江苏省南菁高级中学实验学校2015届九年级数学上学期期中试题(解析版)

某某省南菁高级中学实验学校2015届九年级数学上学期期中试题
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.-2的相反数是（▲ ）
A．2 B．1
2
C．-
1
2
D．-||2
2.下列计算正确的是（▲）A．a3＋a3＝a6 B．a6÷a3＝a2C．(a2)3＝a8D．a2·a3＝a5
3.南菁实验学校校园进行改造，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地砖是（▲）
A．正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖D．正四边形地砖
4.下列方程没有实数根的是（▲ ）
A ．x 2
+4x=1 B ． x 2
+x −3=0 C ．x 2
−2x+2=0 D ．（x −2）（x −3）= 0
【答案】C 【解析】
试题分析：A 、x 2
+4x=1，x 2
+4x-1=0，△=42
﹣4×1×（-1）=20＞0，方程有两个不相等的实数根．B 、x 2
+x ﹣3=0，△=12
﹣4×1×（﹣3）=13＞0，方程有两个不相等的实数根．C 、x 2
-2x+2=0，△=（-2）2
﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根．D 、（x −2）（x −3）= 0，x 2
﹣5x+6=0，△=（﹣5）2
﹣4×1×6=1＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：C. 考点：根的判别式.
5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ▲ ）
6.在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =2AC ，则sinA 的值是（ ▲ ） A ． 3 ； B ．12
；
C ．
3 2 ； D ． 3 3
7.已知两圆的半径R ，r 分别为方程x 2
-3x+2=0的两根，这两圆的圆心距为3，则这两圆的位置系
是（▲ ）
A．外切 B．内切 C ．相交 D．外离
8.若关于x的一元二次方程(m－1)x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（▲ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
9.如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的
位置可由∠ MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox 上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（▲）
A．（60°，4） B．（45°，4）
C．（60°，2 2 ） D．（50°，2 2 ）
【答案】 A
【解析】
试题分析：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
x
x O
O
C
A
θ
M
m
（第9题）
图1图2
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD ，
∴△AOD 是等边三角形， ∴OD=OA=2，∠AOD=60°， ∴OC=2OD=2×2=4，
∴正六边形的顶点C 的极坐标应记为（60°，4）． 故选A ．
考点：1.正多边形和圆；2.坐标确定位置．
10.点P 是△ABC 内（不在边上）一点，连接PA 、PB 、PC ，如果△PAB、△PBC、△PAC 中存在一个三角形与原△ABC 相似，那么我们把点P 叫做△ABC 的内相似点．已知在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC= 4，若点P 是△ ABC 的内相似点，则cos∠ PAB 的值为（▲）
A ．45
B ．79
C ．1213
D ．24
25
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡．．．上相应的位置．．．．．．
处）
11.函数1-=x y 中自变量x 的取值X 围为 ▲ ．
【答案】x ≥1 【解析】
试题分析：根据二次根式的意义，被开方数是非负数，根据题意，得x-1≥0，解得x ≥1. 考点：函数自变量x 的取值X 围.
12.若关于x 的一元二次方程x 2
+3x+a=0有一个根是−1，则a=▲ ． 【答案】a=2 【解析】
试题分析：∵关于x 的一元二次方程x 2
+3x+a=0有一个根是﹣1，∴（﹣1）2
+3×（﹣1）+a=0，解得 a=2. 考点：一元二次方程的解.
13.据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达679 000 000元，这个数用科学记数法表示为▲元．
14.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 ▲．
15.如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ▲ ．
16.如图，以△ABC的边BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D、E,连接OD、OE，若∠ A=65°，
则∠ DOE=▲°
【答案】50°
【解析】
试题分析：连结BE,因为BC是直径，所以∠AEC=90°，所以∠A+∠ABE=90°，因为∠ A=65°，所以∠ABE=25°，所以∠ DOE=50°.
考点：1.圆周角定理及其推论；2.直角三角形的性质.
17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向
以 2 cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDF E的面积为S2，运动时间为t秒
（0＜t＜8），则t=▲秒时，S1=2S2．
18.为解决停车难的问题，在如图一段长65米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽的矩形，矩形的
边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出▲个这样的停车位．（ 2 ≈1.4）
【答案】20
三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题满分8分）
（1）化简：1x －1÷x －2x 2－1（2）计算： (12)-1 - 2cos60︒＋ (2-π)0
；
20.（本题满分8分）
（1）解方程：x 2
＋4x －5=0（2）解方程：12x =2x+3
【答案】见解析 【解析】
试题分析：（1）用十字相乘法解一元二次方程；（2）解分式方程，先去分母，化为整式方程，然后解整式方程即可，注意要检验.
21.（本题满分6分）一元二次方程mx2−2mx+m−2=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的X围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1−x2|=1，求m．
解得：m=8；……..5′
经检验m=8是原方程的解．……..6′
考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系．
22.（本题满分8分）
如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠ B=60°， CD是⊙ O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC.
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求PD的长. 【答案】见解析P
O
D
C
B
A
【解析】
23.（本题满分6分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课
外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%．
类别科普类教辅类文艺类其他
册数（本）128 80 m 48
（1）求表格中字母m的值及扇形统计图
中“教辅类”所对应的圆心角a的度数；
（2）该校2014年八年级有500名学生，
请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？
24.（本题满分10分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天
可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，
赢利市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】见解析
【解析】
试题分析：首先设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解，在解出x的值后，
要考虑尽可能让利于顾客，赢得市场进行取舍．
试题解析：（1）解：设每千克核桃应降价x元……1分
25.（本题满分8分）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形
在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30度的夹角，
示意图如图2所示．在图2中，每个菱形的边长为10cm，
锐角为60度．
（1）连接CD、EB，猜想它们的位置关系并加以证明；
（2）求A、B两点之间的距离（结果保留根号）
【答案】见解析
【解析】
试题分析：：（1）连接DE ．由菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再由平行线的判定可得CD ，EB 的位置关系；
26.（本题满分10分）如图，△ABC 中，AB=AC=4 5 ，cosC=
5
5
． （1）动手操作：利用尺规作以AC 为直径的⊙O，并标出⊙O 与AB 的交点D ，与BC 的交点E （保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的图中， ①求证：⌒DE=⌒
CE ；②求点D 到BC 的距离．
【答案】见解析 【解析】
试题分析：（1）先作出AC 的中垂线，再画圆．（2）边接AE ，AE 是BC 的中垂线，∠DAE=∠CAE ，得出 试题解析：解：（1）如图
A
B
C （第26题图）
……3分
27.（本题满分10分）已知A、B两市相距260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）甲车提速后的速度是▲千米/时，乙车的速度是▲千米/时，点C的坐标为▲；（2）求乙车返回时y与x的函数关系式并写出自变量x的取值X围；
（3）求甲车到达B市时乙车已返回A市多长时间？
28.（本题满分10分）
O
C
D
x小时y千米
260
80
2 4
（第27题图）
在平面直角坐标系xOy中，已知 A(−2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A ，AC =2，BD⊥AB于点B，
BD = 6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.
（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.。