线性代数 大作业(一)

线性代数 大作业（一）
学号：02121443 姓名：惠政 成绩：____________
1. 设A=⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--7300
05600032
00
1，且B=(E+A)1-(E-A),则(E+B)1-=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--45.100
033000
2
1
000
1
A=[1 0 0 0;-2 3 0 0;0 6 5 0;0 0 -3 7]; B=inv(eye(4)+A)*(eye(4)-A); inv(eye(4)+B) ans =
1.0000 0 0 0 -1.0000
2.0000 0 0 0
3.0000 3.0000 0 0 0.0000 -1.5000
4.0000 2. 非齐次线性方程组
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=+-+--=-++--=-+----=-++--=-++--210
109965
00741219295439
1462251714141323543215
4321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解为(3955500,-2477700,-1521800,7075700,2712600)T。

A=[-23 -13 14 14 -7;-2 -2 1 6 -14;-4 -5 -9 2 -9;-4 -7 1 0 -0;9 -1 1 -9 10]; b=[51;-39;121;-65;210]; x=inv(A)*b x =
1.0e+006 * 3.9555 -
2.4777 -1.5218 7.0757 2.7126
3. 设行列式D=
2
2
3
5
0850
9
523
4
321
-c c c c ，则其第4行各余子式分别为M 41=9c 4+72c 2-45c 3 M 42=-24c 4+72c 1 M 43=-15c 4+45c 1 M 44=24c 2-153c +9c 1。

syms c1 c2 c3 c4;
D=[3 2 5 9;c1 c2 c3 c4;0 5 8 0;5 3 -2 2]; a=[2 5 9;c2 c3 c4;5 8 0]; b=[3 5 9;c1 c3 c4;0 8 0]; c=[3 2 9;c1 c2 c4;0 5 0]; d=[3 2 5;c1 c2 c3;0 5 8]; det(a),det(b),det(c),det(d); ans =
9*c4+72*c2-45*c3 ans =
-24*c4+72*c1 ans =
-15*c4+45*c1 ans =
24*c2-15*c3+9*c1 4. 设R 3的两个基为
α1=（1,1,0）T
,α2=(0,1,1)T
，α3=(0,0,1)T
β1=(1，-1,2)T
,β2=(1,1-1)T
,β3=(-2,1，-3)T
求解从基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡6-1-430
2-2-11 B=[1 0 0;1 1 0;0 1 1],C=[1 1 -2;-1 1 1;2 -1 -3]
A=inv(B)*C A =
1 1 -
2 -2 0
3
4 -1 -6 5. 非齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++++=++++=++++=++++12372023244322454323654321543215
432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解为k 1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢
⎣
⎡00015.0-+k 2
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡15.3-1075.0+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7143.102857.0-02143.0- A=[6 3 2 3 4;4 2 1 2 3;4 2 3 2 1;2 1 7 3 2];
b=[5;4;0;1]; x0=A\b x=null(A,'r') x0 =
-0.2143 0 -0.2857 0 1.7143 x =
-0.5000 0.7500 1.0000 0 0 1.0000 0 -3.5000 0 1.0000 6. 其次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+++=+-++-=+--+=+++-0
)28(7004)5(2300)3(20442)2(432143214
3214321x k x x x x x k x x x x x k x x x x x k 在k 为______1,3,4,6_________时有非零解，其分别对应的基础解系是(0,
21,1,-4
5)T ,(0,-2,0,1)T ,(-3,-7,1,1)T
,(35,1,31,65)T 。

syms k
A=[2-1*k 2 4 4;2 3-1*k -1 0;-3 2 5-1*k 4;0 1 7 8-2*k]; D=det(A); kk=solve(D); for i=1:4
AA=subs(A,k,kk(i)); fprintf('当k='); disp(kk(i));
fprintf('基础解系为:\n'); disp(null(AA)) end 当k=1
基础解系为: 0 1/2 1 -5/4 当k=3
基础解系为:
0 -2 0 1 当k=4
基础解系为: -3 -7 1 1 当k=6
基础解系为: 5/3 1 1/3 5/6
7. 列向量组（α1，α2，α3）=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡1211
10
987654
321c c c c c c c c c c c c ，其中c 1,c 2,c 3为学号的前三位，c 4,c 5,c 6为学号的后三位，c 7,c 8,c 9,c 10,c 11,c 12为用Matlab 随机生成的整数，则
该向量组为⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡199618344
120，经过施密特正交化后得到的正交向量组为⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡3113.0-5690.0-7513.0-
1308.0-8138.05297.0-6307.00174.03838.0-6987.01168
.0-0875.0-。

A=round(rand(2,3)*10) B=[0 2 1;4 4 3;A] orth(B) B =
0 2 1 4 4 3 8 1 6 9 9 1 ans =
-0.0875 -0.1168 0.6987 -0.3838 0.0174 0.6307
-0.5297 0.8138 -0.1308 -0.7513 -0.5690 -0.3113 8. 向量组
α1=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡31432，α2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-423616，α3=⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10925，α4=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--421026，α5=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-025430，α6=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--73654
的最大线性无关组为α1，α2，α3，其余向量可以用最大线性无关组表示为α4=2α1-2α3，α5=2α1+α2-2α3，α6=3α1-2α3。

A=[2 6 5 -6 0 -4;3 1 2 2 3 5;4 6 9 -10 -4 -6;1 23 0 2 25 3;3 -4 1 4 0 7]
rref(A) A =
2 6 5 -6 0 -4
3 1 2 2 3 5
4 6 9 -10 -4 -6 1 23 0 2 2
5 3 3 -4 1 4 0 7 ans =
1 0 0
2 2
3 0 1 0 0 1 0 0 0 1 -2 -2 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9. 矩阵
A=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11021212101
的特征值和特征向量分别为-0.3723， 5.3723， -3， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4073.0-036.2-8903.0-， ⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-7623.03812.05231.0，
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡4319.0-2592.0-8639.0-， 3I-2A 1
-的特征值和特征向量分别为8.3723,2.6277,3,6667，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4073.0-036.2-8903.0-， ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-7623.03812.05231.0，
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡4319.0-2592.0-8639.0-。

A=[1 -10 2;-1 2 1;-2 10 -1]; [V,D]=eig(A)
B=3*eye(3)-2*inv(A); [v,d]=eig(B) V =
-0.8903 -0.5231 -0.8639 -0.2036 0.3812 -0.2592 -0.4073 0.7623 0.4319 D =
-0.3723 0 0 0 5.3723 0 0 0 -3.0000 v =
-0.8903 -0.5231 -0.8639 -0.2036 0.3812 -0.2592 -0.4073 0.7623 0.4319 d =
8.3723 0 0 0 2.6277 0 0 0 3.6667 10. 二次型
f(x 1, x 2, x 3)= x 12
+ x 2
2
+ x 33
+ x 2
4+ 2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 2x 4
的标准形为⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡300001000010
0001-，相应的可以线性变换系数矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5.0-7071.005.0-5.0-07071.05.05.07071.005.05.007071.05.0-。

A=[1 -10 2;-1 2 1;-2 10 -1]; [V,D]=eig(A)
B=3*eye(3)-2*inv(A); [v,d]=eig(B) 正交矩阵为： V =
-0.5000 0.7071 0.0000 0.5000
0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000
0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000
-0.5000 0 0.7071 -0.5000
对角矩阵为;
D =
-1.0000 0 0 0
0 1.0000 0 0
0 0 1.0000 0
0 0 0 3.0000。