ函数 ）
令
0
(t
t1
)
1
0
t t1 t1 t t1 t t1
当Δ→0时， (t t1) 的极限函数，即
现代控制理论知识点总结
现代控制理论知识点总结————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式n 阶DuCx y Bu Ax x+=+=&1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立①由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
[整理]4.动态系统的稳定性
![[整理]4.动态系统的稳定性](https://img.taocdn.com/s3/m/c126bcc4d1f34693dbef3e33.png)
Chapter4动态系统的稳定性分析稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。
一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。
所以讨论稳定性时一般只考虑0)(=t u 的自由系统。
经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数0)(=s D 的极点分布、Routh （劳斯）判据、Hurwitz （胡尔维茨）判据、Nyquist （奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。
现代控制理论：用状态空间描述MIMO 线性时变系统或非线性时变系统→根据系数矩阵A 的特征值即0)()()det(==-s D s p A sI 系统极点的分布来判别系统的稳定性（0)(=s D 求出的是传递函数反映的“既能控又能观”的极点，0)(=s p 求出的是没有反映在传递函数中的其他三部分的极点）。
此外还可利用(Liapunov -李雅普诺夫间接法)、构造Liapunov 标量函数)(x V(Liapunov 直接法)等来判别。
4.1 Liapunov 稳定性的意义考虑n 阶自由系统：))(()(t t x f t x，= 状态向量：T n t x t x t x ))(...)(()(1=， 向量：T n t t x f t t x f t t x f )))((...))((())((1，，，=对)),(()(t t x f t x= ，若存在某一状态点e x ，使得对所有的t ，)(t x 都不随时间变化，即0),(≡=t x f x e ，则称e x 为系统的平衡状态（平衡点）。
一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。
平衡点大多数在状态空间的原点0=e x 。
若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换将平衡点移到原点。
系统的稳定性是系统本身所固有的特性，与外部控制)(t u 无关。
论经济均衡的存在性与稳定性问题
《商场现代化》2012年9月（下旬刊）总第696期一、引言均衡概念来自于物理学，在物理学中，它指的是这样一种状态：即相互对立的各种力量同时发挥作用，但这些作用相互抵消，作用的结果等于零，因而处于某种稳定的状态。
因此，均衡概念有两层含义：一是相互对立的各种力量在数量上相等；二是相互对立的各种力量不再具有变动的趋势。
当均衡概念引入研究社会经济问题和人的行为的经济学中的时候，其第一层含义没有发生变化，第二层含义引申为相互对立的任何一种力量在各种条件限制下不再具有改变现状的动机和能力。
均衡概念自被引入经济学后，其发展经历了一百多年的历程，均衡概念也从最初的定义演变成各种不同含义的均衡概念，如静态均衡与动态均衡、瓦尔拉斯均衡与马歇尔均衡、非均衡与广义均衡等。
对于均衡的存在性与稳定性等问题，人们也莫衷一是，在讨论该问题时，人们往往分不清理论与现实的区别，将理论上均衡的存在性与稳定性和现实中均衡的存在性与稳定性混为一谈。
因而，本文在前人广泛讨论的基础上，对有关的问题作进一步的阐释，在澄清有关问题的同时，亦希望对现实经济的发展能有所益处。
本文其余部分安排如下：二、均衡概念的演化。
三、理论上经济均衡的存在性与稳定性。
四、现实中经济均衡的存在性与稳定性。
五、文章结论。
二、均衡概念的演化（1）静态均衡与动态均衡静态均衡与动态均衡的区别源于研究者分析方法的不同。
研究者在研究经济现象和经济运行的各种特征时，一般会用静态分析或动态分析加以处理。
前者试图建立经济体系各要素（商品的价格与数量）在某一时点之间的关系，即叙述的是在某一观察时点需求、供给和价格之间的关系，不考虑任何其它的因素。
但在某一时点，在相互作用的经济体系中的各要素显然是以前构形的结果，而各要素相互作用的本身亦会受到人们对未来构形的预期的影响，因而在研究经济问题时，需要考虑各要素的过去值与预期值的影响，需要考虑时滞、变化率、预期等因素，这种研究方法即为动态分析。
现代控制理论
•状态空间：以状态变量 x1 (t ), ⋯ , xn (t )为坐标轴所构成 状态空间： 维空间。在某一特定时刻t 的n维空间。在某一特定时刻t，状态向量 x (t ) 是状态 空间的一个点。 空间的一个点。 •状态轨迹：以 x (t ) = x (t 0 ) 为起点，随着时间的推移， 状态轨迹： 为起点，随着时间的推移， 状态矢量的端点在状态空间不断的移动， 状态矢量的端点在状态空间不断的移动，所绘出的一 条轨迹。 条轨迹。
两组状态变量之间 的关系
x1 = uc x2 = i
x1 = uc 1 ɺ x2 = uc = i C
x1 x1 x = Px 2 2
uc 1 0 u 1 = 1 c i 0 C i C
P：非奇异矩阵 ：
x = Px
1 0 1 P= 0 C
u (t ) 态 方 程
状 …
⇒
x1 x 2 : xn
输 出 方 程 …
⇒ y(t )
U(s)
G(s)
Y(s)
状态空间描述法示意图
线性连续时间系统状态空间表达式
ɺ x(t ) = A(t ) x(t ) + B(t )u(t ) y(t ) = C (t ) x(t ) + D(t )u(t )
分析： 分析：本系统状态变量有三个 x = [ x1
x2
x3 ]
T
一个输入量u，一个输出量 ，（ =1,m=1 ，（r=1, =1） 一个输入量 ，一个输出量y，（ =1, =1） 系统结构图（或状态变量图）如下： 解： 系统结构图（或状态变量图）如下：
1.3
状态变量及状态空间表达式的建立
化学平衡态的存在性、唯一性与稳定性问题
大 学 化 学Univ. Chem. 2021, 36 (12), 2102022 (1 of 5)收稿：2021-02-17；录用：2021-03-23；网络发表：2021-03-30*通讯作者，Email:*****************•师生笔谈• doi: 10.3866/PKU.DXHX202102022 化学平衡态的存在性、唯一性与稳定性问题周鲁*四川大学化工学院，成都 610065摘要：化学平衡是物理化学课程的重要教学内容，本文对化学平衡态的存在性、唯一性与稳定性问题进行了系统与全面的讨论，以供同行在化学平衡教学中参考。
关键词：化学平衡态；存在性；唯一性；稳定性中图分类号：G64；O6The Existence, Uniqueness and Stability of Chemical Equilibrium State Lu Zhou *School of Chemical Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China.Abstract: Chemical equilibrium is an important teaching content of physical chemistry course. In this paper, the existence, uniqueness and stability of chemical equilibrium state are discussed systematically and comprehensively for reference in chemistry equilibrium teaching.Key Words: Chemical equilibrium state; Existence; Uniqueness; Stability化学平衡是物理化学课程的重要教学内容。