2015届高考数学二轮解题方法篇：专题2 临场必备答题模板 第5讲
2015高考数学解答题答题技巧
2015年高考数学解答题答题技巧平时做解答题就要多总结方法，可是书面的也总结了许多，在这儿我主要讲考试。
我们做这些解答题的时候必须严格按照演绎推理的方式科学逻辑地进行解答和表述，可以说这里已经没有“投机取巧”的机会，但仍然有一些让我们“多拿几分”，“夺取高分”的策略哦。
1.缺步解答如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”，你可以在实战中运用分析一下。
2.跳步答题解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论.如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向;如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。
由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底，这就是跳步解答.也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持卷面的工整.若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答的方法。
3.退步解答“以退求进”是一个重要的解题策略.对于一个较一般的问题，如果你一时不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论.总之，退到一个你能够解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决.为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。
4.逆向解答对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证.如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。
2015届高考数学二轮解题方法篇专题1客观题的解题技巧第2讲
第2讲 五种策略搞定所有填空题[题型解读] 填空题是高考三大题型之一，主要考查基础知识、基本方法以及分析问题、解决问题的能力，试题多数是教材例题、习题的改编或综合，体现了对通性通法的考查．该题型的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系．由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等．近几年出现了定性型的具有多重选择的填空题．方法一 直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1 已知直线x ＝a (0<a <π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 中点的纵坐标为________． 答案 710解析 由题意，知M (a ，sin a )，N (a ，cos a )，则MN 的中点为P (a ，12(sin a ＋cos α))． 而|MN |＝|sin a －cos a |＝15.① 设sin a ＋cos a ＝t ，②①②两式分别平方，相加，得2＝125＋t 2，解得t ＝±75. 又0<a <π2，所以t ＝sin a ＋cos a >0，故t 取75. 所以线段MN 中点的纵坐标为12×75＝710.故填710.拓展训练1 已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2014x 1＋log 2014x 2＋…＋log 2014x 2013的值为________． 答案 －1解析 由题意知f ′(x )＝(n ＋1)x n ，设点P 处切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1. 设a n ＝log 2014x n ＝log 2014n n ＋1＝log 2014n －log 2014(n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 2013＝(log 20141－log 20142)＋(log 20142－log 20143)＋…＋(log 20142013－log 20142014)＝－log 20142014＝－1.故填－1.方法二 特殊值法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．例2 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________. 答案 2解析 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2. 拓展训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. 答案 45解析 令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45＋01＋45×0＝45，故填45. 方法三 排除法填空题中的排除法主要用于多选题，判断正确命题的标号类的题目，解决办法是根据条件和相关的知识来逐个验证排除，从而确定出正确的命题或说法．例3 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，则f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；在区间[－1,1]上，f (x )的最大值为f (1)＝f (－1)＝2，f (x )的最小值为f (0)＝1，故③错误．拓展训练3 在实数集R 中，定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，在平面向量集D ＝{a |a ＝(x ，y )，x ∈R ，y ∈R }上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意的两个向量a 1＝(x 1，y 1)，a 2＝(x 2，y 2)，当且仅当“x 1>x 2”或“x 1＝x 2且y 1>y 2”时，a 1>a 2成立．按上述定义的关系“>”，给出下列四个命题：①若e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，0＝(0,0)，则e 1>e 2>0；②若a 1>a 2，a 2>a 3，则a 1>a 3；③若a 1>a 2，则对于任意a ∈D ，a 1＋a >a 2＋a ；④对于任意向量a >0，0＝(0,0)，若a 1>a 2，则a ·a 1>a ·a 2.其中是真命题的有________．(写出所有真命题的编号)答案 ①②③解析 对于①，e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，因为横坐标1>0，由定义可知e 1>e 2，e 2＝(0,1)，0＝(0,0)，由横坐标0＝0且纵坐标1>0可知e 2>0，所以e 1>e 2>0，故①正确；对于②，a 1>a 2当且仅当“x 1>x 2”或“x 1＝x 2且y 1>y 2”，a 2>a 3当且仅当“x 2>x 3”或“x 2＝x 3且y 2>y 3”，可得“x 1>x 3”或“x 1＝x 3且y 1>y 3”，故可得a 1>a 3，故②正确；对于③，设a ＝(x ，y )，则a 1＋a ＝(x 1＋x ，y 1＋y )，a 2＋a ＝(x 2＋x ，y 2＋y )，又a 1>a 2时，“x 1>x 2”或“x 1＝x 2且y 1>y 2”，所以有“x 1＋x >x 2＋x ”或“x 1＋x ＝x 2＋x 且y 1＋y >y 2＋y ”，即a 1＋a >a 2＋a ，故③正确；对于④，举反例，设a ＝(0,1)，满足a >0，若a 1＝(2,0)，a 2＝(1,0)，a 1>a 2，但a ·a 1＝0×2＋1×0＝0，a ·a 2＝0×1＋1×0＝0，此时，a ·a 1＝a ·a 2，故④错误．方法四 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．Venn 图、三角函数线、函数图象，以及方程的曲线等都是常用的图形．例4 在△ABC 中，∠B ＝π3，O 为△ABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且OP →＝xOA →＋yOC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．答案 [1,2]解析 如图是建立直角坐标系，设圆O 的半径为1，∵∠B ＝π3， ∴A (－32，－12)，C (32，－12)． 设P (cos θ，sin θ)，则θ∈[7π6，11π6]， ∵sin θ＝－x ＋y 2，∴x ＋y ＝－2sin θ∈[1,2]． 拓展训练4 若不等式4x －x 2>(a －1)x 的解集为A ，且A ⊆{x |0<x <2}，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 在同一坐标系中作出函数y ＝4x －x 2和函数y ＝(a －1)x 的图象(如图)，由图可知斜率a －1≥1，即a ≥2.所以实数a 的取值范围是[2，＋∞)．方法五 估算法当题目中的条件有时不能很好地进行转化，或者条件中涉及的量在变化时，我们不方便很好地定量计算，这时往往采用估算法来解决．例5 已知点G 是△ABC 的重心，点P 是△GBC 内一点，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (23，1) 解析 当P 点在G 点位置时，λ＝μ＝13， 所以λ＋μ＝23， 当P 点位于B 点位置时λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1，当P 点位于C 点位置时，λ＝0，μ＝1，λ＋μ＝1，综上，λ＋μ范围为(23，1)． 拓展训练5 不等式1＋lg x >1－lg x 的解集为________．答案 (1，＋∞)解析 先求x 的取值范围得x ≥110， 若x >1则1＋lg x >1,1－lg x <1不等式成立．若110≤x ≤1， 则1＋lg x ≤1－lg x ，原不等式不成立．故正确答案为x >1.1．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝60°，2b 2＝3ac ，则角A 的大小为________．答案 π6或π2解析 由2b 2＝3ac 及正弦定理可知，2sin 2B ＝3sin A sin C ，故sin A sin C ＝12， cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C＝cos A cos C －12， 即cos A cos C －12＝－12， cos A cos C ＝0，故cos A ＝0或cos C ＝0，可知A ＝π6或π2.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.答案 18解析 方法一 ∵AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →，∵AP ⊥BD ，∴AP →·BD →＝0.又∵AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2，∴AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18.方法二 把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18.3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≤4，x ＋2y ≤4，x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 83解析 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点B时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝4，x ＋2y ＝4，解得⎩⎨⎧ x ＝43，y ＝43，即B (43，43)，代入z ＝x ＋y 得z ＝43＋43＝83. 4．在△ABC 中，角A ＝60°，M 是AB 的中点，若AB ＝2，BC ＝23，D 在线段AC 上运动，则DB →·DM →的最小值为________．答案 2316解析 在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即12＝b 2＋4－2b ，即b 2－2b －8＝0，解得b ＝4.设AD →＝λAC →(0≤λ≤1)，则DB →·DM →＝(AB →－AD →)·(AM →－AD →)＝(AB →－λAC →)·(12AB →－λAC →) ＝λ2|AC →|2－32λAB →·AC →＋12|AB →|2 ＝16λ2－6λ＋2，当λ＝316时，16λ2－6λ＋2最小， 最小值为2316. 5．定义：min{a 1，a 2，a 3，…，a n }表示a 1，a 2，a 3，…，a n 中的最小值．已知f (x )＝min{x,5－x ，x 2－2x －1}，且对于任意的n ∈N *，均有f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)＋f (2n )≤kf (n )成立，则常数k 的取值范围是________．答案 [－12，0] 解析 ∵f (x )＝min{x,5－x ，x 2－2x －1}，∴f (1)＝－2，f (2)＝－1，∴f (1)＋f (2)≤kf (1)，即－3≤－2k ，解得k ≤32；同理，f (3)＝2，f (4)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)≤kf (2)，即－2－1＋2＋1≤k ×(－1)，解得k ≤0.由以上可知k 为非正数．当n ≥3时，{f (n )}是以2为首项，－1为公差的等差数列，f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)＋f (2n )≤kf (n )，即－2－1＋2＋5－2n 2×(2n －2)≤k (5－n )， 2n 2－9n ＋10≥k (n －5)，又2n 2－9n ＋10≥2×32－9×3＋10＝1，k (n －5)≤k (3－5)＝－2k ，∴k ≥－12. 综上所述，常数k 的取值范围是[－12，0]． 6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________. 答案 57解析 如图，设|BF |＝m ，由题知，m 2＋100－2×10m cos ∠ABF ＝36，解得m ＝8，所以△ABF 为直角三角形，所以|OF |＝5，即c ＝5，由椭圆的对称性知|BF |＝|AF ′|＝8，(F ′为右焦点)所以a ＝7，所以离心率e ＝57. 7．已知f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )>0或g (x )>0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则实数m 的取值范围是________．答案 (0,8)解析 当f (x )，g (x )满足条件①时，m ≤0显然不合题意；当m >0时，f (0)＝1>0，若对称轴x ＝4－m 2m≥0， 即0<m ≤4，结论显然成立，若对称轴x ＝4－m 2m<0，即m >4， 只要方程2mx 2－2(4－m )x ＋1＝0的判别式Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可， 又m >4，可得4<m <8，所以m ∈(0,8)．当f (x )，g (x )满足条件②时，对于m ∈(0,8)，x ∈(－∞，－4)，g (x )<0恒成立，由①可知，必存在x 0∈(－∞，－4)，使得f (x 0)>0成立，故可得m ∈(0,8)．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋6x ＋e 2－5e －2，x ≤e ，x －2ln x ，x >e (其中e 为自然对数的底数，且e ≈2.718)．若f (6－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________．答案 －3<a <2解析 ∵f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤e ，1－2x ，x >e ，当x ≤e 时，f ′(x )＝6－2x ＝2(3－x )>0，当x >e 时，f ′(x )＝1－2x ＝x －2x>0， ∴f (x )在R 上单调递增．又f (6－a 2)>f (a )，∴6－a 2>a ，解之得－3<a <2.9．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．答案 [－1，＋∞)解析 函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞)．10．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则0≤x ≤12，0≤y ≤23的概率是________． 答案 13解析 由平面向量基本定理及点P 为ABCD 内部或边界上任意一点，可知0≤x ≤1且0≤y ≤1，又满足条件的x ，y 满足0≤x ≤12，0≤y ≤23，所以P (A )＝23×121×1＝13. 11．(2013·辽宁)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63. 12．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM ⊥PC解析 易得BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC ，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．答案 x 24－y 212＝1 解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得b a ＝3，∴b ＝3a . ∵抛物线y 2＝16x 的焦点F (4,0)，∴c ＝4.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2，∴a 2＝4，b 2＝12，∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 14.e 416，e 525，e 636(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________． 答案 e 416<e 525<e 636解析 由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636. 而f ′(x )＝(e xx 2)′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636. 15．定义区间[x 1，x 2] (x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________． 答案 3解析 如图，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)＝2，(b －a )max ＝4－14＝154， (b －a )min ＝1－14＝34，则154－34＝3.。
