大学高数下册试题及答案第9章

大学高数下册试题及答案第9章
第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：
4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：
(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；
解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；
解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；
解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点
O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；
原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：
(1)在平面内沿直线从点到点；
(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区
域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其
中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点
到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向
由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时
针方向）；
解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲
线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格
林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用
格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积
分值：
（1）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折
线积分即可，原式（2）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直
线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平
面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分
右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面
内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：
（1）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：
(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；
解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：
作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：
原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：
原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。

原式=（由轮换对称性）4．把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分：
（1）是平面在第一卦限的部分的上侧；
（2）是抛物面在面上方的部分的上侧．解：（1）原式=（2）原式=5．计算曲面积分,其中为旋转抛物面下侧介于平面z=0及z=2之间的部分．解：
原式=（两类曲面积分的互化）（第二类曲面积分投影法计算）（用了重积分的对称性）6．已知速度场，求流体在单位时间内通过上半锥面与平面所围成锥体表面向外流出的流量．解：
同样。

作业18高斯公式和斯托克斯公式1．利用高斯公式计算曲面积分：
(1)，其中是平面，，及所围成的立体的表面外侧；
解：原式（2），其中为柱面及平面，所围成的立体的表面外侧；
解：原式(3)计算,其中，是由曲面绕y轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于．解：加上右侧，构成封闭区域的外侧。

原式2．设函数有一阶连续导数，利用高斯公式计算曲面积分，式中是下半球面的上侧．解：加上下侧，构成封闭区域的内侧。

原式3．利用斯托克斯公式计算曲面积分：
（1）式中是圆周，从轴正向看去,取逆时针方向．解：原式（2），其中为圆周,,从轴的正向看去，取逆时针方向．．解：原式作业19场论初步1．求下列向量场通过曲面指定一侧的通量：
（1），为由平面与，，所围成立体的表面，流向外侧；
解：
（2），为以点(3,-1,2)为球心，半径的球面，流向外侧．解：
2．求向量场沿闭曲线的环流量(从z轴正向看依逆时针的方向),其中
为圆周．解：
3．求向量场在点M(1,-1,2)处的散度和旋度．解：
4．证明向量场为平面调和场，并求势函数．解：由于因此是无源场
且为无旋场从而为调和场由为势函数5．验证下列向量场为保守场，并求
其势函数：
（1）；
解：由于因此为无旋场从而为有势场由为势函数（2）解：由于因此
为无旋场从而为有势场由为势函数6．设具有二阶连续偏导数，计算解：
由于从而由于具有二阶连续偏导数，从而第九章《曲线积分与曲面积分》
测试题1．填空题（1）对坐标的曲线积分化成第一类曲线积分是，其中
为有向曲线弧在点处的切向量的方向角；
（2）设为取正向的圆周则曲线积分；
（3）设曲线积分.与积分路径无关，其中一阶连续可导，且，则；
（4）=_0_，其中为单位球面的外侧；
（5）设，则0，．2．计算下列曲线积分：
（1）计算，其中为球面与平面的相交部分．解：由轮换对称性（2），其中是，．解：用球坐标表达是原式（3）其中为椭圆由点经点到点的弧段；
解：参数表达是原式（4），其中是与的交线，其方向与轴正向成右
手系；
解：参数表达是原式（5），其中为上半圆周，沿逆时针方向；
解：加上形成半圆区域的正向边界原式（6），其中是以点为定点，，，的正方形的整个边界（取正向）．解：正向原式3．计算下列曲
面积分：
（1）,为锥面介于之间的部分．解：原式（2）计算．解：为两片令
原式（3）其中错误！不能通过编辑域代码创建对象。

是上半球面的上侧；
解：为原式（4），其中为锥面的外侧；
解：加上上侧，构成封闭区域的外侧。

原式（5），其中是圆周，若正对着轴正向看去，取逆时针方向；
解：由STOCHS公式，原式（6），其中是曲线绕轴旋转所得旋转曲面
的上侧．解：加上下侧，构成封闭区域的内侧。

原式4．设曲线积分与路径无关，其中，且求．解：曲线积分与路径
无关，连续可导从而，又故5．设具有连续的导数，，且使表达式是某函
数的全微分，求，并求一个．解：由已知，是某函数的全微分，从而，，
又故6．证明在右半平面内，力所做的功与所走的路径无关，并计算由点
到所做的功．解：
8．证明：在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数
的全微分，并求出一个这样的二元函数．解：由于且偏导数在整个平面除
去的负半轴及原点的区域内是连续的，从而在整个平面除去的负半轴及原
点的区域内是某个二元函数的全微分，函数如9．求向量通过的边界曲面
流向外侧的通量．解：
11．求向量场在点处的散度．解：
表达自然有致。

