工业机器人的运动学和动力学

20
13
0
3 1
求AB
4
AB=
9 9
−2 9
−1 11
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 12 页
3.0 线性代数----矩阵
a1
例题：设列矩阵A =
a2 ，
a3
行矩阵B=[b1,b2,b3]，求AB和BA，
比较两个计算结果，能得出什么结论？
AB是3 × 3矩阵，BA是1 × 1矩阵
a1 AB = a2 b1
3.1.5 工业机器人的逆运动学方程
3.2 工业机器人的动力学
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第3页
3.0 线性代数----矩阵
矩阵的定义及基本概念
矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集 合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵 ，简称m × n矩阵。
a 11 a 12
a 21 a 22 A = a 31 a 32
…… a m1 a m2
… a 1n
… …
a a
2n 3n
…
… amn
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第4页
1. 线性代数----矩阵
这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵 A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩 阵可记为(aij)或(aij)m× n，m×n矩阵A也记作Amn。
第6页
3.0 线性代数----矩阵
矩阵的加法运算满足交换律和结合律 交换律：A+B=B+A 结合律：(A+B)+C= A+(B+C)
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第7页
3.0 线性代数----矩阵
二．矩阵与数的乘法 1、运算规则 数λ（ /‘læmdə/ ）乘矩阵A，就是将数λ乘矩阵A中
0 0 ⋮
1
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 14 页
3.0 线性代数----矩阵
例题:
设A=
1 −1
1 −1
，B =
1 −1
−1 1
，计算AB和BA
AB =
1 −1
1 −1
1 −1
−1 1
=
1 −1
× ×
1 1
+ +
1× −1
−1 × −1
1 × −1 + 1 × 1 = 0 −1 × −1 + −1 × 1 0
⋮
a m1 ± bm1
a12 ± b12 a22 ± b22
⋮
a m2 ± bm2
… a1n ± b1n
… a2n ± b2n
⋮
⋮
… a mn ± bmn
两个矩阵相加或者相减，即把他们相同位置的元素相加减。 只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），
加减法运算才有意义！
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 16 页
3.0 线性代数----矩阵
矩阵乘法运算性质（假设运算都是可行的）:
(1)结台律： (AB)C= A(BC) (2)分配律： A(B±C)= AB±AC（左分配律） (B±C)A= BA±CA（右分配律） (3) (λA)B= λ(AB) = A(λB)
工业机器人技术与应用
第1页
1．教学目标 ① 根据学生实际情况，讲解线性代数中的矩阵方面
知识。 ② 理解工业机器人的位姿描述和齐次变换 ③ 掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算 ④ 理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解 ⑤ 了解研究动力学的内容及方法，理解速度和力雅
可比矩阵
2．教学重点和难点
① 【重点】工业机器人的位姿描述和齐次变换 、连杆参数、连杆变换和运动学方程
01234 10123 21012 32101 43210
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 20 页
3.0 线性代数----矩阵
3.1 工业机器人的运动学
3.1.1 工业机器人位姿描述
目 录
3.1.2 齐次变换和运算
3.1.3 工业机器人的连杆参数及其坐标变换
3.1.4 工业机器人的正运动学方程
2
0 31
2 11 所以B1A1 = −1 1 2
0 31
第3章 工业机器人的运动学和动力学
13 −1 = 2 = （AB）‘ 2 −1
第 19 页
3.0 线性代数----矩阵
对称矩阵
对称矩阵定义：如果方阵满足A'=A，即aij= aji ，则称A为 对称矩阵。
对称矩阵的特点：它的元素以主对角线为对称轴一一对应相 等。对称矩阵一定是方阵，即行和列长度相等。
p
AB i j = L ai kbkj = ai1b1j + ai2b2j + ⋯ + aipbpj
k=1
C = AB = 1 2 45
3 6
1 2 3
4 5 6
=
1 × 1+ 2 × 2 + 3 × 3 4 × 1+ 5 × 2 + 6 × 3
1×4+2×5+3×6 4×4+5×5+6×6
=
14 32
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 13 页
3.0 线性代数----矩阵
例题:
a 11 a 12 a 13
100
设三阶方阵A = a 21 a 22 a 23 ，三阶单位矩阵为E = 0 1 0
a 31 a 32 a 33
001
求AE和EA，将计算结果与A比铰，看有什么样的结论。
解：计算得：AE= EA=A
a3
a1b1 b2 b3 = a2b1
a3b1 a1
a1b2 a2b2 a3b2
a1b3 a2b3
a3b3
BA = b1 b2 b3 a2 = b1a1 b2a2 b3a3
a3
结论：在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序，即使在 AB与BA均有意义（可以做乘法运算）时，也未必有AB= BA 成立。可见矩阵的乘法不满足交换律。
32 77
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 10 页
3.0 线性代数----矩阵
例题:已知两个矩阵A和B，计算C=AB。
A=
1 1
2 −1
，B =
1 −1
2 1
−3 2
解：C = AB = 1 1
2 −1
12 −1 1
−3 2
=
（1 ∗ 1 + 2 ∗−1） （1 ∗ 1 + −1 ∗−1）
（1 ∗ 2 + 2 ∗1） （1 ∗ 2 + −1 ∗1）
的每—个元素，记为λ A或A λ 特别地，称-A称为A=(aij)m×s的负矩阵．
2、矩阵的乘法运算性质满足交换律和分配律 结合律： (λμ)A= λ(μA) ； (λ+μ)A=λA+μA 分配律：λ (A+B) =λA+λB
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第8页