2015高考数学大二轮总复习课件：第1部分专题5第2讲
热点聚焦 ·题型突 第二十页，编归辑于纳星总期五结：十·五思点 五分。
当直线 l⊥x 轴时，S＝92， 所以△BMN 的面积的最大值为92. 规律方法 解决最值问题的常用方法：(1)数形结合法：根据待 求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．(2)构建 函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其 最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需要换元 后再求最值)．
x＝x2， 解得交点 D 的坐标为y＝yx1x12. 注意到 x1x2＝－8 及 x21＝4y1，则有 y＝y1xx211x2＝－48y1y1＝－2， 因此 D 点在定直线 y＝－2(x≠0)上．
热点聚焦 ·题型突 第九页，编辑归于星纳期总五：结十五·点思五分。
(2)依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 y＝ax＋b(a≠0)，代入 x2＝4y 得 x2＝4(ax＋b)， 即 x2－4ax－4b＝0， 由 Δ＝0 得(4a)2＋16b＝0，化简整理得 b＝－a2. 故切线 l 的方程可写为 y＝ax－a2. 分别令 y＝2，y＝－2 得 N1，N2 的坐标为 N12a＋a，2，N2－2a＋a，－2， 则|MN2|2－|MN1|2＝2a－a2＋42－2a＋a2＝8， 即|MN2|2－|MN1|2 为定值 8.
热点聚焦 ·题型突 第十三页，编归辑于纳星总期五结：十·五思点 五分。
(2)①当直线 l 斜率不存在时， |AB|2＝(2b)2＝4b2，|MN|＝2ab2， 所以 W＝||AMBN|2|＝42bb22＝2a＝4.
a ②当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)， 且 M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题讲解 课件 第二讲 保分题——模板解,分分必保
4＋3 10
3，
⇒12 分
所以，△ABC 的面积为 S＝12acsin B＝8
3＋18 25 .
⇒14 分
[解题模板]
第 1 步：利用三角恒等变换公式转化等量关系．如本 ↓ 例应用降幂公式和正弦二倍角公式及辅助角
公式，将已知等式转化为 sin2A－π6＝ sin2B－π6； 第 2 步：求角．在指明角的范围的情况下，结合三角
[规范解答]
(1) 由题意得1＋c2os 2A－1＋c2os 2B＝ 23sin 2A－
23sin 2B， ⇒2 分
即
3 2 sin
2A－12cos
2A＝
3 2 sin
2B－12cos
2B，
⇒3 分
sin2A－π6＝sin2B－π6. ⇒4 分 由 a≠b，得 A≠B，又 A＋B∈(0，π)，
得 2A－π6＋2B－π6＝π， ⇒5 分
1213－15 ＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝16＋1213－2n1＋1 <16＋16＝
由 2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得 kπ－38π≤x≤kπ ＋π8，k∈Z. ⇒12 分
所以 f(x)的单调递增区间为kπ－38π，kπ＋π8，k ∈Z. ⇒13 分
第 1 步：三角函数式的化简，一般将三角函数式化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋b 的形式．如本例中将 f(x)化为 f(x)＝
问题三 数列的通项与求和
[例 3] (2014·广东高考)(14 分)设各项均为正数的数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 Sn 满足 S2n－(n2＋n－3)Sn－ 3(n2＋n)＝0，n∈N*.
(1)求 a1 的值； (2)求数列{ an} 的通项公式； (3)证明：对一切正整数 n，有a1a11＋1＋a2a21＋1 ＋…＋anan1＋1<13.
2015届高考数学二轮专题训练：专题五 第2讲 空间中的平行与垂直
第2讲空间中的平行与垂直考情解读 1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2.提醒3．平行关系及垂直关系的转化热点一空间线面位置关系的判定例1(1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α思维启迪判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定．答案(1)D(2)D解析(1)A：应该是b∥α或b⊂α；B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；C：α∩β＝m，若a∥m 时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确，所以选D.(2)若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β②若m⊥α，n⊥α，则m∥n③若m⊥α，m⊥n，则n∥α④若n⊥α，n⊥β，则β∥α其中真命题的序号为()A．①③B．②③C．①④D．②④答案 D解析①若α⊥β，m∥α，则m与β可以是直线与平面的所有关系，所以①错误；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以②正确；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，所以③错误；④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，所以④正确．故选D.热点二平行、垂直关系的证明例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪(1)利用平面P AD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；(2)BE∥AD易证；(3)EF是△CPD的中位线．证明(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知P A⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 所以CD ⊥平面BEF . 又CD ⊂平面PCD ， 所以平面BEF ⊥平面PCD .思维升华 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点． 求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG . ∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . 热点三 图形的折叠问题例3 如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．思维启迪折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.思维升华(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．如图(1)，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝x .沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图(2)所示)，G 是BC 的中点．(1)当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；(2)当x 变化时，求三棱锥D －BCF 的体积f (x )的函数式．(1)证明 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接BH ，GH ，因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，DH ⊂平面AEFD ， 所以DH ⊥平面EBCF ，又EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH . 因为EH ＝AD ＝12BC ＝BG ＝2，BE ＝2，EF ∥BC ，∠EBC ＝90°，所以四边形BGHE 为正方形，故EG ⊥BH .又BH ，DH ⊂平面DBH ，且BH ∩DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH . 又BD ⊂平面DBH ，故EG ⊥BD .(2)解 因为AE ⊥EF ，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，AE ⊂平面AEFD ， 所以AE ⊥平面EBCF .由(1)知，DH ⊥平面EBCF ，故AE ∥DH ，所以四边形AEHD 是矩形，DH ＝AE ，故以B ，F ，C ，D 为顶点的三棱锥D －BCF 的高DH ＝AE ＝x . 又S △BCF ＝12BC ·BE ＝12×4×(4－x )＝8－2x ，所以三棱锥D －BCF 的体积f (x )＝13S △BFC ·DH＝13S △BFC ·AE ＝13(8－2x )x ＝－23x 2＋83x (0<x <4)．1．证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； (2)利用平行四边形进行转换； (3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明．2．证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行．3．证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行．4．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．5．证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．6．证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.真题感悟1．(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案 B解析方法一若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．方法二如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．B项中，m⊥α，n⊂α，∴m ⊥n ，这是线面垂直的性质，故B 正确． C 项中，若m 为AA ′，n 为AB ， 满足m ⊥α，m ⊥n ，但n ⊂α，故C 错． D 项中，若m 为A ′B ′，n 为B ′C ′， 满足m ∥α，m ⊥n ，但n ∥α，故D 错．2．(2014·辽宁)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点． (1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．(1)证明 由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC . 又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3， 所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12. 押题精练1.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题： ①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面P AC .2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？并证明你的结论． (1)证明 如图，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， 所以B 1C 1⊥面ABB 1A 1. 因为A 1B ⊂面ABB 1A 1， 所以B 1C 1⊥A 1B .又因为A 1B ⊥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1，所以A 1B ⊥面ADC 1B 1.因为A 1B ⊂面A 1BE ，所以平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE . (2)解 当点F 为C 1D 1中点时，可使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：取C 1D 1中点F ，连接EF ，B 1F 易知：EF ∥C 1D ，且EF ＝12C 1D .设AB 1∩A 1B ＝O ，连接OE ，则B 1O ∥C 1D 且B 1O ＝12C 1D ，所以EF ∥B 1O 且EF ＝B 1O ， 所以四边形B 1OEF 为平行四边形． 所以B 1F ∥OE .又因为B 1F ⊄面A 1BE ，OE ⊂面A 1BE . 所以B 1F ∥面A 1BE .(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D解析 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.2．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β答案 B解析根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．A1C⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1答案 D解析因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1∥BB1且DD1＝BB1，所以四边形DD1B1B为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为BD⊄面CB1D1，B1D1⊂面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为AA1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，所以AA1⊥BD，因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为AC∩AA1＝A，所以BD⊥面A1ACC1，因为A1C⊂面A1ACC1，所以BD⊥A1C，故B正确．同理可证得B1D1⊥面A1ACC1，因为AC1⊂面A1ACC1，所以B1D1⊥AC1，同理可证CB1⊥AC1，因为B1D1∩CB1＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，故C正确．