反例在数学教学中的作用

反例在数学教学中的作用
摘要：数学是所有科目中对思维要求最缜密的学科之一,它有自己独特的思
维方式和逻辑推理体系，那么，对于数学这门课程，教师如何来教，学生如何来学，方法固然是最重要的。

本篇论文就将浅谈一下反例在数学教学中的作用。

本
篇论文是经过在网上查阅大量的相关期刊和在图书馆查阅大量的相关书目,结合
自己的学习以及工作阅历最终完成的。

本文的创新点在于通过引用一些非常典型
的例题做分析说明，而且例题都涉及到了中学数学的重要章节和必考内容。

本篇
论文的目的在于改变现有的教学状态，能够激发学生的学习热情，培养学生的创
造能力，鼓励学生要有敢于质疑和敢于探究的科学精神，培养学生良好的思维品
质和学习习惯。

【关键词】教学作用构造逆向思维
一、反例的含义
在数学中，要证明一个命题是正确的，就必须经过严格的推理论证[[1]]。

而
要证明一个命题是错误的，非常简单的做法就是举出反例。

反例,顾名思义就是
指反面的例子,通常是指能够满足命题条件却不满足命题结论的例子。

在数学教学中，反例的作用不容小觑。

反例在判断对错时很有说服力，因此，在数学教学中重视运用反例，能让学生牢记所学内容，激发学生的学习热情，增
加学生的见识，使其灵活多变,也学会换角度思考问题。

二、反例的来源与构造
证明一个猜想是合理的、正确的,就必须经过严格的、缜密的推理论证;而证
明一个猜想是不正确的,只需找到猜想命题的反例就可以了。

在教学过程中往往
会有这样的情形,要说明一个命题是假命题, 教师就会直接给出一个反例, 说明
反例虽然符合命题的各种条件, 却不能使命题的结论成立, 教师很少给学生分析
甚至不做分析说明反例是如何得到的。

学生非常佩服老师学识渊博,能信手拈来
一个又一个非常具有说服力的反例,却只能对老师的才华望其项背。

仿佛舞台上
的魔术师,能从口袋里变出很多观众意想不到的东西,观众觉得特别神奇，但却永远也学不会。

所以,在教学过程中,教师应该尽可能地给学生讲解如何来构造反例,让学生知其然,更知其所以然。

三、反例在数学史上的重要作用
在数学的历史长河中,恰当的反例可能会推动数学前进的步伐。

我们常常会
听说这样的事，一个数学家想要说明他的一个猜想是对的，经过冥思苦想却不得其解，然而一个才疏学浅、智商平庸的普通人举了一个反面的例子就把数学家的猜想否定了。

可谓给费马的猜测当头一棒,到目前为止,人们对费马数还没有新发现。

历史长河中类似的故事很多，这些故事都说明了合适的反例能够推翻数学史上一直被人们误解的理论，从而使数学前进的脚步永不停歇。

既然我们已经意识到反例的作用是如此之大，那么我们何不把反例的运用也涉及到数学教学中呢？
四、反例在数学教学中的作用及其应用
反例在数学教学中的作用很大，然而，教师和学生对反例的作用和应用不够重视，教材上关于反例的说明也相对较少，大部分学生们不清楚反例的作用。

其实，数学学习的过程，一般用的思维方式是直接思维，而直接思维并不严密，所以直接思维下的猜想可能会有差错[[3]]。

这时，教师若能适当地引导学生发现反例，就可以使学生发现并修改学习过程中因猜想带来的错误结论。

总之，反例的应用对教师的教与学生的学都会产生一定的积极的作用，根据自己在学习期间总结的学习方法和实习期间总结的教学经验，并请教一些有一定教学经验的老师，总结如下：
具体来说，在数学教与学中运用反例对老师和学生有如下帮助：
（一）可以帮助学生更好地理解和掌握数学中的基本概念、基础知识
（二）能够帮助学生更加深刻地理解并记牢数学中某些定理的使用范围和使用条件
（三）能够纠正学生犯不明显的错误，帮助老师更好地讲解问题
在数学教学中,学生经常会对一些概念、定理或性质等认识不充分、理解不透彻，这时教师就会举出反例，对相关的知识内容进行阐述、澄清、剖析，这样一来，反例就能起到正面解释所达不到的领悟效果[[5]]。