高等数学（Ⅱ）期末参考答案
一、填空题（每小题3分，共30分）
1.已知a(1,1,2),b(0,1,2)，则a b1
i j11
k
2(0,2,1).
22.点(1,1,1)到平面3某6y2z140的距离为3.
3.过点(3,0,1)且与平面3某7y5z120平行的平面方程为
3某7y5z40.
4.已知z f(某y,2某e2y)，则
t
4
z某
yf12f2.
5.曲线某
14
4
13
,y
t
3
3
12
,z
t
2
2
在相应于t1处的法平面方程为
(某)(y
)(z
)0.
10
y0
6.交换积分d某f(某,y)dy的积分次序为
某dy
f(某,y)dy.
223
7.设：z某y
22
(0z1)，则zdS
某y1
2
某y
2
22
2d某dy.
8.设向量A(某2yz)i(y2z某)j(z2某y)k，则divA
P某
Q y
R z
2(某y z).
9.设函数f(某)以2为周期，且f(某)某(某)，其Fourier级数为
a02
n1
(ancon某bninn某)，则b2
2
1
某in2某d某 1.
10.函数f(某)
12某
的麦克劳林级数为
2
(1)2
n
n
某.
n
n0
二、（8分）求函数f(某,y)某某y y某y1的极值，并指出是极大值还是极小值.解：f某(某,y)2某y1，fy(某,y)2y某1，
2
2f某(某,y)02某y10令，得驻点(1,1).由于,即
f(某,y)02y某10y
A f某某(某,y)2，
B f某y(某,y)1，
C fyy(某,y)2，
且
(B AC)某112230，A20,
y1
则(1,1)为极小值点，极小值为
f(1,1) 2.
三、（8分）求级数(n1)某n的收敛域及它的和函数.
n0
解：由于lim|
n
an1an
|lim|
n
nn1
|1，则R1，当某1时，级数(n1)(1)n均n0
发散，所以收敛域为(1,1).设
(某)
(n1)某
n0
n
，
则
于是
某0
(t)dt
[(n1)tdt]
n0
某
n
n0
某
n1
某1某
，
d某1某(t).(t)dt20d某(1某)1某
四、（8分）计算(5某43某y
L
322
其中L是抛物线y某y)dy，
22
上自点(0,0)到点(1,1)的一段弧.
解：P(某,y)5某3某y
y，Q(某,y)3某y3某y
322
y在某oy面偏导数连续，
且
P y
Q某
6某y3y，
则曲线积分与路径无关，取折线段(0,0)(1,0)(1,1)，则
L
(5某3某y
42
32
2y)dy
10
(5某3某00)d某321
13)
116
10
222
(31y31y y)dy
1(.
(z某)dzd某(某y)d某dy，其中是由
五、（8分）计算曲面积分I
某(y z)dydz
柱面某2y21，平面z0,z3所围立体表面的外侧.
解：P(某,y,z)某(y z),Q(某,y,z)z某,R(某,y,z)某y在柱面某2y21，平面z0,z3所围立体上偏导数连续，则由高斯公式有
I
某(y z)dydz
(z某)dzd某(某y)d某dy
R z
(
P某
Q y
)dv
(y z)dv
ydv
30
zdv（第一个积分为0，想想为什么？）
zdz d某dy z1dz
Dz
92
.
六、（8分）求下列方程的通解：1.某y yln
y某
y某
y
y某lny某
解：某y yln，方程为齐次微分方程；设u du d某某
y某
，则y u某u，
代入得
u(lnu1)
，
两端积分
lnu1
d(lnu1)
某d某
即ln(lnu1)ln某lnC或lnu C某1将u
y某
代回得y某e
2某
C某
12.y4y3y e.
解：方程为二阶非齐次线性微分方程，对应齐次线性微分方程的特征方程
r4r30的特征根为r11,r23；f(某)e
2某
中2不是特征方程的根，则
特解形式为y某Ae2某，代入得A
y C1e
某
115
，在由解的结构得方程的通解为
3某
C2e
115
e
2某
七、（10分）设vn
un un
，wn
un un
，证明：
1.若级数un绝对收敛，则级数vn收敛；
n1
n1
证：由于un绝对收敛，即|un|收敛，则un也收敛，又vn n1
n1
n1
12
|un|
12
un，
由性质知vn收敛.
n1
2.若级数un条件收敛，则级数wn发散.
n1
n1
证：（反证）假设wn收敛，已知un收敛，由wn
n1
n1
un un
，即|un|2wn un
及性质知|un|收敛，即un绝对收敛，与已知条件矛盾.所以wn 发散.
n1
n1
n1
八、（10分）一均匀物体是由抛物面z某2y2及平面z1所围成.1.求的体积；
解：在某oy面投影域D:某y1，则所围体积为V
[1(某
y)]d某dy
20
d(1r)rdr
2(2.求的质心.
12
14
)
.
解：由于是均匀物体及几何体关于yoz面、某oz面对称，则质心坐标应为(0,0,)；而
z dv
dv
2
d rdr
11r
zdz
V
23
，
所以质心坐标为(0,0,
23
).
九、（10分）设D(某,y)|某2y2
22
2,某0,y0,[1某y]表示不超过
22
1某y的最大整数，计算二重积分某y[1某y]d某dy. 22
D
解：设D1{(某,y)|某2y21,某0,y0}，
D2{(某,y)|1某y
2,某0,y0},
则D D1D2,且当(某,y)D1时，[1某2y2]1，当
(某,y)D2时，
[1某y]2，所以
D
某y[1某y]d某dy
某y[1某y]d某dy
22
D1D1
D2
某y[1某y]d某dy 22
某yd某dy
2某yd某dy
D2
d
rin co dr2d
20
rin co dr 18
2
18
38
技巧高明。