排除法应选D.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.5．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 D解析对①，根据线面平行的判定定理知，m∥α；对②，如果直线m与平面α相交，则必与β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α；对③，在平面α内取一点A，设过A、m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α，所以n⊥b，又m⊥n，所以m∥b，则m∥α；对④，设α∩β＝l，在α内作m′⊥β，因为m⊥β，所以m∥m′，从而m∥α.故四个命题都正确．6.在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是()A．12π B．32πC．36π D．48π答案 C解析由MN⊥AM且MN是△BSC的中位线得BS⊥AM，又由正三棱锥的性质得BS⊥AC，∴BS⊥面ASC.即正三棱锥S－ABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为3SA＝6.∴球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.选C.二、填空题7．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数为_________________．答案 2解析①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β，且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故③④正确．8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB 和过点A 的一个与平面MNP 平行的平面相交，因此直线AB 与平面MNP 相交；对于③，注意到此时直线AB 与平面MNP 内的一条直线MP 平行，且直线AB 位于平面MNP 外，因此直线AB 与平面MNP 平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP 相交．综上所述，能得出直线AB 平行于平面MNP 的图形的序号是①③.9.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x .易知Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得AC A 1F ＝AF A 1D， 即2a x ＝3a －x a， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a .10．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (不含端点)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫121 解析 破解此题可采用两个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，t ＝1，随着F 点到C 点时，∵CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，∴CB ⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD ，对于CD ＝2，BC ＝1，∴BD ＝3，又AD ＝1，AB ＝2，因此有AD ⊥BD ，则有t ＝12，因此t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.三、解答题11．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)求证：AC 1∥平面CDB 1.证明 (1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC .CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥CC 1，又BC ∩CC 1＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，∵D 是AB 的中点，E 是C 1B 的中点，∴DE ∥AC 1，∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.12．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB . (1)求证：EF ∥平面BC 1D ；(2)在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点M ，连接A 1M .因为AF ＝14AB ，所以F 为AM 的中点． 又E 为AA 1的中点，所以EF ∥A 1M .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，M 分别是A 1B 1，AB 的中点，所以A 1D ∥BM ，A 1D ＝BM ，所以四边形A 1DBM 为平行四边形，所以A 1M ∥BD .所以EF ∥BD .因为BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，所以EF ∥平面BC 1D .(2)解 设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15，如图所示．则V E －AFG ∶VABC －A 1B 1C 1＝1∶16，所以V E －AFG VABC －A 1B 1C 1＝13×12AF ·AG sin ∠GAF ·AE 12×AB ·AC sin ∠CAB ·AA 1＝13×14×12×AG AC ＝124×AG AC 由题意，124×AG AC ＝116，解得AG AC ＝2416＝32. 所以AG ＝32AC >AC ，所以符合要求的点G 不存在． 13.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，∠ABC ＝120°，E ，M 分别为AB ，DE 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，F 为A ′C 的中点，A ′C ＝4.(1)求证：平面A ′DE ⊥平面BCD ；(2)求证：FB ∥平面A ′DE .证明 (1)由题意，得△A ′DE 是△ADE 沿DE 翻折而成的，∴△A ′DE ≌△ADE .∵∠ABC ＝120°，四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝60°.又∵AD ＝AE ＝2，∴△A ′DE 和△ADE 都是等边三角形．如图，连接A ′M ，MC ，∵M 是DE 的中点，∴A ′M ⊥DE ，A ′M ＝ 3.在△DMC 中，MC 2＝DC 2＋DM 2－2DC ·DM cos 60°＝42＋12－2×4×1×cos 60°，∴MC ＝13.在△A ′MC 中，A ′M 2＋MC 2＝(3)2＋(13)2＝42＝A ′C 2.∴△A ′MC 是直角三角形，∴A ′M ⊥MC .又∵A ′M ⊥DE ，MC ∩DE ＝M ，∴A ′M ⊥平面BCD .又∵A ′M ⊂平面A ′DE ，∴平面A ′DE ⊥平面BCD .(2)取DC 的中点N ，连接FN ，NB .∵A ′C ＝DC ＝4，F ，N 分别是A ′C，DC 的中点，∴FN∥A′D.又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，∴BN∥DE.又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N，∴平面A′DE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A′DE.。
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 三、考前必懂的26个解题方法
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14．证明位置关系的方法
(1)线面平行： ⇒a∥α.
(2) 线 线 平 行 ：
a∥b b⊂α⇒a∥α，
a⊄α
αa⊂∥ββ⇒a∥α，
α⊥β a⊥β
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11．数列的通项的求法 (1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项 公式． (2)已知 Sn(即 a1＋a2＋…＋an＝Sn)求 an，用作差法： an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2. (3)已知 a1·a2·…·an＝f(n)，求 an，用作商法：
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(4)若 an＋1－an＝f(n)，求 an，用累加法：an＝(an－an－1) ＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋ f(1)＋a1(n≥2)．
(5)若aan＋n1＝f(n)，求 an，用累乘法： an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．
＋C 同号，则 P，Q 在直线 l 的同侧；异号则在直线 l 的异侧． (2)求解线性规划问题的步骤：①根据实际问题的约束条
件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标
函数的最优位置，从而获得最优解．
(3)可行域的确定：“线定界，点定域”，即先画出与不
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2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 二、考前必会的27个规律、推论
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2．常用逻辑用语的常用规律 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有 关系． (3)在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，可 转化为判断其逆否命题的真假．
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(5)y＝f(x)的图像关于直线 x＝m 对称的图像是函数 y＝ f(2m－x)的图像．
(6)y＝f(x)的图像关于直线 y＝n 对称的图像是函数 y＝2n －f(x)的图像．
(7)y＝f(x)的图像关于点(a，b)对称的图像是函数 y＝2b －f(2a－x)的图像．
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15．直观图 (1)空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．对斜二 测画法的规则可以记忆为：“平行要保持，横长不变，纵长 减半”． (2)由直观图的画法规则可知：任何一个平面图形的面积 S 与它的斜二测画法得到的直观图的面积 S′之间具有关系 S′＝ 42S.用这个公式可以方便地解决相关的计算问题．
含有 0 个元素，{0}是以 0 为元素的单元素集合，但是 0∉∅，
而∅⊆{0}．
(3)∅是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真
子集．所以当两个集合之间存在子集关系时，不要忘记对空
集的讨论，即若 A⊆B，则应分 A＝∅和 A≠∅两种情况进行分
析．
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2015届高考数学二轮题型归纳训练数列要点讲解
数列一、高考要求理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.二、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。
（3）加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。
等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有，即.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列.②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。
2015年高考数学答题模板(高分秘籍--绝密)
2015年高考数学答题策略技巧及答题模板一、历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。
如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。
当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键；二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。
一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。
当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。
一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。
切记不要“小题大做”。
注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。
虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。
多写不会扣分，写了就可能得分。
三、答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15不等式题目注意绝对值的几何意义；16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
直击高考 把握高考走向2015高考数学文解答题答题模板
π 2 π 因为 0<α< ，sin α＝ ，所以 α＝ ， 2 2 4 2 π 2 3π 1 从而 f(α)＝ sin(2α＋ )＝ sin ＝ . 2 4 2 4 2
1 跟踪训练 1 (2014· 福建)已知函数 f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－ . 2 (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
第1讲 三角变换与三角函数性质问题
例1 已知函数
(1) 设 x ＝ x0 是函数 y ＝ f(x) 图象的一条 对称轴，求g(x0)的值；
破题切入点 由 x ＝ x0 是 y ＝ f(x) 的对称轴可得 f(x0) 取到 f(x)的最值；
π 2 f(x) ＝ cos x＋ ， 12
(1) 设 x ＝ x0 是函数 y ＝ f(x) 图象的一条 对称轴，求g(x0)的值；
破题切入点 由 x ＝ x0 是 y ＝ f(x) 的对称轴可得 f(x0) 取到 f(x)的最值；
π 2 f(x) ＝ cos x＋ ， 12
1 g(x)＝1＋ sin 2x. 2
π π 所以 2x0＋ ＝kπ (k∈Z)，即 2x0＝kπ－ (k∈Z)． 6 6 1 1 π 所以 g(x0)＝1＋ sin 2x0＝1＋ sinkπ－ ，k∈Z. 2 2 6
2 1 a1－ ＝ 为首项， 公比为 2 的等 3 3
比数列．
2 1 n n－1 所以 an＋ (－1) ＝ ×2 ， 3 3 1 2 n－1 ∴an＝ ×2 － ×(－1)n. 3 3
第2讲 常考的数列综合问题
数列求和问题
已知数列{an}的前n项和Sn＝－ 1n2＋ 由 Sn 的最大值， 2 可据二次函数性质 kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8. 例3
2015高三数学专题二：选择题的解法
解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间 接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常 用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题 都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题 目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择 题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题
的原则是：小题巧解，小题不能大
做．
方法一 直接法 方法二 特例法 方法三 排除法(筛选法) 方法四 数形结合法(图解法)
1≤x≤4， －2≤x<1.