3.0 线性代数----矩阵
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 11 页
3.0 线性代数----矩阵
例题:
本题可以做AB乘 法运算，但是不 可以做BA运算。
结论：只有在下 列情况下，两个 矩阵的乘法才有 意义．或说乘法 运算是可行的：
左矩阵的列数= 右矩阵的行数。
设A =
1 2
0 1
3 −1 02
41 B = −1 1
3.1.5 工业机器人的逆运动学方程
3.2 工业机器人的动力学
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 21 页
3.1 工业机器人的运动学
为什么需要学习机器人运动学？
机器人在生产操作过程当中会 涉及到各物体之间的关系和各 物体与机械臂之间的关系。这 些关系的表达就是机器人运动 学的研究范畴。
物体之间的关系可以用齐次坐 标变换来描述的。机器人运动 学也采用齐次坐标变换来描述 机械手各关节坐标之间、各物 体之间以及各物体与机器人（ 机械臂）之间的关系。
0 0
BA=
1 −1
−1 1
1 −1
= 1 × 1 + −1 × −1
−1 × 1 + 1 ×−1
=
2 −2
2 −2
1 −1 1 × 1 + −1 ×−1 −1 × 1 + 1 ×−1
结论：两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵。如果AB=0 ，不能得出A=0或B=0的结论。
第3章 工业机器人的运动学和动力学
矩阵的运算及其运算规则
一．矩阵的加法和减法运算规则
a 11 a 12
设矩阵A =
a 21 ⋮
a 22 ⋮
a m1 a m2
… a 1n
b11 b12
… …
a 2n ⋮
，B =
b21 ⋮
b22 ⋮
… a mn
bm1 bm2
… b1n … b2n …⋮
… bmn
则A ± B =
a11 ± b11 a21 ± b21
例题:已知两个矩阵，满足矩阵方程A+2X=B，求未知矩阵X。
3 −1 2
7 5 −2
A = 1 5 7 ，B = 5 1 9
245
42 1
X
=
1 2
B −A
=
1 2
7 5 4
5 1 2
−2 3 9 −1 12
−1 2 57 45
=1
2
4 4
6 −4
−4 2 2 =2
3 −2
−2 1
2 −2 −4 1 −1 −2
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 22 页
3.1 工业机器人的运动学
什么是机器人运动学？
机器人运动学主要是把机器人的空间位姿（位置和姿态）解析地表 示为时间或者关节变量的函数，特别是要研究关节变量空间和机器人末端 执行器位置和姿态之间的关系。
机器人运动学就是研究机器人手臂末端执行器（手部）的位置和姿 态与关节变量空间之间的关系。
结论：方阵A和它同阶的单位矩阵作乘积，结果仍是A ，即AE=EA=A。
主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n×n阶正方
矩阵称为n阶单位矩阵，记为In或En ，通常用I或E来表示。
I1 =
1 ，I 2 =
1 0
0 1
，I3 =
1 0
0
0 1
0
0 0
，…In =
1 0 ⋮
1
0
0 1 ⋮
0
… … ⋱
…
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第9页
3.0 线性代数----矩阵
三、矩阵与矩阵的乘法 1、运算规则 设A (aij)m× s ；B (bij)s× n ，A与B的乘积C=AB是这样的矩阵： (1)行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即C= (cij)m×n 。 (2)C的第i行第j列的元素cij由A的第i行元素与B的第j列元素对 应位一组一组的相乘，然和再取这些乘积的和。
第 15 页
3.0 线性代数----矩阵
例题:利用矩阵的乘法，三元线性方程组可以写成矩阵的形式。
a11x1 + a12x2 + a12x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
（1 ∗ −3 + 2 ∗2） 1 ∗ −3 + −1 ∗2
−1 4 1 2 1 −5
a1 想一想：设列矩阵 A = a2 ，行矩阵B=[b1 b2 b3]，AB和BA的行数和列
a3
数分别是多少？由于结果矩阵的行数是第一个矩阵决定，列数是第2个矩 阵决定，所以AB是3x3的矩阵，BA是1x1的矩阵，即BA只有—个元素。
x1
b1
x2 = b2
x3
b3
若把三元线性方程组中的系数、未知量和常数项构成的三 个矩阵分别命名为A、X、B，则线性方程组又可以简写为矩阵 方程的形式：AX=B
a 11 a 12 a 13
x1
b1
A = a 21 a 22 a 23 ，XБайду номын сангаас= x2 ，B = b2
a 31 a 32 a 33
x3
b3
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 18 页
3.0 线性代数----矩阵
矩阵的转置—例题
利用下面的矩阵A和B，验证(AB)'=B'A'。 2 −1 0
A = 1 −1 2 ，B = 1 1 3 121
2 −1 0 解：AB = 1 −1 2 1 1 3 = 3 2 −1
121
1
2 11
而A1 = −1 ，B1 = −1 1 2
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 17 页
3.0 线性代数----矩阵
矩阵的转置: 定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩 阵A的转置矩阵，记作A'或AT。
12
例如矩阵A =
1 2
0 1
3 0
−1 2
的转置矩阵为A‘ = AT =
0 3
1 0
−1 2
转置矩阵运算性质（假设运算都是可行的） (1) (A')'=A (2) (A+B)'=A'+B' (3) (AB)' = B'A' (4) (λA)'=λA’，λ是常数。
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩
阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
a 11 a 12
a 21 a 22 A = a 31 a 32
…… a m1 a m2
… a 1n
… …
a a
2n 3n
…
… amn
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第5页
3.0 线性代数----矩阵
② 【难点】连杆参数、连杆变换和运动学方程
3．讲授方法及课时：多媒体，4课时
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第2页
3.0 线性代数----矩阵
3.1 工业机器人的运动学
3.1.1 工业机器人位姿描述
目 录
3.1.2 齐次变换和运算
3.1.3 工业机器人的连杆参数及其坐标变换
3.1.4 工业机器人的正运动学方程