除此之外，对于学生做题过程中出现的典型错误，也可以用反例来纠正，这往往比直接讲解、分析的效果还要好，并且能够最大限度地提高学生对问题本质的认识。

（四）对学生思维能力的培养有一定的积极作用
要想提高学生思维能力，逆向思维的培养是关键。

那么，如何在数学教学中将知识的传授与逆向思维能力的培养很好地结合在一起，从而提高数学课堂的效率和教学质量？教会学生如何构造反例的过程就是培养学生逆向思维的一种很好的办法，通过反例的运用，可以教会学生遇到从正面思考解决不了的问题时，不要一直钻牛角尖，可以另寻出路，要懂得迂回旋转，逆向思考问题，就会有一种豁然开朗的感觉。

五、总结：
本篇论文可以分为五个部分。

第一本部分主要阐述了反例的含义,在数学中,要证明一个命题正确,需要经过严格的推理论证,而想要说明一个命题是错误的,最简单的方法就是举个反例。

第二部分主要阐述了反例的来源与构造，在数学教学中，教师往往直接给学生举出一个反例，却很少给学生做分析反例是如何得到的，即反例的构造。

本文列举了三个构造反例的方法，每个方法下面都有一个简短有力的例子做解释说明。

第三部分主要通过数学史上关于一个数学家的著名的故事有力地说明了反例在数学史上的重要作用。

第四部分是本片论文的精髓，主要阐述了反例在数学教学中的四个作用及其在解题过程中的应用。

第一个作用是可以帮助学生更加正确地理解和掌握数学中的基本概念和基础知识，同时列举了关于函数的概念的两个反例，从而让学生更加深刻地正确理解函数的概念。

第二个作用是可以帮助学生更加深刻并牢固地记住数学中某些定理的使用条件和使用
范围，同时列举了大一的基础课程数学分析教材中的罗尔定理，从而让学生更加深刻地理解和牢记罗尔定理的使用条件和使用范围，即罗尔定理的三个条件是缺一不可的。

第三个作用是可以帮助学生纠正解题中不易发现的错误，同样地给出了一个反例，关于对数函数求参数的取值范围的例题，这个例题是学生很容易犯的错误，甚至有的老师都会犯同样的错误，我在招聘会应聘老师的时候，面试者就提问了这个例题，而我就犯了同样的错误，当时还很不解，是不是面试老师搞错了，直到开始写此篇论文，准备查阅资料的时候又碰到了这个题目，这才豁然开朗，所以决定一定要把这个例题拿过来做分析。

第四个作用是能够改善对学生思维能力的培养。

第五部分主要阐述了在数学教学中应用反例时应该注意的一些问题。

第一个是注意要适时恰当地引用反例。

第二个是注意教会学生如何去构建反例，最好让学生能够学会举一反三，灵活运用。

第三个是注意反例教学应该逐步进行，由简入深，潜移默化地进行，切不可急于求成，想一口吃个大胖子，这样就会适得其反，切记欲速则不达。

参考文献：
[1] B R 盖尔鲍姆，J M H 奥姆斯特德.分析中的反例[M].上海:上海科学技术出版社,1983.20。

[2] 杨昌海.反例在数学教学中的运用[J].湖北：考试周刊，2012年第17期：53。

[3] 沈剑山.数学反例的特征与功能[J].中学数学研究，2001年第7期。

[4] 孙玉富.新课改背景下有效促进教学质量提升的多元思考[J]. 考试周刊.2007年第12期。

[5] 张俊.反例在数学教学中的作用[J].安徽：数学学习与研究，2014年第5期：41。

[6] 华东师范大学数学系编.数学分析第三版[M].北京：高等教育出版社.2006,58。

[7] 尚继慧.试谈反例在解题中的作用[J].数学通讯.2011年第3期（下半月）：25。

[8] 金太阳导学案[M].高一数学必修5配套导学案.等比数列的概念与通项例题.2014。

[[1]]
[[3]]
[[5]]。