在同一坐标系中分别作出函数 g(x)＝12|x－1|(－2≤x≤4) 和 h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象(如图)，
由图象可知，函数 g(x)＝12|x－1|关于 x＝1 对称，
又x＝1也是函数h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的 对称轴，
所以函数g(x)＝
为( )
3 A. 2
B. 2 C．1
1 D.2
解析 如图，当△ABC为正三角形时，A＝
B＝C＝60°，取D为BC的中点，A→O＝23A→D ，
则有 13A→B＋ 13A→C＝2m·A→O， ∴ 13(A→B＋A→C)＝2m×23A→D， ∴ 13·2A→D＝43mA→D，
∴m＝ 23，故选 A. 答案 A
选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不 讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地 利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出 判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直 接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜 选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正 确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．
方法五 估算法 方法六 分析法
方法一 直接法
直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推 理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问 题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计 算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直 接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、 公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、 合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照， 从而作出相应的选择．
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第二讲 高考中的数列(解答题型)
＝13.
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(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而 a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n ＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0. ①
但212n<221n－1，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|. ②
六招解决数列求和问题 (1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为 n 个等差数列或等比数列，然后应用公式求和． (2)错位相减法：(见主干整合) (3)裂项相消法：(见主干整合) (4)倒序相加法：(见主干整合) (5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再 求 Sn. (6)归纳猜想法：通过对 S1，S2，S3，…的计算进行 归纳分析，寻求规律，猜想出 Sn，然后给出证明．
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1．已知数列{an}满足 a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.
(1)若{an}是递增数列，且 a1,2a2,3a3 成等差数列，求 p 的 值；
(2)若 p＝21，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求 数列{an}的通项公式．
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数列求和常用的方法 1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成
cn＝an＋bn 形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等 差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，
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2015高考数学第二轮复习专题讲解 变化中的规律探索 (含试题及答案)
变化中的规律探索专题清单不变量的发现及转化 运动中的状态存在性判断 动点轨迹的定性判断两个量的函数关系探索某些量的取值范围探索专题讲练描述例题本节主要讲述变化中有关几何体体积及角度的问题． 这类问题表面看有好多点在动，使我们理不清头绪，其实我们只要找到其中的不变量，进而把一个复杂的变化问题转化成只有一个量在变的问题，就可以使问题简单化．不变量的发现及转化如图，正方体 的棱长为 ，动点 ， 在棱 上，动点 ， 分别在棱 ， 上，若 ，，，（ 大于零），则四面体 的体积（）A．与 ，， 都有关B．与 有关，与 ， 无关C．与 有关，与 ， 无关D．与 有关，与 ， 无关解：D．四面体 可以看成是三棱锥 ，其底面 的面积是一定的，故三棱锥 的体积与 ， 无关；而对于 的不同位置，三棱锥 的高不断改变，故三棱锥 的体积与 有关．注：对于四面体体积问题，选取的底面是否合适，决定了我们处理问题的难易程度．此题我们选取 为底面，是因为它的面积为定值．这样我们就将四面体体积问题转化成讨论点 到面 （即面 ）的距离问题．ABCD −A 1B 1C 1D 12E F A 1B 1P Q AD CD EF =1E =x A 1DQ =y DP =z x ,y ,z PEFQ x y z x y z y x z z x y PEFQ P −EFQ △EFQ P −EFQ x y P P −EFQ P −EFQ z △EFQ P EFQ DC A 1B 1如图，正方体 ，则下列四个命题：① 在直线 上运动时，三棱锥 的体积不变；② 在直线 上运动时，直线 与平面 所成角的大小不变；③ 在直线 上运动时，二面角 的大小不变，其中真命题的编号是______．解：①③．① 由 ，得 ，则 到平面 的距离为定值，从而 三ABCD −A 1B 1C 1D 1P BC 1A −PC D 1P BC 1AP ACD 1P BC 1P −A −C D 1B ∥A C1D 1B ∥平面AC C 1D 1P ACD 1棱锥 ，即三棱锥的体积不变；② 直线 与平面 所成的角和直线 与平面 所成的角不相等；所以 在直线 上运动时，直线 与平面 所成角的大小会发生变化；③ 在直线 上运动时，平面 即平面 ，它不发生改变，所以二面角 的大小不变．注：这道题我们只要抓住 这个关键信息，就抓住了它的实质．我们可推出两个结论：1）当 在 上运动时，点 到面 的距离为定值；2）面 和面 是同一个面．P −AC D 1A −PC D 1AB ACD 1AC 1ACD 1P BC 1AP ACD 1P BC 1A P D 1A B D 1C 1P −A −C D 1B ∥面A C C 1D 1P BC 1P A C D 1PAD 1A B D 1C 1如图，在四棱锥 中，，底面 为正方形，，， 分别为线段 上的点，若 ，则三棱锥 体积的最小值为______．解：．由题意知过点 作 于点 ，如图：易知当 取最小值时， 、 一定在点 两边，不妨设 ，，由 知，则 ，．所以当且仅当 时取到等号．其他解法：由题意知P −ABCD PD ⊥平面ABCD ABCD PD =AD =2M N AC ∠MBN =30∘M −PNB 4(2−)3√3V M −PNB ==⋅V P −MNB 23S △MNB =⋅sin ⋅BM ⋅BN 231230∘=BM ⋅BN .16B BH ⊥AC H MN M N H ∠MBH =α∠NBH =βBH =2√=⋅⋅=V M −PNB 162√cos α2√cos β13cos αcos βα+β=π6V M −PNB ==13cos αcos (−α)π613cos α(cos α+sin α)3√212=⋅⩾⋅=(2−).431+2sin (2α+)3√π34312+3√433√α=π122设 ，，．此题转化成求 的最小值．因为，所以 ．根据余弦定理有所以即 ，当且仅当 时等号成立．所以要求四棱锥体积的最小值为 ．注：我们把面 看做底面，则高为 ，为定值，所以我们只需求 面积的最小值即可．而 的面积为 （ 为点 到 的距离，为定值），所以我们只需求 长度的最小值即可．或是用另外一个面积公式，此时我们只需求 的最小值即可．V M −PNB ==⋅V P −MNB 23S △MNB =⋅sin ⋅BM ⋅BN 231230∘=BM ⋅BN .16BM =m BN =n MN =t mn =mn sin =t ⋅S △MNB 1230∘122√t =mn 2√4=+−2mn cos ,t 2m 2n 230∘=+−mn ⩾2mn −mn ,18m 2n 2m 2n 23√3√mn ⩾8(2−)3√m =n 4(2−)3√3BMN PD △BMN △BMN MN ⋅h 12h B AC MN =BM ⋅BN sin S △BMN 1230∘BM ⋅BN 如图所示，在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面上的动点，且 ，则 与平面 所成角的正切值构成的集合是（）A．B． C．D． 解：C将问题分成两部分：①找到 的轨迹；②根据 的轨迹求所求正切值的范围．ABCD −A 1B 1C 1D 1E DD 1F CDD 1C 1F ∥面BE B 1A 1F B 1CDD 1C 1{2}{}25√5[2,2]2√[,2]25√5F F M 、N练习①如图， 分别为 、 的中点，则线段 为点 的轨迹．②连接 、 ，则 为所求正切值．设正方体棱长为 ，则的范围为 ，于是所求正切值的范围为 ．注：通过解析可知，我们把要求的线面角转化成了线段 的长度范围问题，进而使问题变得简单．M 、N C 1D 1C C 1MN F F B 1F C1tan ∠F =B 1C 1B 1C 1FC 12F C 1[,1]2√2[2,2]2√F C 1答案：解析：1. 正方体 的棱长为 ， 在 上滑动，且 ， 点在上滑动，则四面体 的体积 ．A ．与 位置有关B ．与 位置有关C ．与 位置都有关D ．