【配套K12】2018数学高考(文)二轮复习检测：15专题六 直线、圆、圆锥曲线 Word版含解析

专题能力训练15 直线与圆

一、能力突破训练

1.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()

C.D.2

(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d==,故选C.

2.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()

A. B. C. D.

,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点,设为P,而线段

AB垂直平分线的方程为y-=-,它与x=1联立得圆心P坐标为,则

|OP|==.

3.直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数k的取值范围是()

A.--

B.--

C.-

D.-

|MN|=2时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线

y=kx+3的距离为-=1,即=1,解得k=-.若使|MN|≥2,则k≤-.

4.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()

B.8

C.4

D.10

解得

x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得

-

-

-

则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.

令x=0得y2+4y-20=0,

设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得

y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=-=4

5.已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D 两点,则|CD|=.

l的倾斜角为,坐标原点O到直线l的距离为

=3.

-

设直线l与x轴交于点E,结合题意知B(0,2),E(-6,0),则|BE|==4.

因为|AB|=2-=2,

所以A为EB的中点.

由题意知AC∥BD,所以C为DE的中点,

即|CE|=|CD|====4.

6.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径

5

,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,+(y+1)2=-不表示圆.

7.(2017山东,文12)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.

直线+=1过点(1,2),∴+=1.

∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=4+≥4+2=8.

当且仅当b=2a时“=”成立.

8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.

1

y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=--=,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=-1.

9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.

(1)求☉O的方程;

(2)若☉O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;

(3)设☉O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求·的取值范围.

1)依题意,☉O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,

即r==2.所以☉O的方程为x2+y2=4.

(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.

则圆心O到直线MN的距离d=.

由垂径定理,得+()2=22,即m=±.

所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.

(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).

由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,

得·-=x2+y2,

即x2-y2=2.

因为·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),

且点P在☉O内,所以

由此得y2<1.

-

所以·的取值范围为[-2,0).

10.

已知☉O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于☉O,记点B的轨迹为Γ.

(1)求曲线Γ的方程;

(2)直线AB交☉O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.

1)设AB的中点为M,

切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即

|AB|+2|OM|=4.

取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,

所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.

所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,故曲线Γ的方程为+y2=1.

(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,

则⊥.设B(x0,y0),

则x0(x0-+=0.

又+=1,

解得x0=,y0=±.

则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±x-),即x-y-=0或=0.

11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与☉C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.

(1)求k的取值范围;

(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.

因为l与C交于两点,所以<1.

解得-<k<.

所以k的取值范围为-.