与 位置均无关,是定值D ．A 'B 'C 'D '−ABCD a EF AB |EF |=b (b <a )Q D 'C 'A '−EFQ ()E ,F Q E ,F ,Q E ,F ,Q ===V A '−EFQ V Q −A 'EF 13S EF A ′D ′A ′ba 262. 如图， 、 分别为棱长为 的正方体的棱 、 的中点，点 、 分别为面对角线 和棱 上的动点（包括端点），则下列关于四面体 的体积正确的是A ．此四面体体积既存在最大值，也存在最小值B ．此四面体的体积为定值E F 1A 1B 1B 1C 1G H AC DD 1E −FGH ()答案：解析：C ．此四面体体积只存在最小值D ．此四面体体积只存在最大值A、分别为棱长为 的正方体的棱 、 的中点．，而 ， ．为面对角线 上的动点， 点 到直线 的距离为定值，则三角形 的面积为定值．四面体 的体积 ， 为点 到 的距离．当点 在 处 取最大值，在点 处 取最小值， 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值∵E F 1A 1B 1B 1C 1∴EF ∥A 1C 1∥AC A 1C 1∴EF ∥AC ∵G AC ∴G EF EFG ∵E −FGH V =⋅⋅h 13S △EFG h H 面EFG ∴H D 1h D h ∴答案：解析：3. 如图，正方体 的棱长为 ，， 分别为线段 ， 上的点，则三棱锥 的体积为 ．由于 ，且 ，而 与平面 平行，故点 到平面 的距离等于 ，因此．ABCD −A 1B 1C 1D 11E F AA 1C B 1−EDF D 116=V F −DE D 1V −EDF D 1=×1×1=S △DE D 11212C B 1ADD 1A 1F DE D 11==××1=VF −DE D 1V −EDF D 1131216答案：解析：4. 如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ，，且，则下列结论中错误的是 ．A ．B ． 平面C ．三棱锥 的体积为定值D ．异面直线 , 所成的角为定值D，所以 A 正确；B 显然正确；为定值，点 到平面 的距离为定值，故C 正确；取 的中点 ，连结 ，则 ， 即为 ， 所成的角，而 不是定值，所以D 错误．ABCD −A 1B 1C 1D 11B 1D 1E F EF =2√2()AC ⊥BEEF ∥ABCDA −BEF AE BF AC ⊥ 平面 BDD 1B 1S △BEF A BEF 2√2AC O OE OE ∥BF ∠AEO AE BF ∠AEO描述例题我们常常会碰到在一个变化过程中让我们判断某个量（点，线，角，三角形面积等）的取值是否存在以及存在几个的问题，解决这类问题只要选取合适的特征量并分析清楚它的变化趋势即可．运动中的状态存在性判断过圆 的圆心，作直线分别交 轴 、 轴正半轴于点 、 ， 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 ，则直线 有（）A． 条B． 条C． 条D． 条解：B．由已知得 ，第 II、IV 部分的面积是定值，所以， 为定值，即 为定值，当直线 绕着圆心 转动时， 的值单调变化（即由小变大或由大变小），变化范围是 ，所以有且只有一个位置符合题意，即直线 只有一条．注：此题我们分析 值的变化即可．在 绕圆心转动的过程中，会从 单调递增到 ．所以对于任意 ，满足 的直线位置都唯一存在．C :+=1(x −1)2(y −1)2x y A B △ABC +=+S ⅠS ⅣS ⅡS ⅢAB 0123−=−S ⅣS ⅡS ⅢS Ⅰ−S ⅣS Ⅱ−S ⅢS ⅠAB C −S ⅢS Ⅰ(−∞,+∞)AB −S ⅢS ⅠAB −S ⅢS Ⅰ−∞+∞M ∈R −=M S ⅢS Ⅰ已知点 ．若曲线 上存在两点 、 ，使 为正三角形，则称 为 型曲线．给定下列三条曲线：① ；② ；③ ．其中， 型曲线的个数是（）A． B． C． D． 解：C．对于①，如图 ，当 运动到曲线两端点时，，所以 ．所以曲线上存在两点 ，使 为正三角形．它是 型曲线．对于②，如图 ，当 运动到曲线两端点时，，所以曲线上不存在两点 ，使 为正三角形，它不是 型曲线．对于③，如图 ，我们固定 ，令 在曲线上滑动，当 向上滑动的过A (−1,−1)GBC △ABC G Γy =−x +3(0⩽x ⩽3)y =(−⩽x ⩽0)2−x 2−−−−−−√2√y =−(x >0)1xΓ01231B ,C cos ∠A =<B ′C ′81712∠A >B ′C ′60∘B ,C △BAC Γ2B ,C ∠BAC =<45∘60∘B ,C △ABC Γ3∠BAC =60∘B ,C B ,C AB程中，会从 的情况变到 的情况，即 的值会从大于 连续变化到小于 ，所以总有一个位置满足 ，此时 为等边三角形．曲线是 型曲线．注：对于③，我们固定 ，当 在曲线 上变化时，分析 的值的变化即可，当它的比值为 时，就得到等边三角形．同样，假如我们要找以 为顶点的等腰直角三角形，我们就固定 ，然后看 的值能否得 即可．如果我们要找顶点在曲线 上的等腰直角三角形，我们就固定 ，看的值能否得 或 即可．AB >AC AB <AC ABAC11=1ABAC△ABC Γ∠BAC =60∘B ,C y =−1x ABAC1A ∠BAC =90∘ABAC1y =−1x ∠BAC =45∘ABAC2√2√2已知点 在曲线 上， 过原点 ，且与 轴的另一个交点为 ．若线段 ， 和曲线 上分别存在点 、点 和点 ，使得四边形 （点 ，，， 顺时针排列）是正方形，则称点 为曲线 的“完美点”，那么下列结论中正确的是（）A．曲线 上不存在“完美点”B．曲线 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于C．曲线 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于 且小于D．曲线 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于解：B．如下图左，如果点 为"完美点"，则有 ．以 为圆心， 为半径作圆 （如下图右中虚线圆），交 轴于点 （可重合），交抛物线于点 ，点 为“完美点”当且仅当 ，如下图右．（结合图象知， 点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在 点使得 ；也一定是上方的交点，否则 不是顺时针）下面考虑当点 的横坐标越来越大时， 的变化情况：设 ，当 时，，此时圆 与 轴相离或相切，此时 不是完美点，故只需考虑 ．当 增加时， 越来越小，且趋近于 （具体推理放在后面）；而当 时，；故曲线 上存在唯一一个完美点，其横坐标大于 ．当 增加时， 越来越小，且趋近于 的推理：过点 作 轴 于点 ，分别过点 作 轴的平行线，交于点 ，先考虑 ：，于是当 增大时， 减小，且趋于 ，从而 增大，且趋近于 ；再考虑 ，记 ，则 ．随着 的增大， 的长增大， 也随着增大，于是 增大，从而增大， 增大，且趋近于 ，所以 ，随着 的增大而减小，且趋近于 ．注：此题要找到符合条件的正方形，我们只要保持以 为顶点的两邻边相等，然后分析它们的夹角的变化趋势即可，看能否达到 ．A P :y =(x >0)x 2⊙A O y M OM ⊙A PBCD ABCD A B C D A P P P 1P 121P 12A AB =AD =AC =OA 2√22√2A OA 2√2Γy B ,B ′D ,D ′A AB ⊥AD B D AB ⊥AD D A ,B ,C ,D A ∠BAD A (m ,)m 2m <1∠AOy >45∘Γy A m ⩾1m ∠BAD 0∘m =1∠BAD >90∘P 1m ∠BAD 0∘A AH ⊥y H A 、D x 、y N ∠BAH cos ∠BAH ==m2√2+m 2m 4−−−−−−−−−√2√1+m 2−−−−−−−√m cos ∠BAH 0∠BAH 90∘∠DAN D (n ,)n 2tan ∠DAN ==n +m −n 2m 2n −mm OA AD =OA 2√2n +m tan ∠DAN ∠DAN 90∘∠BAD =π−∠BAH −∠DAN m 0∘A 90∘练习答案：解析：1. 点 是曲线 上的一个动点，曲线 在点 处的切线与 轴、轴分别交于 ， 两点，点 是坐标原点．给出三个命题：① ；② 的周长有最小值 ；③曲线 上存在两点 ，使得 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是A ．B ．C ．D ．C 设 ，则过点 的切线方程为 ，可求得 ，，显然点 是 的中点，所以①成立；的周长为 ，当且仅当 时取到等号，所以②成立；显然， 不可能是直角．设 ，且 在 的右边，如图所示．当 趋近于 轴时， 趋近于正无穷大，当 逐渐向左移动时， 单调递减，且当 趋近于 轴时， 趋近于 ，而且这是一个连续变化的过程，所以中间必然存在某个位置，使得 或 ，此时 或 是 ， 为等腰直角三角形，③成立．P (x ,y )C :y =(x >0)1xC P x y A B O |PA |=|PB |△OAB 4+22√C M ,N △OMN ()1230P (m ,)1m (m >0)P y −=−(x −m )1m 1m 2A (2m ,0)B (0,)2mP AB △OAB 2m ++⩾4+22m 4+m 24m 2−−−−−−−−−√2√m =1∠MON ∠NOM =45∘M N M x |OM ||ON |M |OM ||ON |N y |OM ||ON |0=|OM ||ON |2√=|OM ||ON |2√2∠MNO ∠NMO 90∘△OMN 答案：解析：2. 点 在直线 上，若存在过 的直线交抛物线 于 两点，且 ，则称点 为" 点"，那么下列结论中正确的是 A ．直线上的所有点都是" 点"B ．直线上仅有有限个点是" 点"C ．直线上的所有点都不是" 点"D ．直线上有无穷多个点(点不是所有的点)是" 点"A设 为直线上任意一点， 为抛物线上的点．由 ，得 点为 ，因为 点在抛物线上，故有 ，即 ，而，因此对直线 上任一点，总能符合题意．P l :y =x −1P y =x 2A ,B |PA |=|AB |P A ()A A A A P (m ,m −1)A (x ,)x 2|PA |=|AB |B (2x −m ,2−m +1)x 2B 2−m +1=x 2(2x −m )22−4mx ++m −1=0x 2m 2Δ=−8(+m −1)=8+6>0(−4m )2m 2(m −)122l 3. 设 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为 的直线．给出下列三个结论：,,l 1l 2l 34,5,6答案：解析：① ，使得 是直角三角形；② ，使得 是等边三角形；③三条直线上存在四点 ，使得四面体 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．其中，所有正确结论的序号是 A ．①B ．①②C ．①③D ．②③B①如图 ，取 ．当 ， 时，；当趋于平面 下方无穷远处， 趋于平面 上方无穷远处时， 趋于 ；因此一定存在某个位置 使得 ．②如图 ，取 ．取 位于 点上方且 ，，则 ，，此时；取 趋于平面 上方无穷远处，但运动中始终保持 ，此时趋于 ．因此一定存在某个位置 使得 ．③显然四个点中有两个点（设为 ）位于同一条直线，另外两点（设为 ）分别落在其他两条直线．或 显然不可能为直角顶点．若 或 为直角顶点，不妨设 为直角顶点．则 ，，因此 为二面角的平面角，其大小为 的某个内角大小，不可能为 ．因此不存在符合题意的四面体．∃∈A i l i (i =1,2,3)△A 1A 2A 3∃∈A i l i (i =1,2,3)△A 1A 2A 3A (i =1,2,3,4)i A 1A 2A 3A 4()1=B A 2=A A 1=C A 3∠=∠ABC <A 1A 2A 3π2A 1ABC A 3ABC ∠A 1A 2A 3π,A 1A 3∠=A 1A 2A 3π22=B A 2A 1A A =3A 1=C A 3==5A 1A 2A 2A 3>6>5A 1A 3∠>A 1A 2A 3π3,A 1A 3ABC =A 1A 2A 3A 2∠A 1A 2A 30,A 1A 3∠=A 1A 2A 3π3,A 1A 2,A 3A 4A 3A 4A 1A 2A 1⊥A 3A 1A 1A 2⊥A 4A 1A 1A 2∠A 3A 1A 4△ABC π2描述例题关于几何体中动点的轨迹问题，这里我们介绍三种处理思路：1）将动点所满足的条件转化到某一个平面内，然后借助各种曲线的定义来判断动点的轨迹形状．2）找出同时满足动点运动特征的两个面（包括平面和曲面）或者两条曲线，两个面的交线（两条曲线的交点）就是动点的轨迹；3）当我们转化之后无法利用定义直接判断动点的轨迹时，通常建立直角坐标系，根据动点满足的条件求出动点的轨迹方程，进而得到轨迹形状．动点轨迹的定性判断如图，正方体 中， 是棱 的中点，动点 在底面 内，且 ，则点 运动形成的图形是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分ABCD −A 1B 1C 1D 1E B 1C 1P ABCD P =E A 1A 1P解：B．因为 ， 和 都是定值，所以 是定值，而 为定点，所以点 运动形成的图形是圆弧．注：分析出 是本题的关键，这样就将题中所给的点 的运动特征转化到面 内，从而根据圆的定义直接进行判断．P +A ==A 2A 21A 1P 2A 1E2AA 1E A 1PA A P A ⊥AP A 1P ABCD正方体 的棱长为 ，点 是 的中点，点 是平面 内的一个动点，且满足 ， 到直线 的距离为 ，则点 的轨迹是（）A．两个点B．直线C．圆D．椭圆解：A．可分析知点 到直线 的距离是 ，所以点 在面 内与 距离为 的直线上；又 ，所以点 在平面 内以 为圆心，以 为半径的圆上，所以点 的轨迹就是直线和圆的两个交点 、 ．其他方法：过点 作 于点 ，过 作 于点 ，连接 ，如图，则点 到直线 的距离就是 ，由 知 ．在平面 上考虑点 的轨迹，建立如图所示的平面直角坐标系，则点 的横坐标为，设其纵坐标为 ，由 及 知 ，解得 ，所以点 的轨迹为两个点．注：将点 到 的距离转化成到 的距离，从而得到 点轨迹应该是平面内一条直线和一个圆的两个交点．将空间问题转化成平面问题解决，是解决这类问题的基本思路．ABCD −A 1B 1C 1D 12M BC P ABCD PM =2P A 1D 15√P P AD 1P ABCD AD 1PM =2P ABCD M 2P P 1P 2P PH ⊥AD H H HL ⊥A 1D 1L PL P A 1D 1PL PL =5√PH =1ABCD P P 1y M (2,1)PM =2=2+(2−1)2(y −1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√y =1±3√P P A 1D 1AD P ABCD 如图，正三棱锥 中，侧面 与底面 所成的二面角等于 ，动点 在侧面 内， 底面 ，垂足为 ，，则动点 的轨迹为（）A．线段B．圆C．一段圆弧D．一段抛物线S −ABC SAB ABC αP SAB PQ ⊥ABC Q PQ =PS ⋅sin αP解：D．如图，过点 作 且交 于点 ，则 为侧面 与底面 所成的二面角的平面角，，，所以 ，点 到点 的距离等于它到直线 的距离，所以 点轨迹应该是抛物线的一段．注：本题的关键是将题中条件进行合理转化，只要分析出点 在面 内运动所满足的条件，就可以利用抛物线定义得到结果．P PM ⊥AB AB M ∠PMQ SAB ABC ∠PMQ =αPQ =PM ⋅sin αPS =PM P S AB P P SAB 如图，正方体 中， 为底面 上的动点， 于，且 ，则点 的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分解：A．连接 ，因为 ，，，所以 ，所以 ，即 为定点，所以点 在 的中垂面上，又因为 ，所以点 在 的中垂面与平面 的交线上．注：这个题目的思路是先判断出点 在线段 的中垂面上，然后中垂面和底面的交线就是点 的轨迹．ABCD −A 1B 1C 1D 1P ABCD PE ⊥C A 1E PA =PE P P A 1AP =EP P =P A 1A 1∠PA =∠PE A 1A 1Rt △PA ≅Rt △PE A 1A 1E =A A 1A 1E P AE P ∈平面ABCD P AE ABCD P AE P 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线练习解：D．如图，．以 在平面内的投影为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系 ，设 ，则 ，所以 ，即 ．根据方程可知，动点的轨迹是双曲线．注：当我们无法直接根据条件判断出动点轨迹的时候，我们可以尝试建系求轨迹方程的方法．⊥l 1l 2l 2x l 1y xOy P (x ,y )|x |=+y 2d 2−−−−−−−√=+x 2y 2d 2−=x 2y 2d 2答案：解析：1. 平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与 垂直，且交 于点 ，则动点 的轨迹是 A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支A由题可知， 应与 所在平面垂直，故点 在过点 与 垂直的平面上，故为此平面与平面 的交线，即直线．αAB αB A l AB αC C ()AB AC C A AB α答案：解析：2. 如图，在正方体 中， 是侧面 内一动点，若 到直线 与直线 的距离相等，则动点 的轨迹所在的曲线是A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线D因为 到直线 的距离就是 到点 的距离，所以点 到直线 与到点 的距离相等，故动点 的轨迹所在的曲线是以 为焦点、以直线 为准线的抛物线．ABCD −A 1B 1C 1D 1P B C B 1C 1P BC C 1D 1P ()P C 1D 1P C 1P BC C 1P C 1BC 答案：解析：3. 如图， 是平面 的斜线段， 为斜足，若点 在平面 内运动，使得的面积为定值，则动点 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线B因 的长为定值，故点 到 的距离相等，所有到 的距离相等的点在以 为轴的一个圆柱面上，而 为平面 的斜线段，所以其实就是一个平面斜截一个圆柱侧面的问题，截得的是椭圆．AB αA P α△ABP P()AB P AB AB AB AB α答案：解析：4. 如图，定点 和 都在平面 内，定点 ，， 是 内异于 和 的动点，且 ．那么，动点 在平面 内的轨迹是 ．A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点B提示：由题中条件可得 ．A B αP ∉αPB ⊥αC αA B PC ⊥AC C α()∠ACB =90∘答案：解析：5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面 ，， 两两互相垂直，点 ，点 到 、 的距离都是 ，点 是 上的动点，满足 到 的距离是到点 距离的 倍，则点 的轨迹上的点到 的距离的最小值是A ．B ．C ．D ．A解法一：构造空间长方体，取坐标轴如图所示：由条件可得 点坐标为 ，由 到 的距离是到点 距离的 倍可得关系式 ，当 时，右边取得最大值，此时 ，所以点 的轨迹上的点到 的距离的最小值为 ．解法二：仍然取图中的坐标系，点 到 的距离就是点 到 轴的距离，所以这个问题可以转化为：在平面 内，求到点 的距离与到 轴的距离的比为 的点的轨迹问题．根据椭圆的第二定义，满足条件的点 的轨迹是以点 为一个焦点， 轴为相应准线的椭圆．而且可得 解得 ，，，画出椭圆如图，αβγA ∈αA βγ3P αP βA 2P γ()3−3√3√3+3√6A (3,3,0)P βA 2|y |=2⇒ |x −3|+(y −3)2(x −3)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=−y 24(y −3)2−−−−−−−−−−−−√y =4x =3±3√P γ3−3√P βP x αA x 12P A x ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪=,c a 12−c =3,a 2ca =2c =1b =3√点 的轨迹上的点到 的距离为点 到 轴的距离，由椭圆的基本性质可知，点的轨迹上的点到 的距离的最小值为 ．P γP y P γ3−3√描述例题研究运动中两个量之间的函数关系问题，一般先判断函数的增减性和增减“转折点”，然后再考虑它是线性的还是非线性的，如果是非线性的，是增长的越来越快，还是越来越慢．经过这样两步判断，函数的增减趋势就很清晰了．我们会在下面的例题中给大家介绍一些常用的判断技巧．如果无法进行直接的定性判断，那么我们可以定量的求一下两个变量间的函数关系式，从而得到函数的图象．两个量的函数关系探索如图，正方形 的顶点 ，，顶点 、 位于第一象限，直线 将正方形 分成两部分，记位于直线 左侧阴影部分的面积为 ，则函数 的图象大致是（）A．B．C．ABCD A (0,)2√2B (,0)2√2C D l :x =t (0⩽t ⩽)2√ABCD l f (t )S =f (t )D．解：C．随着 的增大，阴影面积一直增大，增大的速度越来越快，当跨过对角线后，增大的速度越来越慢．t 如图，动点 在正方体 的对角线 上．过点 作垂直于平面 的直线，与正方体表面相交于 ．设 ，，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．解：B．作 中点 ， 中点 ，则 在平面 上运动．P ABCD −A 1B 1C 1D 1BD 1P B D B 1D 1M ,N BP =x MN =y y =f (x )AA 1R CC 1Q MN BQR D 1当在 上运动时，，即 和 的比值是定值，所以 随 增大而增大，且呈线性增长；当 运动到 处时， 最大；当 在 上运动时，，是定值，此时函数呈线性单调递减．所以函数图象应该是B．注：首先可以判断函数先增大后减小，中间没有 值不变的时候，所以从B，D里选择．然后分析是线性还是非线性．分析题中条件可知，运动到最大值之前 和 成固定比例，所以是线性，选B．M BR =tan ∠PBR MP PB MP PB y x M R y M RD 1=tan ∠P R PM B −BP D 1D 1y y x 如图， 是正方体 对角线 上一动点，设 的长度为 ，若 的面积为 ，则 的图象大致是（）A．B．C．D．解：A．如图，设 为底面中心，则根据题意 ．P ABCD −A 1B 1C 1D 1AC 1AP x △PBD f (x )f (x )O f (x )=|BD |⋅|OP |12练习研究平面 ，设 ．显然 随着 从 到 的运动先减小后增大，且在 处取得最小值，由于点并不是 的中点，由此排除C、D．接下来研究 是否是线性的．法 ：如图，设 是线段 上两点，且 ，则若 是线性的，则，即 ，倍长 至 ，则，显然 ，因此 不是线性的．法 ：以 点为起点研究函数关系．设 ，，则．其图象为双曲线的一部分：所以选A．注：这个题依旧是先判断增减趋势，以及增减转折点的位置．然后分析是否线性，进而选出答案．其中方法 采用了建立具体函数关系式的办法．ACC1OH⊥A C1|OP|P A C1H H AC1f(x)1M,N HC1HM=MN f(x) |OM|−|OH|=|ON|−|OM||OH|+|ON|=2|OM|OM G2|OM|=|OG||OH|+|ON|=|OH|+|HG|>|OG|f(x)2H|HP|=t|OP|=y−=|OH(t⩾0)y2t2|221. 在函数 的图象上有一点 ，此函数与 轴、直线 及围成图形（如图阴影部分）的面积为 ，则与的函数关系图象可表示为A．B．y=|x|(x∈[−1,1])P(t,|t|)x x=−1 x=t S S t()答案：解析：C ．D ．B提示：当 时， 增速越来越平缓，当 时，增速越来越快．t ∈[−1,0]S t ∈[0,1]答案：解析：2. 如图，当直线 从虚线位置开始，沿图中箭头方向平行匀速移动时，正方形位于直线 下方（图中阴影部分）的面积记为 ，则 与 的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．A设正方形的边长为 ，则当 时，函数的解析式为 ；当 时，函数的解析式为 ；当 时，函数的解析式为 ．l :y =x +t ABCD l S S t ()a −a ＜t ＜0S =12(a +t )20⩽t ⩽a S =−a 212(a −t )2t ＞a S =a 23. 一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥和一个棱台（用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台），若小棱锥的体积为 ，棱台的体积为 ，则 关于 的函数图象大致形状为y x y x ()答案：解析：A．B．C ．D ．C设这个棱锥的总体积为 为定值，则 ， 为关于 的一次函数，且为减函数．V x +y =V y =−x +V x 4. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A．B．C ．H V h ()答案：D ．B答案：解析：5. 如图，已知正四棱锥 所有棱长都为 ，点 是侧棱 上一动点，过点垂直于 的截面 将正四棱锥分成上、下两部分．记 ， 截面下面部分的体积为 ，则函数 的图象大致为 ．A ．B ．C ．D ．A分析截面即可，越往中间，截面越大，体积变化越快．S −ABCD 1E SC E SC SE =x (0<x <1)V (x )y =V (x )()描述例题求一个运动过程中某个量（面积，角度，长度等）的变化范围，我们通常是找到变化中的极限情况，即变化过程中这个量取最大值和取最小值的情况，然后又知道这个量是连续变化的，所以我们就可以写出它的范围．同时要注意极限情况是否取到．某些量的取值范围探索正四面体 的棱长为 ，棱 平面 ，则正四面体上的所有点在平面 内的射影构成的图形面积的取值范围是______．ABCD 1AB ∥αα解：．由题意知 在平面 的射影是长度为 的线段，不妨认为 在平面 内．取 的中点 ，有 ．，． 到 的距离为 ． 在平面 上的射影为一条线段 ，长度记为 ，则有 ，所以射影面积为 ．只需要考虑 的长度范围即可．当 时， 有最大值 ，对应面积的最大值为 ；当 时， 有最小值 ，所求面积的最小值为 ．[,]2√412AB α1AB αAB M AB ⊥平面CDM CD =1CM =DM =3√2M CD 2√2△CDM αl d l ⊥AB ×1×d 12d CD ∥αd 112CD ⊥αd 2√22√4如图，， 是直线 上的两点，且 ．两个半径相等的动圆分别与 相切于 ，点， 是这两个圆的公共点，则圆弧 ， 与线段 围成图形的面积 的取值范围是______．解：．以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，则点 在 轴上．设两个动圆的半径为 ．半径 越大， 点离原点越近，所求面积越小，即所求面积 随半径 的增大而减小．因为两圆有交点，所以 ．当 趋向无穷大时， 点趋向于原点， 趋向于 ；当 等于 时， 取最大值 ．注：本题的关键是分析出面积 取最大和最小值时的极限位置．A B l AB =2l A B C AC CB AB S (0,2−]π2AB x AB y C y r r C S r r ⩾1r C S 0r 1S 2−π2S 在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（）A． B． (,π)π3(,π)2π3练习C． D． 解：A．如图，过点 作 于点 ，连接 ，则 ， 就是相邻侧面所成的二面角；设 ，则 ，设 ，，则 ，所以 ，利用余弦定理有所以 ．注：侧棱和底棱所成的角的范围是 ，它的范围决定了两侧面所成二面角的取值范围．这是本题的关键．所以我们找到侧棱和底棱所成角的两个极限位置即可．(0,)π2(,)π32π3A AD ⊥PB D CD CD ⊥PB ∠ADC ∠ABP =αα∈(,)π6π2AB =a AD =b b =a sin αb ∈(a ,a )12cos ∠ADC =∈(−1,),2−b 2a 22b 212∠ADC ∈(,π)π3(,)30∘90∘答案：解析：1. 正三棱锥 的底面边长为 ， 、 、 、 分别是 、 、 、的中点，则四边形 面积的取值范围是A ．B ．C ．D ．B提示：找 的中点 ，联结 、 ，容易得知 ，，所以 ，从而 ，所以 ，，，而 ，所以四边形 的面积 ．V −ABC 2a E F G H V A V B BC AC EFGH ()(0,+∞)(,+∞)3√3a 2(,+∞)6√3a 2(,+∞)12a 2AB D V D CD V D ⊥AB CD ⊥AB AB ⊥平面V CD V C ⊥AB FG ⊥EF EF =AB =a 12FG =V C 12V C >2a 3√3EFGH s =EF ⋅FG =V C ⋅a >123√3a 22. 已知异面直线 互相垂直，定点 不在直线 上，若过 点的直线 与 成 角，a ,b P a ,b P l a 25∘答案：解析：则 与 所成角 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．B将异面直线 平移至相交于 点，当平移后的直线 与 这三条直线在同一平面内时， 取得最小值 ，当 垂直 ， 所在的平面时， 取得最大值 ．l b θ()[,)0∘45∘[,]65∘90∘[,)45∘90∘(,]0∘25∘a 、b P a ,b l θ65∘b a l θ90∘答案：解析：3. 如图，在正方体 中，点 为线段 的中点．设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是A ．B ．C ．D ．B因为 ，所以 ，，所以 就是 在面上的射影，即直线 与平面 所成的角为 或它的补角．由于 在 上运动，所以我们分析下 运动到 和 的情况即可．利用余弦定理可求得 ，，所以 ，所以 的取值范围是 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1O BD P CC 1OP BD A 1αsin α()[,1]3√3[,1]6√3[,]6√322√3[,1]22√3BD ⊥平面ACC 1A 1BD ⊥OP BD ⊥O A 1OA 1OP DB A 1OP BD A 1∠OP A 1P CC 1P C C 1cos ∠O =A 1C 113cos ∠OC =−A 13√3cos ∠OP ∈[−,]A 13√313sin α[,1]6√3答案：解析：4. 若二面角 为，直线 ，直线 ，则直线 与 所成的角取值范围是A ．B ．C ．D ．C提示：容易求得， 与平面 所成的角为 ，为所成角中最小的角；而 与 所成的角为，为所成角中最大的角．α−l −β5π6m ⊥αn ⊂βm n ()(0,)π2[,]π6π2[,]π3π2[,]π6π3m βπ3m l π2。
2015届高考数学(理科,全国通用)二轮配套课件：选择题的解法
选择题的解法题型特点概述高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基才技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力.选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断.先定性后定量, 先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等.解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏.初选后认真检验,解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法, 但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答, 不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此, 我们还要研究解答选择题的一些技巧•总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做.方法五 估算法方法― 方法二方法三方法四直接法特例法 排除法（筛选法） 数形结合法（图解法）方法一直接法直接法就是从题干给岀的条件出发，进行演绎推理, 直接得出结论.这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略.这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发, 利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择.32蕭世釀轍解都鱗鳥=必％若S®恒成立,贝麻数。
的最小值为（2）A. D. 2禽％轆魏存诫蠶邂C. 3都有。
加+"—Q 加佈y取 =lj 则有偽+1=。
曲戸：一=01=帀故数列如是以;为首西以;为公比的等比数列，解析对任意正整数 m\偽 Qn+l由于S“va对任意兀WN*恒成立，故即实数Q的最小值为1选A・答案A思维升华直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提髙用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.变式训练1 将函数＞ =sin 2x （x 丘R ）的图象分别向 左平移加（加＞0）个单位、向右平移兀⑺＞0）个单位所得函数y=sin 2x(x R)的图象向左平移加(加>0) 个单位可得y=sin 2(x+zw)=sin(2x+2An)W 图象， 向右平移n(n>0)至啲图象都与函数V = sin （2x +则I 加-初的最小值为（） ）（x e R ）的图象重合, n3个单位可得y=sin 2(x—n) = sin(2x —2M)的图象.若两图象都与函=sin(2x + ^)(x e R)的图象重合,32加=丁+2血则兀叽辭Z)2〃=飞+2切m=j+^i7r,即兀临"Z)・n=-^+k2n所以1加一初=1 3 + (每一他)兀|仇i，氐2丘0),3当給=他时，I加一初讪尸卩•故选C・3答案c方法二特例法特例检验（也称特例法或特殊值法）是用特殊值（或特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略•例2⑴等差数列｛a“｝的前加项和为30,前2加项和为100,则它的前3加项和为（（）A. 130B. 170C. 210D. 260取^ = 1,依题意如=30, ^+«2 = 100, 则d=70,又他｝是等差数列，进而為=110, 故S3=210,选C・例2 (2)如图，在棱柱的侧棱人比和上各一动点P、Q满足仲二陀，过P、°、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A. 3 ： 1 BB. 2 ： 1C. 4 ： 1解析将P、0置于特殊位置：P-如,此时仍满足条件AiP=BQ(=O),则有V " _叫兀一勺也］I 故选B.^C-AA}B _ ^A r ABC _ Ofp思维升华特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.变式训练2已知0是锐角44BC的外接圆圆心，+ shiB= 2m5则加的值为（）A-2 B.迪 C. 1 D.：解析如图，当ZkABC为正三角形时,B=C=60°,取D为BC的中点，一A0 =则有書乔+再社2加••・；・2血=；翻:・m舟故选A.答案A方法三排除法（筛选法）例3函数y = xsin兀在［- n,兀］上的图象是（）容易判断函数y=xsin兀为偶函数，可排除D；当Ovv④时，j=xsinx>0,排除B・2 ，当工=兀时，J=o,可排除c；故选A・答案A思维升华排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选, 直到得出正确的答案.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法.变式训练3函数丿二2田的定义域为[a, b],值域为[146],。
2015高考数学(文科)程序方法策略篇：专题2 优化解答程序,构建答题模板 第5讲
第5讲 圆锥曲线的常规问题例6 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 审题破题 用a ，b 表示s 可得关于a ，b ，c 的不等式，进而转化成关于e 的不等式，求e 的范围．解 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2， 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2， 于是s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ， 即5a c 2－a 2≥2c 2，可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5. 由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5.第一步：提取．从题设条件中提取不等关系式；第二步：解不等式．求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；第三步：下结论．根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取值范围；第四步：回顾反思．根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线定义中的a ，b ，c 的大小关系等． 跟踪训练6 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程；(2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22， 所以a ＝1，b ＝c ＝22. 故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2. 因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立； 当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0. 解得－1<m <－12或12<m <1. 即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.。
2015届高考数学二轮专题知识突破课件：2-1-3-6(解答题六大题型解答策略)
常见题型：①用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题， 极值问题要用表格分析，要注意 x 的取值范围；②以对数函数(常用 对数为主)为背景，结合对数运算，考查对数函数的性质及图象等； ③在导数背景下研究不等式的证明、利用导数求最值解决恒成立问 题，注意对数函数的定义域；④以方程或二次函数为背景，综合考 查函数、方程和不等式的知识，重视代数推理能力；⑤用函数、不 等式性质或导数研究数列、解析几何、实际应用中的最值问题.
(3)当 a＝－12时，f(x)＝－12x＋b， 即：14x2－32x＋lnx－b＝0， 设 g(x)＝14x2－32x＋lnx－b(x>0)， 则 g′(x)＝x－22xx－1，(9 分) 列表：
第十一页，编辑于星期五：十点 二分。
∴g(x)极小值＝g(2)＝ln2－b－2， g(x)极大值＝g(1)＝－b－54， 又 g(4)＝2ln2－b－2，(11 分)
对点训练 3.(2014·北京海淀区二模)已知函数 f(x)＝(x＋a)ex，其中 a 为常 数． (1)若函数 f(x)是区间[－3，＋∞)上的增函数，求实数 a 的取值 范围； (2)若 f(x)≥e2 在 x∈[0,2]时恒成立，求实数 a 的取值范围．
第三十五页，编辑于星期五：十点 二分。第Βιβλιοθήκη 十六页，编辑于星期五：十点 二分。
当 x＝3 时，ln13<12×42， 当 x＝4 时，ln14<12×53， …… 当 x＝n＋1 时，lnn1＋1<12·n＋n 2，n∈N*，n≥2， 上述不等式相加得：
第二十七页，编辑于星期五：十点 二分。
ln12＋ln13＋ln14＋…＋lnn1＋1 <1231＋42＋53＋…＋n＋n 2 ＝12n＋21＋22＋23＋…＋2n ＝n2＋1＋12＋13＋…＋1n， 即ln12＋ln13＋ln14＋…＋lnn1＋1<n2＋1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*， n≥2).
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第5讲 圆锥曲线的常规问题
例6 已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45
c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 审题破题 用a ，b 表示s 可得关于a ，b ，c 的不等式，进而转化成关于e 的不等式，求e 的范围．
解 设直线l 的方程为x a ＋y b
＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1
a 2＋
b 2，
同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝
b a ＋1 a 2＋b 2， 于是s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab c
. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45
c ，即5a c 2－a 2≥2c 2， 可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，
解得54
≤e 2≤5. 由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤52，5. 构建答题模板
第一步：提取．从题设条件中提取不等关系式；
第二步：解不等式．求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；
第三步：下结论．根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取
值范围；
第四步：回顾反思．根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线定义中的a ，b ，c 的大小关系等．
跟踪训练6 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为2
2，直
线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求m 的取值范围．
解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a >b >0)， 设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知
2b ＝2，c a ＝22， 所以a ＝1，b ＝c ＝2
2.
故椭圆C 的方程为y 2＋x 21
2
＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，
2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)
x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2
. 因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2x 2，
x 1x 2＝－3x 2
2.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.
当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，
又k ≠0，所以k 2＝2－2m 2
4m 2－1
>0. 解得－1<m <－12或12<m <1. 即所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。